同济大学（高等数学） - 第五章 - 定积分及其应用

第五章 定积分及其应用

本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.

第1节 定积分的概念与性质

1.1 定积分问题举例 1.1.1

曲边梯形的面积

曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续? 由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧y?f(x)称为曲边?

求曲边梯形的面积的近似值?

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间?a,b?中任意插入若干个分点（图5-1）

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,

把?a,b?分成n个小区间

?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,

它们的长度依次为?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.?

经过每一个分点作平行于y轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形?在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i, 以?xi?1,xi?为底、f(?i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形，i?1,2,3,?,n，把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值? 即

A?f(?1)?x1?f(?2)?x2???f(?n)?xn??f(?i)?xi.

i?1n 求曲边梯形的面积的精确值?

显然? 分点越多、每个小曲边梯形越窄? 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值? 因此? 要求曲边梯形面积A的精确值? 只需无限地增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 记??max??x1,?x2,?,?xn?,于是? 上述增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 相当于令??0.所以曲边梯形的面积为

A?lim?f(?i)?xi.

??0i?1n1

图5-1

1.1.2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动? 已知速度v?v(t)是时间间隔?T1,T2?上t的连续函数? 且v(t)?0,计算在这段时间内物体所经过的路程S ? 求近似路程?

我们把时间间隔?T1,T2?分成n个小的时间间隔?ti ? 在每个小的时间间隔?ti内? 物体运动看成是均速的? 其速度近似为物体在时间间隔?ti内某点?i的速度v(?i)? 物体在时间间隔?ti内 运动的路程近似为?si?v(?i)?ti.把物体在每一小的时间间隔?ti内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔?T1,T2?内所经过的路程S的近似值? 具体做法是? 在时间间隔?T1,T2?内任意插入若干个分点

Ti?t0?t1?t2???tn?1?tn?T2,

?T1,T2?分成n个小段

?t0,t1?,?t1,t2?,??tn?1,tn?,

各小段时间的长依次为

?t1?t1?t0,?t2?t2?t1,?,?tn?tn?tn?1.

相应地? 在各段时间内物体经过的路程依次为

?s1,?s2,?,?sn.

2

在时间间隔?ti?1,ti?上任取一个时刻?i(ti?1??i?ti), 以?i时刻的速度v(?i)来代替

?ti?1,ti?上各个时刻的速度? 得到部分路程?si的近似值? 即

?si?v(?i)?ti(i?1,2,?,n).

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值? 即

S??v(?i)?ti?

i?1n 求精确值?

记??max??t1,?t2,?,?tn?,当??0时? 取上述和式的极限? 即得变速直线运动的路程

S?lim?v(?i)?ti?

??0i?1n

1.2 定积分的概念

抛开上述问题的具体意义? 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括? 就抽象出下述定积分的定义?

定义 设函数y?f(x)在?a,b?上有界? 在?a,b?中任意插入若干个分点

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,

把区间?a,b?分成n个小区间

?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,

各小段区间的长依次为

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.

在每个小区间?xi?1,xi?上任取一个点?i,作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积

f(?i)?xi(i?1,2,?,n)并作出和

S??f(?i)?xi?

i?1n记??max??x1,?x2,?,?xn?,?如果不论对?a,b?怎样分法? 也不论在小区间?xi?1,xi?上点

?i,怎样取法? 只要当??0时? 和S 总趋于确定的极限I? 这时我们称这个极限I为函数

f(x)在区间?a,b?上的定积分? 记作?af(x)dx? 即

blim?f(?i)?xi?af(x)dx???0i?1bn?

3

其中f(x)叫做被积函数? f(x)dx叫做被积表达式? x叫做积分变量? a 叫做积分下限? b 叫做积分上限? ?a,b?叫做积分区间?

根据定积分的定义? 曲边梯形的面积为A??af(x)dx? 变速直线运动的路程为S??T2v(t)dt?

1bT 说明?

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关? 而与积分变量的记法无关? 即

?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?

