2014深圳杯A题论文

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论文题目：A

组 别：本科生 参赛队员信息(必填)： 参赛队员1 参赛队员2 参赛队员3 姓 名 学 号 20124843 20124453 20124831 联系电话 参赛学校：

计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究

摘要：

根据题目要求，我们建立了两个模型：灰色系统关联模型和灰色系统GM(1，1)增长模型。运用数学知识和软件拟合出未来30年中国人口的走势。

党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。基于这些，我们收集了一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型。城镇化的发展和是随着我国经济逐步提高的，它的进程影响着未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面。我们先根据各因素和城镇人口比重的关联度确定4个关系紧密的因素，然后建立GM(1,1)模型.

关键词：灰色系统关联 GM（1,1） 城镇化

一、问题的重述

人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。

现需要：

1..收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，主要是前五次的人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解。

2.针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

二、基本假设

1.在过去的人口普查中数据质量较正确，没有出现漏查的现象。 2.所给的人口普查数据符合抽样的随机性。

3.假设单独开放二孩不影响老人每年增长的基数。

三、符号说明

City(T):第T年城镇人口比重，或城镇化水平 B(T):第T年出生率 D(T):第T年死亡率

I（T）:第T年自然增长率 N(T):第T年总人口数

SRaise(T):第T年总抚养比率

SRaise(T):第T年少年人口抚养比率 ORaise(T):第T年老年人口抚养比率

Edu1(T):第T年六岁及以上人口未上学的比例 Edu2(T):第T年六岁及以上人口上小学的比例 Edu3(T):第T年六岁及以上人口上初中的比例

Edu4(T):第T年六岁及以上人口上高中的比例

Edu5(T):第T年六岁及以上人口上大专及以上的比例 Age1（T）:15岁以下人口的比例 Age2（T）:15-64岁人口的比例 Age3（T）:65岁及以上人口的比例 T：年份

四、问题分析与建模

计划生育政策是影响经济社会发展的重要因素。十八大提出了开放单独二孩，将对中国的数量和人口结构产生极大的影响，包括人口总数，劳动人口，老龄化趋势和城镇人口比重构成。但计划生育政策的影响是复杂的，我们仅从城镇化的角度探究计划生育政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。人口增长由出生率、死亡率和人口基数所决定，同时受到人口分布，人口素质，宏观政策和人口结构（如：年龄结构，性别比例等）等众多因素的调节，最终形成我国人口的增长趋势。我们先从城镇化和这些因素的关联度来考虑计划生育政策中城镇化对于人口总数，年龄结构，教育和抚养四方面的影响程度。由于我们选取的因素比较多，所以采用的是灰色系统进行关联分析。最终得相应的ri值。然后建立灰色GM（1,1）模型，进行预测各项指标。 五、模型建立和求解 1．灰色系统关联分析模型的建立和求解 在中国年鉴网查的数据如下： 表一 年份 City(T) x0 SRaise(T) x1 JRaise(T) x2 ORaise(T) x3 B(T) x4 D(T) x5 I（T）x6 N(T) x7 Edu1(T) x8 Edu2(T) x9 Edu3(T) x10 Edu4(T) x11 Edu5(T) x12 Age1（T）x13 Age2（T）x14 Age3（T）x15 2006 44.34 38.25 25.53 12.72 12.09 6.81 5.28 131448 0.087889 0.330708 0.389928 0.129286 0.062189 19.8 72.3 7.9 2007 45.89 37.42 24.56 12.86 12.1 6.93 5.17 132129 0.080148 0.317976 0.402224 0.134077 0.065575 19.4 72.5 8.1 2008 46.99 36.72 23.68 13.04 12.14 7.06 5.08 132802 0.075004 0.311695 0.409359 0.136903 0.06704 19 72.7 8.3 2009 48.34 36.21 22.98 13.24 11.95 7.08 4.87 133450 0.071177 0.301258 0.416719 0.137973 0.072872 18.5 73 8.5 2011 51.27 34.4 22.13 12.27 11.93 7.14 4.79 134735 0.05503 0.275687 0.414053 0.154646 0.100582 16.5 74.4 9.1 2012 52.57 34.88 22.2 12.68 12.1 7.15 4.95 135404 0.052921 0.268814 0.411121 0.161224 0.10592 16.5 74.1 9.4

关联分析

1．1 选取参考序列

x0?{x0(k)|k?1,2,...,n}?(x0(1),x0(2),...,x0(n))

其中k表示时刻。假设有m个比较数列

xi?{xi(k)|k?1,2,...,n}?(xi(1),xi(2),...,xi(n)),i?1,2,...m

则称?i(k)?

