专题复习--数列讲义(内含答案)

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数列专题复习(1) 等差数列

―――――――――――――――课堂自主导入―――――――――――――――― 【诊断训练】

1、已知是1,4,t,?等差数列,则t 值和通项公式

an分别为( D )

2A.9, n B.7, 3n?1 C.7, 2n?1 D.7,3n?2

2、在数列中,若an?an?1?5(n?N?)且a1?2,an??58,则n?(B) A.12 B.13 C.14 D.15 【能力小测】

3、在1与99之间插入50个数,使之成为一个等差数列,则公差d?__所有项的和S?_2600___. 4、等差数列{an}中,若__(2,98__. 51a1??20且从第

11项开始

an?0,则公差d的范围是

20]_______ 9【要点梳理】

(1)等差数列的定义以及通项公式 an?1?an?常数 an?a1?(n?1)d

(2)等差数列的前n项和公式及其应用 n(n?1)an?a1?n?na1?d 22(3)等差数列的整体代换

Sn?(4)等差数列性质公式。若m,n,p,q?N?且m?n?p?q则am?an?ap?aq

――――――――――――――――课堂对半讲练――――――――――――――――― 【问题1】设等差数列的前n项和为Sn,若S2?30,S4?44, (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列?【思维精析】

【随堂记录】解:(1)由Sn?na1? ???Sn??的前n项和Tn。 ?n?n(n?1)d 2?2a1?d?30?4a1?6d?44?a1?17???d??4?an?17?(n?1)(?4)?21?4n

1

(2)由Sn?na1? 令bn?n(n?1)d??2n2?19n2?Sn??2n?19 nSn ?bn?1??2(n?1)?19?17?2n nbn?1?bn?2且b1?17

??bn?是首项为17,公差为2的等差数列。

?Tn?17n?

例2:【问题2】已知正项数列{an}满足an?1?an?4(an?1)(n?N?) (1)求证:数列{an}是等差数列 (2)若a6?1,求数列{【思维精析】

【随堂记录】解:(1)由an?1?an?4(an?1)化简可得:an?1?(an?2) 由

2222n(n?1)?2?n2?16n 222an}的前项和Tn

an?0?an?1?an?2即an?1?an?2(n?N?) 故数列{an}是等差数列

(2)设an?a1?2(n?1)由a6?1

?a1?10?1?a1??9 即an??9?2(n?1)?2n?11,则an?2n?11

讨论:(1)n?5 时,

an?2n?11?11?2n

?9?2n?112?Tn?a1?a2???an??(a1?a2???an)??(2)n?6时,

?n?10n?n2

an?2n?11?2n?11

?Tn?a1?a2???an??a1?a2??a5?a6?a7??an

?9?2n?11?(a1?a2??an)?2(a1?a2???a5)?sn?2s5???n?2?25?n2?10n?502综上:故sn2??10n?n(n?5)??2 ??n?10n?50(n?6)

[归纳]:1.证明等差数列的要点是什么?

2.分段数列的求和,需要注意什么问题?

例3:在等差数列{an}中,a1?20前n项和为Sn,且S10?S15,当n取何值时,Sn有最大值,求出最大值。

2

解:由S15?S10

?a11?a12???a15?0?5a13?0?a13?0又a1?20

?n?12或13时,Sn最大

又S12?S13?

例4:已知等差数列{an}的前12项的和为354,其中偶数项的和与奇数项和之比为32:27,求公差d. 解:由

a1?a1320?0?13??13?130 22a1?a3???a11?27xa2?a4???a12?32x?d?

作差得:6d?5x又27x?32x?3545x 6?x?6 代入 ?d?5

【本课小结】

应该记住的内容:

重点内容: 个人心得:

――――――――――――――――课后检测(A组)――――――――――――――― 一、选择题

1、在等差数列中,d??,a7?8,则a1?(A) A.10 B. 6 C.

2、在等差数列?an?中,已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6等于(B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45

二、填空题

3、在公差小于0的等差数列{an}中,若a4?a6?a5,则Sn取最大值时n取值为4或5_.

133117 D. 33 3

4.设数列{an}是递增的等差数列且前三项之和为9,前三项之积为15,则通项公式

an?_2n?1__.