(2)和?f(?i)?xi通常称为f (x)的积分和?

i?1nbbb (3)如果函数f(x)在?a,b?上的定积分存在? 我们就说f(x)在区间?a,b?上可积? 函数f(x)在?a,b?上满足什么条件时? f(x)在?a,b?上可积呢？ 定理1 设f(x)在区间?a,b?上连续? 则f (x) 在?a,b?上可积?

定理2 设f(x)在区间?a,b?上有界? 且只有有限个间断点? 则f(x) 在?a,b?上可积? 定积分的几何意义?

设f(x)是?a,b?上的连续函数，由曲线y?f(x)及直线x?a,x?b,y?0所围成的曲边梯形的面积记为A.由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：

（1）当f(x)?0时，（2）当f(x)?0时，

??babaf(x)dx?A f(x)dx??A

（3）如果f(x)在?a,b?上有时取正值，有时取负值时，那么以?a,b?为底边，以曲线

y?f(x)为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x轴的上方或下方.这时

定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有

ba?f(x)dx?A1?A2?A3

其中A1,A2,A3分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.

4

图5-2

例1. 利用定义计算定积分?0x2dx?

解 把区间[0? 1]分成n等份??分点和小区间长度分别为

xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n) ?

nn1 取?i?ni(i?1,2,?,n),作积分和 nni?1?f(?i)?xi??i?1?i2?xini121??()??3?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)?

6nnnni?1n6i?1nn 因为??1? 当??0时?n??? 所以?

n

?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1?

?f(?i)?xi?nlim??6nn3

图5-3

例2 用定积分的几何意义求?0(1?x)dx??

解 函数y?1?x在区间?0,1?上的定积分是以y?1?x为曲边??以区间?0,1?为底的曲边梯形的面积? 因为以y?1?x为曲边??以区间?0,1?为底的曲边梯形是一直角三角形? 其底边长及高均为1? 所以

15

???limf(?)?limf(?)?f(x),即??(x)?f(x)

?x?0?x?x?0??xlim 若x?a ? 取?x?0? 则同理可证???(x)?f(a)? 若x?b ? 取?x?0? 则同理可证

???(x)?f(b)?

?(x)d?(x)推论 如果?(x)可导，则[f(t)dt]?[?f(t)dt]?x?f[?(x)]??(x)

adx?a更一般的有例1 计算

???(x)(x)f(t)dt?f??(x)???(x)?f??(x)???(x).

dx?tesintdt. ?0dxxdx?t?x?t?解 ==esinx. esintdt[esintdt]?0dx?0?例2 求极限limx?04x?0x20sintdtx4.

解 因为limx?0，lim利用洛必达法则得

x?0?x2000sintdt??sintdt?0，所以这个极限是型的未定式，

00?limx?0x20sintdtx4sinx2?2xsinx2=lim=lim 32x?0x?04x2x1sinx21=lim =. 2x?0x22例3 设f(x)在?0,???内连续且f(x)?0? 证明函数F(x)?调增加函数?

xx证明 d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故

dxdx?0tf(t)dt在(0,??)内为单

x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)2xxx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)2xx?

按假设? 当0?t?x时f(t)?0,(x?t)f(t)?0,所以

?0f(t)dt?0? ?0(x?t)f(t)dt?0?

从而F?(x)?0(x?0),这就证明了F(x)在(0,??)内为单调增加函数?

定理2 如果函数f(x)在区间?a,b?上连续? 则函数?(x)??f(t)dt就是f(x)在

axxx11

?a,b?上的一个原函数?

定理的重要意义? 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的? 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系?

2.3 牛顿??莱布尼茨公式

定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间?a,b?上的一个原函数? 则

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

此公式称为牛顿??莱布尼茨公式? 也称为微积分基本公式?

证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数? 又根据定理2? 积分上限函数

b?(x)??f(t)dt也是f(x)的一个原函数?

ax于是有一常数C? 使F(x)??(x)?C(a?x?b).

当x?a时? 有F(a)??(a)?C，而?(a)?0，所以C?F(a)? 当x?b时?

