2014年四川省高考数学试卷（理科）

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2014年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．（5分）（2014?四川）已知集合A={x|x﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ） A．{﹣1，0，1，2} B． {﹣2，﹣1，0，1} C． {0，1} D． {﹣1，0} 2．（5分）（2014?四川）在x（1+x）的展开式中，含x项的系数为（ ） 30 20 15 10 A．B． C． D． 3．（5分）（2014?四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（ ） A．B． 向左平行移动个单位长度 向右平行移动个单位长度 向左平行移动1个单位长度 C．D． 向右平行一定1个单位长度 4．（5分）（2014?四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ） A．B． C． D． ＞ ＜ ＞ ＜ 5．（5分）（2014?四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）

6

3

0 1 2 3 A．B． C． D． 6．（5分）（2014?四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A．192种 B． 216种 C． 240种 D． 288种 7．（5分）（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ） A．﹣2 B． ﹣1 1 C． 2 D． 8．（5分）（2014?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，

直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）

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www.jyeoo.com A．[，1] B． [，1] C． [，] D． [，1] 9．（5分）（2014?四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f（﹣x）=﹣f（x）； ②f（

）=2f（x）

③|f（x）|≥2|x|

其中的所有正确命题的序号是（ ） ①②③ ②③ A．B． 2

①③ C． ①② D． 10．（5分）（2014?四川）已知F为抛物线y=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ） 2 3 A．B． C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014?四川）复数

= _________ ．

?=2（其

D． 12．（5分）（2014?四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=

，则f（）= _________ ．

13．（5分）（2014?四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 _________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）

14．（5分）（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是 _________ ． 15．（5分）（2014?四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：

3

对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+

（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）

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三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）（2014?四川）已知函数f（x）=sin（3x+（1）求f（x）的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，f（

）=cos（α+

）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

）．

17．（12分）（2014?四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 18．（12分）（2014?四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．

（1）证明：P是线段BC的中点； （2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

19．（12分）（2014?四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2的图象上（n∈N）． （1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； （2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣

20．（13分）（2014?四川）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构

，求数列{

}的前n项和Tn．

x

*

成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当

21．（14分）（2014?四川）已知函数f（x）=e﹣ax﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

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x

2

最小时，求点T的坐标．

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www.jyeoo.com （1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

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www.jyeoo.com 考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角． 专题： 空间向量及应用． 分析： （1）用线面垂直的性质和反证法推出结论， （2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值． 解答： 解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中： 平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2 设O为BD的中点，连接OA，OC 于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC?BD⊥AC 因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP 假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点 （2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，于是），M（，，O，），N（，0，，），P（，，0） 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和 由，则，设z1=1，则 由，则，设z2=1，则 cos=== 所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值 点评： 本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题． 19．（12分）（2014?四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2的图象上（n∈N）． （1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； （2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣ 考点： 数列的求和；数列与函数的综合． 专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 分析： x（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2的图象上，可得x*

，求数列{

}的前n项和Tn．

，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2．由于点 d ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com （a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得前n项和公式即可得出． （2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法”即可得出． x解答： 解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2的图象上， ∴， =b8，进而得到=4=2，解得d．再利用等差数列的d又等差数列{an}的公差为d， ∴==2， d∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上， ∴d=b8， ∴=4=2，解得d=2． 2又a1=﹣2，∴Sn=xx=﹣2n+=n﹣3n． （2）由f（x）=2，∴f′（x）=2ln2， ∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为又∴，令y=0可得x=，解得a2=2． ， ， ∴d=a2﹣a1=2﹣1=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n， n∴bn=2． ∴． ∴Tn=∴2Tn=1+++…++， +…+， 两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣ = =． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 点评： 本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题． 20．（13分）（2014?四川）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构

成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当

最小时，求点T的坐标．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 22222分析： 第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a=b+c及焦距2c=4建立方程组求得a，b； 第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标． 解答： 解：（1）依题意有解得 表示出来，由所以椭圆C的标准方程为+=1． （2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0）， ①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2， 22由?（m+3）y﹣4my﹣2=0， 所以 于是，从而， 即，则， 所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证． ②由两点间距离公式得由弦长公式得

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， 菁优网

www.jyeoo.com ==， 所以， 令，则22（当且仅当x=2时，取“=”号）， 2所以当 最小时，由x=2=m+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）． 点评： 本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面： 1、设交点坐标，设直线方程； 2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理； 3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题． 21．（14分）（2014?四川）已知函数f（x）=e﹣ax﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数． （1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值； （2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点． x2x解答： 解：∵f（x）=e﹣ax﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e﹣2ax﹣b， xx又g′（x）=e﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e≤e， x2

∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e﹣2a≥0， x∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b； ②当，则1＜2a＜e， xx∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e﹣2a＞0， ∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增， g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b； ③当时，则2a≥e，g′（x）=e﹣2a≤0， x∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b， 综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为； （2）由f（1）=0，?e﹣a﹣b﹣1=0?b=e﹣a﹣1，又f（0）=0， 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，

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www.jyeoo.com 由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求． 若令h（x）=则∴h（x）在区间（1，．由，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1 （1＜x＜e） ＞0?x＜ ）上单调递增，在区间（=+，e）上单调递减， ＜0，即gmin（x）＜0 恒成立， ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间??， 又，所以e﹣2＜a＜1， 综上得：e﹣2＜a＜1． 点评： 本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大． ?2010-2014 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后） 菁优网

2014年6月24日

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/22k2.html