minmin|(x0(t)?xs(t)|??maxmax|(x0(t)?xs(t)|stst|(x0(k)?xi(k)|??maxmax|(x0(t)?xs(t)|st （1）

为比较数列xi对参考数列x0在k时刻的关联参数，其中?∈[0,1]为分辨系数。称（1）式中minmin|(x0(t)?xs(t)|、maxmax|(x0(t)?xs(t)|分别为两级最小差及两级最大差。

stst一般来讲，分辨系数?越大，分辨率越大；分辨系数?越小，分辨率越小。 （1）式的关联系数是描述比较数列与参考数列在某个时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联度，因此信息过于分散，不变比较，为此我们给出 定义3，称 1n ri???i(k) （2） nk?1为数列xi对参考数列x0的关联度。 将表一数据进行初始化处理。 给定数列x?(x(1),x?2?,x(n))，称 x?(1,x(2)x(n),...,) x(1)x(1)为原始数据X的初始化数列。 将表一的各个数列的初始化数列带入（1）及（2）式，用MATLAB算出各数列的关联度如下表（?=0.5）。 关联度表 表二 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 0.71674 0.67925 0.81402 0.78686 0.85594 0.71722 0.81665 0.58122 r9 r10 r11 r12 r13 r14 r15 0.67424 0.88867 0.93711 0.73469 0.69413 0.81144 0.97697

从表中可以看出Age3(T)，Edu4(),Edu3(),D(T)N(T)及ORaise(T)与城镇人口比重的关

联度较大，这说明了随着城镇化的不多深入，65岁及以上人口比重在不断攀升，老龄化趋势在加剧，老年人的抚养比率上升。同时人群中受高等教育的比重也在提高，体现了城镇化对于教育设施的改善。另方面，医疗设备的更新使得死亡率大大下降，人口总数上升加快。最终中国人口将走向老化。因此通过模拟

Age3(T)，Edu4(),Edu3(),D(T)N(T)及ORaise(T)可以较客观地反映年龄结构，教育程度，人口总数和抚养比率如何受到城镇化的影响。

2灰色预测模型的建立与求解 2.1灰色数列预测原理

灰色数列预测最大的特点是单数据序列的预测。在形式上，只运用预测对象自身的时间序列，而与预测对象相关联的其他因素没有参与运算和建模，灰色系统理论把影响客观系统的诸多因素及它们之间的关系定为灰色量。对这样的灰色量进行预测，就可从自身的时间序列中寻找有用信息，发现内在规律，建立模型进行预测。

建立GM(1,1)模型

(1)数据的检验与处理 对于给定的原始时间2005-2012年City(T)数据列： x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5)) ,5 ?(44.34,45.89,46.99,48.34数列的级比 x(0()k?1)?(k)?(0)k?2,3,n?,? x(k)?（0.96622,0.97659,0.97207,0.94285,0.97527)2??n2??1n?1如果所有的级比?(k)都落在可容覆盖X??e,e?内，则数列x(0)可以作为??模型GM(1,1)和进行数据灰色预测。 经过计算，X?(0.7515,1.3307)，所以?(k)全部落入X中。数列x(0)可以作为模型GM(1,1)和进行数据灰色预测。 (2)确定数据序列 对x做AGO生成，有x=AGOx，其中x(k)??x(0)(i) (0)(1)(0)(1)ki?1(k?1,2,?,n)，则 x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),??,x(1)(n)) ?(x(1)(1),x(1)(1)?x(0)(2),??,x(1)(n?1)?x(0)(n)) ?(44.34,90.23,137.22,185.56,236.83,289.4)

求均值数列

z?1??k??0.5?x?1??k??0.5?x?1??k?1? ?k?2,3,?,n?

=( 67.285,113.72,161.39,211.19,263.12)

于是建立GM?1,1?模型，

灰微分方程为[10]：

x?0??k??a?z?1??k??b ?k?2,3,?,n?

相应的白化微分方程为：

dx??(t) ?a?x?1??t??b, ?1?

dt1 记

u??a,b?T，Y1?x??2?,x?3?,?,x?n??，，

?0??0??0?T????z1(2)1???z1(2)1??-67.2851??1??1??-113.721???z(3)1???z(3)1???B????????-161.391? ?????-211.191???z1(n)1???z1(6)1????????-263.121????x(0)(2)1??x(0)(2)1??45.89??????46.99?(0)(0)?x(3)1??x(3)1???Y????????48.34? ?????51.27??x(0)(n)1??x(0)(6)1???????52.57??则由最小二乘法，求使得 ???J?u???Y1?B???达到最小值的 ???T???u??Y1?B???T?u? ???1T?-0.036118???Tu??a,b???BB?BY1???