三、解答题

5、设等差数列的前项n和为sn,若a4?15,a9?35,

(1)求数列{an}的通项公式。 (2)若sn?210,求n的值。 解:(1)an?4n?1 (2)由Sn?3?4n?1?n?2n2?n?210 ?n?10 226、在公差不为0的等差数列{an}中,求通项公式an。 a1,a2为方程x?a3x?a4?0的根,解:由??a1?a2?a3?a1a2?a4?a?2??1?d?2?an?2n

7*(选做) 在数列{an}中,若a1?2且an?1?an 2an?1(1)求证:数列{

1an}是等差数列 (2)求数列{an}的通项公式。

(1)证明:

112a?11??n??2 an?1ananan?1??数列??是公差为2的等差数列。

?an?(2)解:由(1)

114n?3 ??(n?1)?2?ana12?an?2 4n?3

―――――――――――――――课后检测(B组)――――――――――――――――― 一、选择题

1.在等差数列{an}中,若公差d?0且S3?S7 那么其n项和Sn最大的n是( B ) A)4 B)5 C)6 D)7

2.(2006年全国卷I)设?an?是公差为正数的等差数列,若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80,则a11?a12?a13?( B )

A.120 B.105 C.90 D.75

4

3.等差数列{an}中,a1?a7则前10项的和S10等于 ( C ) ?42,a10?a3?21,

A、720 B、257 C、255 D、不确定

二、填空题(留解答空间)

4、.在等差数列{an}中,若Sn?10,S2n?20 则S3n?_30____. 5.已知方程(x?2x?m)(x?2x?n?0)的4个根组成一个首相为

221 的等差数列,则4m?n?_1___ 26.若数列{an}是等差数列,S10?0,S11?0,则使an?0的最小的n值是_______6_______

三、解答题(留解答空间)

7.一个等差数列共n项,若前3项和为60,最后3项和为240,所有项的和为1000,求项数n. 解:由

a1?a2?a3?60an?an?1?an?2?740

?3(a1?an)?300 ?a1?an?100 ?Sn?

a1?an?n?1000?n?20 28*(选做)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且

An7n?45,?Bnn?3(1)求

a3Aa的值 (2)n为何值时,n为整数? (3)n为何值时,n为整数? b3Bnbna1?a5?5a32a3a1?a5A802(1)解:由????5??10 b32b3b1?b5b1?b5?5B582(2)

An7n?457n?21?2424 ???7?Bnn?3n?3n?3由24?1?24?2?12?3?8?4?6

?n?1,3,5,9,21时取整数

(3)由

an2ana1?a2n?1A2n?17(2n?1)?4514n?387n?1912???????7? bn2bnb1?b2n?1B2n?1(2n?1)?32n?2n?1n?1a?n?1,2,3,5,11时,n是整数。

bn

5

数列专题复习(2)-----等比数列

―――――――――――――――课堂自主导入―――――――――――――――― 【诊断训练】

1、已知?an?是等比数列,a2?2,a5?(A)?1,则公比q=( D ) 411 (B)?2 (C)2 (D)

222、设等比数列{an}的公比q?2,前n项和为Sn,则

S4?( D ) a2

D.

A. 2 B. 4 C.

15 217 2【能力小测】

3、已知2,a,4成等比数列,则实数a?____?22_________

4、在公差不为零的等差数列{an}中,若a1,a3,a6 成等比数列,则公比q?__【要点梳理】(含考纲中相关内容)

(1)等比数列的概念并掌握其通项公式

3__. 2an?a1qn?1

(2)等比中项的定义 (3)掌握并能够应用等比数列的前 项和公式

?na1(q?1)?n ?Sn?a1(1?q)(q?1)??1?q(3)等比数列下角标和公式:在等比数列{an} 中 若m?n?p?q,则am?an?ap?aq (4)等比数列中,数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,也是等比数列 。 ――――――――――――――――课堂对半讲练――――――――――――――――― 例1:设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1?b1?1,a3?b5?21,

a5?b3?13 (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;

(Ⅱ)设cn?2an?bn求数列?cn?的前n项和Sn. 【思维精析】 【随堂记录】

?a3?b5?21解(1)由??a5?b3?13

?1?2d?q4?21??2?1?4d?q?136

?2d?20?q4??2?4d?12?q?d?2 ???q?2?an?1?(n?1)?2?2n?1(2)cn?(4n?2)?2n?1

bn?1?2n?1?2n?1

2?4n?21(1?2n)?Sn??n??2n2?2n?1

21?2例2:在数列?an?中,a1?2,an?1?4an?3n?1,(n?N)

*(Ⅰ)证明数列?an?n?是等比数列; (Ⅱ)求数列?an?的前n项和Sn; (Ⅲ)证明不等式Sn?1≤4Sn,对任意n?N皆成立. 【思维精析】

【随堂记录】解:(1)由an?1?(n?1)?4an?3n?1?(n?1)?4(an?n) 又a1?1?1 ??an?n?是首项为1,公比为4的等比数列

*?an?n?1?4n?1(2)由an?n?4(3)略。 (选做)

n?1即an?n?4n?1

n(n?1)4n?1?Sn??

