1蒙特卡罗方法概述 xd

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第一章 蒙特卡罗方法概述1. 2. 3. 4.

蒙特卡罗方法的基本思想 蒙特卡罗方法的收敛性，误差 蒙特卡罗方法的特点 蒙特卡罗方法的主要应用范围 作业

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第一章 蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机 的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并 首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗 方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大 区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于 蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理 实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而 该方法的应用领域日趋广泛。

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1. 蒙特卡罗方法的基本思想二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和 电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了 应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科 学试验中就已发现，并加以利用。

两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题(打靶游戏) 基本思想 计算机模拟试验过程

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例1. 蒲丰氏问题为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人 作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上， 用针与一组相间距离为2a( l<a)的平行线相交的频 率代替概率P,再利用准确的关系式： 2l P a 求出π值 2l 2l N ( ) aP a n 其中N为投计次数，n为针与平行线相交次数。这 就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。

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一些人进行了实验，其结果列于下表 ：实验者 沃尔弗(Wolf) 年份 1850 投计次数 5000 π的实验值 3.1596

斯密思(Smith)福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini)

18551894 1901

32041120 3408

3.15533.1419 3.1415929

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例2. 射击问题(打靶游戏)设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，g(r) 表示击中r处相应的得分数(环数),f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为

g g (r ) f (r )dr0

用概率语言来说，<g>是随机变量g(r)的数学期 望，即

g E g (r )

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现假设该运动员进行了 N 次射击，每次射击的弹 着 点 依 次 为 r1 , r2 , … , rN , 则 N 次 得 分 g( r1 ) , g(r2),…,g(rN)的算术平均值1 N g N g (ri ) N i 1

代表了该运动员的成绩。换言之，为积分<g>的估 计值，或近似值。 在该例中，用N次试验所得成绩的算术平均值作 为数学期望<g>的估计值(积分近似值)。

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基本思想

由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某 个事件的概率，或者是某个随机变

量的数学期望，或 者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的 方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 当随机变量的取值仅为 1或 0时，它的数学期望就 是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随 机变量(仅取值为1或0)的数学期望。

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因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数f(r)的随机变量g(r)的数学期望

g g (r ) f (r )dr0

通过某种试验，得到N个观察值r1,r2,…,rN(用概 率语言来说，从分布密度函数 f(r) 中抽取 N 个子样 r1 , r2 , … , rN ,),将相应的 N 个随机变量的值 g(r1) , g(r2),…,g(rN)的算术平均值1 N g N g (ri ) N i 1

作为积分的估计值(近似值)。

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为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的 次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难， 甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽 然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代 以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电 子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试 验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应 用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。

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计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程，就是将试验过程(如投针， 射击)化为数学问题，在计算机上实现。以上述两个 问题为例，分别加以说明。 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题(打靶游戏) 由 上 面 两 个例题看出 ， 蒙特卡罗方 法常以一个 “概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使用由 已知分布抽样的方法，得到部分试验结果的观察值， 求得问题的近似解。

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例1.蒲丰氏问题设针投到地面上的位置可 以用一组参数(x,θ)来描述， x为针中心的坐标，θ为针与平 行线的夹角，如图所示。 任意投针，就是意味着x与 θ都是任意取的，但x的范围限 于[0,a],夹角θ的范围限于 [0,π]。 在此情况下，针与平行线 相交的数学条件是

针在平行线间的位置

x l sin

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每次投针试验，实际上变成在计算机上从已 知分布的随机变量中抽样得到(x,θ),分析可得：x在[0,a]上任意取值，表示x在[0, a]上是均匀分布的，其分布密度函数为：

1 / a, 0 x a f 1 ( x) 其他 0,类似地，θ的分布密度函数为：

1 / , 0 f 2 ( ) 其他 0,

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然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ),为

1, 当x

l sin s( x, ) 0, 其他 如果投针N次，则1 sN N

s ( x , )i 1 i i

N

是针与平行线相交概率P的估计值。事实上，P s ( x, ) f1 ( x) f 2 ( )dxd

d

0

于是有

l sin

0

dx 2l a a

2l 2l aP as N

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蒲丰氏问题的算法如何产生任意的(x,θ)?(参见课本内容：第三章 由已知分布的随机抽样) 1 / a, 0 x a f 1 ( x) 其他 0, 1 / , 0 f 2 ( ) 其他 0,

因此，产生任意的(x,θ)的过程就变成了由 f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ的过程了。 抽样算法为：

x a 1

2其中ξ1,ξ2均为(0,1)上均匀分布的随机变量。

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参照课本内容： 在[a,b]上均匀分布的抽样在[a,b] 上均匀分布的 分布函数为：

0 x a F ( x) b a 1

当x a 当a x b 当x b

其分布密 度函数为：

1 /(b a), a x b f ( x) 其他 0,X F a (b a)

则

其中为 ξ(0,1)上均匀分布的随机变量。

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如何产生任意的随机变量ξ ?(参见课本内容：第二章 随机数)举例： 产生伪随机数的乘同余方法

xi 1 a xi , xi 1 i 1 , M

(modM )i 1,2,

x2=mod(aa*x1,MM); x1=x2; randomx=x2*1.0/MM;

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例2.射击问题设射击运动员的弹着点分布为 8 9 10 环数 7 0.2 命中8环 0.1 0.3 0.5 概率 0.1 0 . 5 命中9环 用计算机作随机试验(射击) 的方法为，选取一个随机数ξ,按 命中10环 右边所列方法判断得到成绩。 这样，就进行了一次随机试 验(射击),得到了一次成绩 N 1 g(r),作N次试验后，得到该运 g N g (ri ) 动员射击成绩的近似值 N i 1 0.1 命中7环

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2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误 差是普遍关心的一个重要问题。

收敛性 误差 减小方差的各种技巧 效率

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收敛性由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的 简单子样X1,X2,…,XN的算术平均值： 1 N X N Xi N i 1 作为所求解的近似值。由大数定律可知， 如X1,X2,…,XN独立同分布，且具有有限期望值 (E(X)<∞),则 P lim X N E ( X ) 1 N 即随机变量X的简单子样的算术平均值 X N ,当子 样数N充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。

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误差蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论 的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机 变量序列X1,X2,…,XN独立同分布，且具有有限非 零的方差σ2 ,即0 2 ( x E ( X )) 2 f ( x)dx

f(X)是X的分布密度函数。则 N P X E ( X ) x N lim N

1 2

x

x

e

t 2 / 2

dt

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2291.html