F(b)??(b)?F(a) ? 所以?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

b

为了方便起见? 可把F(b)?F(a)记成[F(x)]ba? 于是

a?F(b)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bb该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系? 例4 计算?0x2dx?

解 由于1x3是x2的一个原函数? 所以

31?3 例5 计算??1dx2?

1?x121x3]1?1?13?1?03?1xdx?[030333?

解 由于arctanx是12的一个原函数? 所以

1?x??11?x2?[arctanx]?13 例6 计算??21dx?

x?13dx?arctan3?arctan(?1)? ??(? ?)?7??

3412解

1?2?ln 1?ln 2??ln 2? ??2xdx?[ln|x|]??1112

例7 求解

?3?12?xdx.

2323?12?12?3?12?xdx=?|2?x|dx??|2?x|dx??(2?x)dx??(x?2)dx

121291

=(2x?x)?(x?2x)=?=5.

222?122

23 例8 计算正弦曲线y?sin x在[0? ?]上与x轴所围成的平面图形的面积?

解 这图形是曲边梯形的一个特例? 它的面积

A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2??

?习题5-2

1.设f(x)??sintdt，求f?(0x?24)；

2.设f(x)??xcost3dt，求f??(x)；

0x3.求下列函数的导数 （1）f(x)?（3）f(?)??x0e?tdt； （2）f(x)??1xx21?t2dt； 1?t2dt.

?cos?sin?tdt； （4）f(x)??04.计算下列导数

dx21dx22t2dx（1）?tedt； （2）?dt； （3）?(t2?x2)sintdt.

dxx1?t2dx0dx05.求下列极限（1）lim?x1sin(?t)dtx?11?cos(?t)； （2）lim(?etdt)2x2x?0?210x0tedt2t2.

6.计算下列定积分 （1）

?21(x?x?1)dx； （2）?(2?x)dx； （3）?02?21x21xdx；

（4）

??0cosxdx； （5）?0sinxdx； （6）?0exdx；

11001（7）

?(2?3cosx)dx; （8）?x010dx; （9）?10x2?1dx; x2?11dx; 231?x3（10）

??01?cos2xdx; （11）?41x(1?x)dx; （12）?10（13）

?1203x4?3x2?1dx; dx; （14）?100dx; （15）?2?121?x1?x110x13

11（16）?dx; （17）?4tan2xdx; （18）?0max{x,1?x}dx

?e?11?x0?2??x?1,x?12?8．设f?x???12，求?f?x?dx.

0x,x?1??2

14

第3节 定积分的计算

3.1 定积分的换元积分法

定理 假设函数f(x)在区间?a,b?上连续? 函数x??(t)满足条件?

(1) ?(?)?a,?(?)?b;

(2) ?(t)在??,?? （或??,??）上具有连续导数? 且其值域不越出?a,b?? 则有

?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

这个公式叫做定积分的换元公式?

证明 由假设知? f(x)在区间?a,b?上是连续? 因而是可积的? f??(t)???(t)在区间

b???,?? (或??,??)上也是连续的? 因而是可积的?

假设F(x)是f(x)的一个原函数? 则

??的一个原函数? 从而

baf(x)dx?F(b)?F(a).

另一方面? 因为?F??(t)???F???(t)???(t)?f??(t)???(t)? 所以F[?(t)]是f??(t)???(t)???f??(t)???(t)dt?F??(?)??F??(?)??F(b)?F(a).

因此?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

例1 求

b??30x1?xdx.

2解 令1?x?t，则x?t?1，dx?2tdt，当x?0时，t?1，当x?3时，t?2，

于是

?30x1?xdx=?2212t2?1?2tdt=2?(t2?1)dt

1t=2[t?t]1=

例2 求

1338 3?ln20ex?1dx.

2l(1?t)，dx?解 令ex?1?t，则x?n15

2t当x?0时，t?0；当x?ln2dt，21?t

时，t?1，于是

?ln20212t12t1dt==dt2(1?e?1dx=?t??01?t2?01?t2)dt 01?t2x1=2[t?arctant]0=2? 例3 计算?0a2?x2dx(a>0)?

a1?2.

