小学奥数排列组合复习

小学奥数排列组合的内容,属于小学奥数中计数这个大模块

排列组合复习

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主要内容乘法原理加法原理 排列 组合 例题讲解 习题2010 06 18

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基本计数原理 1. 乘法原理

设完成一件事有m个步骤，则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …; n1 n2 nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事，全力以赴 赢在精锐

第一个步骤有n1种方法，

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例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？

可以有 3 2 种打扮全力以赴 赢在精锐

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基本计数原理

2. 加法原理设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 …; 有n1 + n2 + … + nm 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，全力以赴 赢在精锐

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例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班

甲地 回答是 3 + 2 种方法轮船有三班

乙地

乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?全力以赴 赢在精锐

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乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .

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3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 (m≤n)元素，按照一定的顺序排成一列.叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列 中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样.如果两个 排列的元素不完全相同.或者各元素的排列顺序不完全一样， 则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数， m pn 。 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作

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排列数公式: 从n个不同元素取 m个

(1 m n)的不同排列总数为：p n(n 1)( n 2) (n m 1) m n

n! (n m)!

m = n时称全排列P pn n(n 1)( n 2) 2 1 n!n n

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第1次选取

第2次选取

第3次选取C

例如：n=4, m =3

B

D

A

C

BD B

D C B

P 4 3 2 243 4

C

……

D 全力以赴 赢在精锐

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4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个 (m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。 从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有组合的个数

, 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 C nm 。

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组合数公式: 从n个不同元素取 m个 (1 m n)的不同组合总数为：Cm n

P

m n

n! (n m)! m!

m!m n

P C m!m n

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一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 p n 分两步求得：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有C n 种方法； m p m 种排法. 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 故由乘法原理得到： m m m pn = C n · pm 因此m

m

可以

这就是组合数公式.

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5、例题讲解例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其 他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？(照相时3人站成 一排)分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站.由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.

解：由排列数公式，共可能有： 3 p 4 =4×3×2=24 种不同的拍照情况.

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例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问 题，是一个全排列问题，且n=4.

解：由全排列公式，共有p 4 =4×3×2×1=244

种不同的站法.

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例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要 进行多少场比赛？分析：因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比 赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队 中取2个队的组合问题。

解： 由组合数公式知，共需进行 2 C 12 =12×11÷2=66 场比赛。

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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营， 问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有 多少种站法？分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法. 要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.

解： 由组合数公式，共有 3 C 42 = 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有 3 p 42 =42×41×40=68880 种不同的站法.全力

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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共 有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种 站法？分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与 3 三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有 C 42 种不同的选法. 要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且 3 与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 p 42种不同的站法.

解： 由组合数公式，共有 3 C 42 = 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有 3 p 42 =42×41×40=68880 种不同的站法.

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6、习题

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/22cj.html