43.113????建立模型

dx??(k)?a?x?1??k??b dt1dx??(k)-0.036118?x?1??k??43.113 dt1于是求解方程得

b??akb??0?0.0361kx?k?1???x?1???e??1238.6e?1194.3a?a??1?

??1???0? （5）求生成数列值x?k?1?及模型还原值x?k?1?：

??1?令k?1,2,3,...,6,由上面的时间响应函数可计算得x，其中取

x?x由x??0???1???1???0??x(0)(1)?44.34

?k??x?k??x?k?1?，取k?1,2,3,...,6，得

??0???0???1?x??0??(x(1),x(2),...,x(6))?(44.34,45.508,47.181,48.915,50.714,52.578)??0?第四步：模型检验 模型的各种检验指标值得计算结果见下表 序号 1 2 3 4 5 6 年份 2006 2007 2008 2009 2011 2012 原始值 44.34 45.89 46.99 48.34 51.27 52.57 模型值 44.34 45.508 47.181 48.915 50.714 52.578 残差 0 -0.3820 0.1910 0.5750 -0.5560 0.0080 相对误差 0 -0.83% 0.41% 1.19% -1.08% 0.02% 级比偏差 -0.00176 0.02341 0.02793 0.05715 0.02473 由上可以得到白化方程的时间相应式 b??akb??0?x?k?1???x?1???e?? 1238.6e0.0361k?1194.3 a?a?而且 x^(0)??1???0??k?1??x?k?1??x?k? ??1???1?得还原方程：x(t?1)?43.8947e0.0361k ?k?1,2?,n?1? 用 MATLAB软件作图如下

从图中可以看出城镇人口的比重呈线性增长，但基于数据量较少，该模型仅适合于短期的预测。 同样利用上述的方法处理Age3(T)，Edu4(),Edu3(),D(T)N(T)及ORaise(T)的各组数据 结果如下: 2.2 65岁及以上人口比重模型 dx??(k)-0.0394?x?1??k??7.54 dt1b??akb??0?x?k?1???x?1???e?? 199.2706e0.0394k? 191.3706a?a??1?x(t?1)? 7.6986e^(0)0.0394k

图中显示我国65岁以上人口比重逐年攀升，在2030年时达到了20.615%，已经处于高度老龄化社会。 2.3

6岁及以上人口高中学历比重模型 因为初中人口比重还受到九年义务教育等因素的影响，变化较复杂，且和城镇化关联度较小，因此我们选取高中学历的人口比重进行建模。 dx?1?(k)dt-0.0504?x?1??k??0.1209 x?1??k?1????x?0??1??b??e?ak?b? 2.5281e0.0504k?a?a?x^(0)(t?1)? 0.12436e0.0504k

2.3988

图表显示高中学历人口的比重呈现上升趋势，说明了我国人口的教育水平在提高。它间接地反映了经济发展对于教育的促进作用。 2.4 人口增长模型 dx?1?(k)-0.0063474?x?1?dt?k??130760 x?1??k?1?????0?b??akb?x?1??a??e?a? 20732448e0.0063474k?x^(0)(t?1)? 131180e0.0063474k

20601000

毫无疑问，从图表中我们可以发现我国人口基数仍然在以惊人的速度扩增。预计到2036年人口总数接近16亿。人口的扩增将带来资源的耗竭，就业压力增大等问题，但现今中国无法像以前那样继续实行一人一胎政策，否则人口老龄化造成的劳动力确实将是更严峻的问题。

2.5抚养比率模型 dx??(k)+0.0088?x?1??k??13.2124 dt1b??akb??0?-0.0088kx?k?1???x?1???e?? -1488.7e?1501.4a?a??1?x(t?1)? 13.1584e^(0)-0.0088k

如图老年人抚养比率逐年下降，可能是引文二胎政策实施后，人口基数扩大，而老年人比例下降造成的。 以下是四个因素和城镇人口比重的图 1009080706050403020100200000120000100000800006000040000城镇人口比重（%）65岁及以上人口比重（%）高中（%）人口总数（万人）抚养比率（%）160000140000200620072008200920102011201220132014201520162017201820192020202120222023202420252026

我们发现大多数的曲线都呈现上升的趋势，唯有抚养比率在下降，说明城镇化对65岁老年人比重，高中学历比重，人口总数的作用是正向的。而抚养率的下降对于一个国家的经济也有利的。