解 令x?asint，则a2?x2?a2?a2sin2t?acost，dx?acostdt. 当x?0时t?0? 当x?a时t???

2?0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt

?

?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt02??

2a2?1?a2? ?[t?1sin2t]0224? 例4 计算?02cos5xsinxdx?

解:令t?cosx,则当x?0时t?1? 当x?

或

??时t?0?

2011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1?

66??2020?cos5xsinxdx???02cos5xdcosxcosxsinxdx????520?令cosx?t???162??1cos6??1cos60?1? cosxdcosx??[cosx]0662665 例5 计算?0sin3x?sin5xdx? 解

?0?sinx?sinxdx??032sin2035?3sin2x|cosx|dx

???xcosxdx???23?2?sin23xcosxdx

??2sin2xdsinx???sin2xdsinx

0?5522?[2sin2x]??2?(?2)?4? 2 ?[sinx]0?555552?3提示? sin3x?sin5x?sin3x(1?sin2x)?sin2x|cosx|?

3?? 在[0, ]上cosx?cosx,在[, ?]上cosx??cosx.

224 例6 计算?x?2dx?

02x?1t2?1解 令2x?1?t,则x?， dx?tdt,当x?0时t?1? 当x?4时t?3?

216

?04x?2dx 2x?1令2x?1?t3t2?1?23 ?12?tdt?1?1(t2?3)dt

t23 ?1[1t3?3t]1?1[(27?9)?(1?3)]?22?

232333 例7设f(x)在区间[?a,a]上连续，证明： （1）如果f(x)为奇函数，则（2）如果f(x)为偶函数，则证明 由定积分的可加性知

??a?aa?af(x)dx?0； f(x)dx?2?f(x)dx.

0aa?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，

?a00?a0对于定积分

?f(x)dx，作代换x??t，得

?所以

0?af(x)dx=??f(?t)dt=?f(?t)dt=?f(?x)dx，

a00aa000aa?a?af(x)dx??f(?x)dx??f(x)dx

=

?[f(x)?f(?x)]dx

0a（1）如果f(x)为奇函数，即f(?x)??f(x)，则f(x)?f(?x)?0， 于是

?a?af(x)dx?0.

（2）如果f(x)为偶函数，即f(?x)?f(x)，f(x)?f(?x)?f(x)?f(x)?2f(x)， 于是

?a?af(x)dx?2?f(x)dx.

0a 例8 若f(x)在?0,1?上连续? 证明 (1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx? (2)?0xf(sinx)dx? ?2????0?f(sinx)dx?

证明 (1)令x???t? 则

2??20f(sinx)dx????f[sin(??t)]dt

220 ???20f[sin(?t)]dt??f(cost)dt??2f(cosx)dx?

0022??? (2)令x???t ? 则

17

?0?xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt??0(??t)f[sin(??t)]dt??0(??t)f(sint)dt

??0?? ???0f(sint)dt??0tf(sint)dt???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx? 所以?0xf(sinx)dx? ?2????0?f(sinx)dx?

?x2?4?xe x?0 例9 设函数f(x)??1? 计算?1f(x?2)dx??

?1?x?0??1?cosx 解 设x?2?t ? 则dx?dt;当x?1时t??1? 当x?4时t?2?

?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt?[tant]0?[1e?t2]2?tan1?1e?4?1? ?001?cost2?122223.2 定积分的分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间?a,b?上具有连续导数u?(x)、v?(x)? 由(uv)??u?v?uv?得

uv??uv?u?v ? 式两端在区间?a,b?上积分得

ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式?

分部积分过程?

ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ? ?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例10 计算? 解

12arcsin0xdx?

12x]0?12arcsinxdx0?[xarcsin??02xdarcsinx?1????2xdx

2601?x21111?1 ???021221d(1?x2)?2???3?1? ??[1?x2]0121221?x2 例11 计算?0exdx? 解 令x?t? 则

1?0exdx?2?0ettdt?2?0tdet?2[tet] 0 ?2?0etdt?2e?2[et] 0 ?2?

111111例12求

2?21xlnxdx.