23例3: 在数1和100之间插入n个实数,使得这n?2个数构成递增的等比数列,将这n?2个数的乘积记作Tn,再令an?lgTn,n?1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn?tanan?tanan?1,求数列{bn}的前n项和Sn. 解:(1)由Tn?1?a1?a2???an?100 又Tn?100?an?an?1???a1?1

?Tn?100?100???100?100n?2

2???)?(2)由tan(tan??tan?tan??tan??tan???1 ?tan1?tan?tan?tan?(??)?bn?tan(n?2)tan(n?3)?tan(n?3)?tan(n?2)?1

tan1tan(n?3)?tan3?Sn?b1?b2???bn??n

tan1

7

【课后练习A】

1.数列a,a,a,?,a,?(a?R)必为 ( D )

A、等差非等比数列 B、等比非等差数列 C、既等差且等比数列 D、以上都不正确

2.若?ABC的三边a,b,c既成等差数列,又成等比数列,则该三角形是__等边___三角形。 3.若等比数列的前n项和Sn?3?t,则t的值为( D ) A)3 B)1 C)0 D)—1 4.若1,a,b,c,9成等比数列,则b?__3__.

5.在等比数列{an}中,若S3?7,S6?63,则公比q?__2__.

6.在互不相等的正项等比数列{an}中,若a2,a3,a5成等差数列,则公比q?__2__. 三、解答题(留解答空间)

7.已知?an?是各项为正数的等比数列。试比较

nan?an?2与an?1的大小,证明你的结论. 2an?an?2an?an?2?2an?1an(q2?2q?1)an(q?1)2?an?1????0 解:

2222

【课后练习B】

1.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比q为( A ) A.2 B.3 C.4 D.8

2.(2007湖南文)在等比数列{an}(n?N*)中,若a1?1,a4?项和为( B ) A.2?1,则该数列的前10811112?2?2? B. C. D. 41011922223.已知{an}是等比数列且

an?0,若a2a4?2a3a5?a4a6?25,则a3?a5?_A__.

A)5 B)10 C)15 D)20

4.在等比数列{an}中,若a2?4,a5?32则a1?a2?a3?___1___..

2a2?a3?a45.在等比数列{an}中,若a2?2,a4?4,则a12?a22??an2?2n?1?2.

6.等比数列中,若S5?10,S10?30,则S?__70___.

15*{a}(n?N)是等差数列,则有数列b?a1?a2?a3?......?an,(n?N*)也是n7.若数列nn 8

*{c}(n?N)是等比数列,且cn?0,则有数

等比数列。类比上述性质,相应地:若数列nc1c2?cn_____,(n?N*)也是等比数列。

8.若互不相等的实数a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数列,且a?3b?c?10,则a=( D )

列dn?___ A.4 B.2 C.-2 D.-4

9.设{an}为公比q>1的等比数列,若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的两根,则

2na2006?a2007?__18___.

数列专题复习(3)----数列的综合问题

一、课前小测

1.凸多边形各内角度数成等差数列,最小角为120°,公差为5°,则边数n等于 ( B )

A.16 B.9 C.16或9 D.12

2.若A、B、C成等差数列,则直线Ax+By+C=0,必过点 (1,-2)

二、本课知识要点

1.等差数列与等比数列的综合运用

2.数列知识与其他内容的综合问题 3.数列的探索性问题

三、典型问题

【问题1】已知数列

?an?中,a1?1,且点P?an,an?1??n?N??在直线x?y?1?0上.(1)求

1111?n?N,且n?2?,?????n?a1n?a2n?a3n?an数列?an?的通项公式;(2)若函f(n)?求函数f(n)的最小值; 解:(1)由an?an?1?1?0?an?1?an?1

??an?是公差为1的等差数列 ?an?1?(n?1)?n

111???? n?1n?22n111?f(n?1)?????n?2n?32n?2

11111?f(n?1)?f(n)??????02n?22n?1n?12n?12n?2

1??f(n)?是递增的。 ?f(n)min?f(1)?

2(2)f(n)?