2解

?111212xlnxdx=?lnxd(x2)=x2lnx??x2d(lnx)

21221112312=2ln2??xdx=2ln2?x=2ln2?.

2144118

2

例13求解

??0xsinxdx.

???0xsinxdx=??xdcosx=?xcosx0??cosxdx

00??=??sinx0=?.

例14 设In??02sinnxdx? 证明

(1)当n为正偶数时? In?n?1?n?3???3?1???

nn?2422 (2)当n为大于1的正奇数时? In?n?1?n?3???4?2?

nn?253 证明 In??2sinnxdx0??????2sinn?1xdcosx 0???[cosxsin?n?1 ?2x] 0??02cosxdsinn?1x

? ?(n?1)?2cos2xsinn?2xdx0??(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx

? ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得

In?n?1In?2?

n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0?

2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1?

2m?12m?12m?353而I0??因此

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1???

2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?

2m?12m?12m?3533.3 定积分的近似计算

虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限 性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。

定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍三种常用的方法：矩形法、梯形法及抛物线法。

3.3.1 矩形法

用分点a?x0,x1,?,xn?b将区间?a,b?等分成n份，每一份长度为?x?小区间左端点的函数yi(i?0,1,2?,n?1)作为窄矩形的高（图5-7），则有

19

2dx??02??? I1??02sinxdx?1?

?b?a，取n?bab?anf(x)dx??yi?1?x?yi?1 ?ni?1i?1n取小区间右端点的函数值yi(i?0,1,2?,n?1)作为窄矩形的高， 则有

?bab?anf(x)dx??yi?x?yi ?ni?1i?1n以上两公式称为矩形法公式。

图5-7

3.3.2 梯形法

将积分区间?a，b?作n等分，分点依次为

a?x0?x1???xn?b,?x?相应的函数为

b?a. ny0,y1,?,yn(yi?f(xi),i?0,1,?,n)

曲线y?f?x?上相应的点为

P0,P1,?,Pn(Pi?(xi,yi),i?0,1,?,n)

将曲线的每一段弧Pi?1Pi用过点Pi?1,Pi（线性函数）来代替，这使得每个?xi?1,xi?上的曲边梯形形成了真正的梯形（图5-8），其面积为

yi?1?yi?x，i?1，2，?，n 2于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即

20

亦即

?f?x?dx??ai?1bnyi?1?yi?xn?x?(yi?1?yi) ?22i?1?baf(x)dx?y?b?a?y0??y1?y2???yn?1?n?, （2） n?22?称此式为梯形法公式。

在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有

?baf(x)dx?y?b?a?y0??y1?y2???yn?1?n??Rn, n?22?(b?a)3其中Rn??f??????，a???b?

12n2

图5-8

3.3.3 抛物线法

由梯形法求近似值，当y?f?x?为凹曲线时，它就偏小；当y?f?x?为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。（图5-9）

将区间?a，b?作2n等分，分点依次为

a?x0?x1???x2n?b,?x?对应的函数值为

b?a. 2ny0,y1,?,y2n (yi?f(xi),i?0,1,?,2n)

曲线上相应的点为P0,P1,?,P2n,Pi?(xi,yi),(i?0,1,2,?,2n) 现把区间

?x2i?2,x2i?上的曲线段

y?f?x?用通过三点

P2i?2(x2i?2,y2i?2),P2i?1(x2i?1,y2i?1),P2i(x2i,y2i)的抛物线

21

y??x2??x???pi(x)

来近似代替，然后求函数pi(x)从x2i?1到x2i的定积分：

?x2ix2i?2pi(x)?x2i?x2i?26?yn2i?2?4y2i?1?y2i??b6?na?y2i?2?4y2i?1?y2i?

将这n个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： 即

?abxf?x?dx???2ii?1x2i?2nb?a?y2i?2?4y2i?1?y2i? ??xdx?pi?i?16n?baf?x?dx?b?a6n?y?y002n?4?y?y???y??2?y?y???y??