9

【问题2】设⊙C1,⊙C2,??,⊙Cn是圆心在抛物线y?x2上的一系列圆,它们的圆心的横坐标分别记为a1,a2,??,an。已知a1?1,a1?a2???an?0。若⊙Ck 4(k=1,2,3, ??,n)都与x轴相切,且顺次两圆外切。 (1)求证:{1}是等差数列 (2)求an的表达式; an222(3)求证:a1?a2??an?(1)解:由On(an,an)21 42On?1(an?1,an?1)

?OnOn?1?R1?R2?(an?an?1)2?(an?an?1)2?an?an?1化简:an?an?1?2anan?1

2222

?11??2an?1an又1?4 a1?1? ???是首项为4,公差为2的等差数列。?an??1?4?2(n?1)?2n?2an?an?1

2n?2 【问题3】.在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?,对一切正

整数n,点Pn位于函数y?3x?差的等差数列?xn?。

⑴求点Pn的坐标;

135的图象上,且Pn的横坐标构成以?为首项,?1为公42⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第n条抛物线cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2?1),记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn,求:

111????。 k1k2k2k3kn?1kn

53?(n?1)?(?1)??n? 2213535?yn?3?xn???3n?,?Pn(?n?,?3n?)

4424(2)?cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn.?设cn的方程为:

2n?3212n?5y?a(x?)?,

24解:(1)xn??

10

把Dn(0,n2?1)代入上式,得a?1,?cn的方程为:y?x2?(2n?3)x?n2?1。

1111?(?)

kn?1kn(2n?1)(2n?3)22n?12n?31111111111?[(?)?(?)???(?)] ?????792n?12n?3k1k2k2k3kn?1kn25711111)??=(?

252n?3104n?6

课后练习:

kn?y'|x?0?2n?3,?1?1.已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?33an?1(n?N*),则a20=( B )

3 2

A.0 B.?3 C.3 D.

22.在各项均不为零的等差数列?an?中,若an?1?an则S2n?1?4n?( A ) ?an?1?0(n≥2),

A.?2 B.0 C.1 D.2

3.设数列

?an?是等差数列,且a2??6,a8?6,Sn是数列?an?的前n项和,则( B )

A.S4?S5 B.S4?S5 C.S6?S5 D.S6?S5

4.在等差数列

{an}中S9??36 , S13??104 ,等比数列{bn}中,

b5?a5 , b7?a7,则 b6? ?42 5.已知数列{an},如果a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1,?是首项为1,公比为

1的等比数列,3则an等于(n∈N) ( A ) 31312121) B.(1?n?1) C.(1?n?1) D.(1?n?1) A.(1?22333333n6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N),若a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q的值是 4 7.下列各命题中,真命题是( D )

A.若{an}成等差数列,则{|an|}也成等差数列 B.若{|an|}成等差数列,则{an}也成等差数列

C.若存在自然数n,使得2an+1=an+an+2,则{an}一定是等差数列 D.若{an}是等差数列,对任何自然数n都有2an+1=an+an+2

(a1?a2)28.已知x、y为正实数,且x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取

b1b2值范围是____[4,??)_____

11

?????9.已知向量m//n,其中m?(?1,?1),n?(?1,y)(x,y,c?R),把其中x,y所满

x3?c?1足的关系式记为y?f(x),若函数f(x)为奇函数. (Ⅰ)求函数f(x)的表达式; f(x)?x3

(Ⅱ)已知数列?an?的各项都是正数,Sn为数列?an?的前n项和,且对于任意n?N,

*都有“数列?f(an)?的前n和”等于Sn2,求数列?an?的首项a1和通项式an;an?n

10.如图,在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?对每个自然数

2点P以点P且⊙Pn,n位于函数y?x(x?0)的图像上,n为圆心的⊙Pn与x轴都相切,n与

⊙Pn?1又彼此外切.若x1?1,且xn?1?xn(n?N). (1)求证:数列?*y?1??是等差数列; ?xn?PnPn+1(答案见P7问题(2)) (2*)设⊙Pn的面积为Sn,Tn?S1?S2???Sn,

3?求证:Tn?.

2(2)解:由(1)

ox11??(n?1)?2?2n?1xnx11(2n?1)4?Sn????xn?1

(2n?1)21 2n?1?Sn??xn???4111?S1?S2???Sn??(2?2???)?213(2n?1)

111113?(1?????)??(1??)??2?33?4(2n?2)(2n?1)22n?12

12

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/223o.html

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