132n?1242n?2n这就是抛物线法公式，也就是辛卜生公式。 也有

?baf?x?dx?b?a6n?y?y2n?4?y?y???y??2?y?y???y???R

132n?1242n?2(b?a)5(4)f(?) ?a???b? 其中Rn??180n4可见n越大，近似计算越准确。一般说来，将积分区间?a，b?作同样数目等份的情况下，抛物线形公式比梯形公式更精确一些。

?

图5-9 习题5-3

1计算下列定积分

22

1（1）?16?xdx ； （2）? ； （3）?2sinxcos3xdx； dx20004?x2ln21elnxxdx（4）?； ex?1dx； （6）?dx； （5）?0?11x5?4x421?（7）?41dxx?10?； （8）?sinxdx； （9）?203e21dxx1?lnx；

?1dx1?cos2xdx； （11） ；（12）x21?x2dx. ??200?2x?2x?22.利用换元法计算下列积分

（10）?1dx； （3）?2sin?cos3?dx；（1）?sin(x?)dx； （2）? 3?2(11?5x)033??1??（4）

?2ax3a?x220dx； （5）

?10e1?1?lnxdx； （6）?2sinxecosxdx；

0x（7）

?21xx?122dx； （8）?x1?x?dx.

3.计算下列定积分 （1）

?1?1(1?xtanx)dx； （2）?2?(x?cosx)sin2xdx.

?244.利用分部积分法计算下列积分 （1）（4）

?10(1?x)exdx； （2）?xe2xdx； （3）?x2lnxdx；

011e??401xcos2xdx； （5）?0(5x?1)e5xdx； （6）?0ln(x?1)dx；

πx14e?1?3x3x（7）?ecosπxdx； （8）?(x?3?e)xdx； （9）??3004xdx； sin2x2x2（10）?41lnxxdx； （11）?xarctanxdx； （12） ?xedx；

010（13）?1lnxdx； （14）?2xsinxdx.

e0e?5.利用奇偶性计算下列各式

?22（1）?(x?1?x)dx; （2） ??112??24cos4xdx；

ax3sin2x （3）?4; （4）dx??a(xcosx?5sinx?2)dx. ?5x?2x2?1523

6.若f(t)是连续的奇函数，证明

?x0f(t)dt是偶函数：若f(t)是连续的偶函数，证明

?x0f(t)dt是奇函数。

7.若f(x)在区间[0,1]上连续,证明

?0?0(1)?2f(sinx)dx=?2f(cosx)dx; (2)?xf(sinx)dx=

0??2?0?f(sinx)dx,由此计算 ?2a0?0xsinxdx.

1?cos2xa8. 设f?x?在?0,2a?上连续，证明 ?af?x?dx???f?x??f?2a?x???dx. 0?9.设f??(x)在[a,b]上连续，证明：?xf??(x)dx?[bf?(b)?f(b)]?[af?(a)?f(a)]

b

24

第4节 反常积分

4.1 无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间?a,???上连续? 取b?a ? 如果极限

?f(x)dx b???alimb存在? 则称此极限为函数f(x)在无穷区间?a,???上的反常积分? 记作?af(x)dx? 即

???a这时也称反常积分?af(x)dx收敛???

????f(x)dx?limb???a?bf(x)dx?

如果上述极限不存在? 函数f(x)在无穷区间?a,???上的反常积分?af(x)dx就没有意

??义? 此时称反常积分?af(x)dx发散?

类似地? 设函数f(x)在区间???,b?上连续? 如果极限

???f(x)dx(a

b???f(x)dx?limbba???a?bf(x)dx?

b这时也称反常积分???f(x)dx收敛??如果上述极限不存在? 则称反常积分???f(x)dx发散? 设函数f(x)在区间(??,??)上连续? 如果反常积分

???f(x)dx和?00??f(x)dx

都收敛? 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间(??,??)上的反常积分? 记作

???f(x)dx? 即

???f(x)dx????f(x)dx??0 ?lim这时也称反常积分???f(x)dx收敛?

如果上式右端有一个反常积分发散? 则称反常积分???f(x)dx发散?

25

????0a???????0??f(x)dx

?af(x)dx?limb???0?bf(x)dx?

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