六、模型的评价与改进

年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030

本论文通过灰色形同的关联分析，成功解决多因素关联的问题，为后续的简化做出了有利的工作。

灰色系统GM（1,1）适用于小样本的数据，且拟合性较好。但我们发现其往往只适合于短期的预测，并更倾向于预测呈指数增长的数据，比如人口总数的预测。如城镇人口模型在2026年之后数据已经开始呈指数增长，甚至在最后超过了100%,显然有悖常理。由于时间仓促我们仅作了模型的初步建立，没有考虑到其他因素的影响，对此可以增设参数的方式来提高模型的精确度。

参考文献：

[1]张志涌，《精通MATLAB_6[1].5》，电子媒体；18-20页。 [2]佚名，《第二十八章 灰色系统理论及其应用》，电子媒体；419-525页。 [3]中国统计年鉴 http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/ 2014年5月14日 [4]姜启源 数学模型[M] 北京：高等教育出版社 2005 [5]李建新，《转型期中国人口问题》，P104页 附录 1各个模型的拟合数据 城镇人口比重（%） 65岁及以上人口比重（%） 高中（%） 人口总数（万人） 抚养比率（%） 44.34 7.9 12.92857 131448 12.72 45.508 8.008 13.079 132020 13.043 47.181 8.3298 13.755 132860 12.929 48.915 8.6645 14.466 133700 12.816 50.714 9.0127 15.214 134550 12.703 52.578 9.3749 16 135410 12.592 54.511 9.7517 16.827 136270 12.482 56.514 10.144 17.697 137140 12.372 58.592 10.551 18.612 138010 12.264 60.746 10.975 19.574 138890 12.156 62.979 11.416 20.586 139780 12.05 65.294 11.875 21.65 140670 11.944 67.694 12.352 22.769 141560 11.84 70.182 12.849 23.946 142460 11.736 72.762 13.365 25.184 143370 11.633 75.437 13.902 26.485 144280 11.531 78.21 14.461 27.855 145200 11.43 81.085 15.042 29.294 146130 11.33 84.065 15.646 30.809 147060 11.231 87.155 16.275 32.401 147990 11.132 90.359 16.929 34.076 148940 11.035 17.609 35.838 149880 10.938 18.317 37.69 150840 10.842 19.053 39.638 151800 10.747 19.819 41.687 152770 10.653

2031 2032 2033 2034 2035 2036 20.615 21.444 22.306 23.202 24.134 25.104 43.842 46.108 48.492 50.998 53.635 56.407 153740 154720 155700 156690 157690 158700 10.56 10.467 10.376 10.285 10.195 10.105

2.灰色预测模型MATLAB程序 clc,clear

x0=[44.34,45.89,46.99,48.34,51.27,52.57]; n=length(x0); lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) range=minmax(lamda) x1=cumsum(x0) for i=2:n z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1)); end B=[-z(2:n)’,ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n)’; u=B\\Y x=dsolve(‘Dx+a*x=b’,’x(0)=x0’); x=subs(x,{‘a’,’b’,’x0’},{u(1),u(2),x1(1)}); yuce1=subs(x,’t’,[0:n-1]); digits(4),y=vpa(x) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解 yuce=[x0(1),diff(yuce1)] epsilon=x0-yuce %计算残差 delta=abs(epsilon./x0) %j计算相对误差 rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda %计算级比偏差值 3. 作图程序 clear x=1:1:20; y=43.8947.*exp(0.0361*x); plot(x,y),xlabel('年份'),ylabel('城镇人口比重（%）') set(gca,'XTickLabel',2006:2:2036); 4.各个模型的检验指标值 表一城镇人口比重 序号 年份 原始值 模型值 残差 相对误差 级比偏差 1 2006 44.34 44.34 0 0 2 2007 45.89 45.508 -0.3820 -0.83% -0.00176 3 2008 46.99 47.181 0.1910 0.41% 0.02341 4 2009 48.34 48.915 0.5750 1.19% 0.02793 5 2011 51.27 50.714 -0.5560 -1.08% 0.05715 6 2012 52.57 52.578 0.0080 0.02% 0.02473

表二人口总数

序号 年份 原始值 模型值 残差 相对误差 级比偏差

1 2 3 4 5 6 序号 1 2 3 4 5 6 2006 2007 2008 2009 2011 2012 131448 132129 132802 133450 134735 135404

131448 132020 132860 133700 134550 135410

0 -109 58 250 -185 6 0 -0.08% 0.04% 0.19% -0.14% 0.00% -0.00118 0.00507 0.00486 0.00954 0.00494

年份 2006 2007 2008 2009 2011 2012 序号 1 2 3 4 5 6 年份 2006 2007 2008 2009 2011 2012 序号 1 2 3 4 5 6 年份 2006 2007 2008 2009 2011 2012 表三高中学历比重 原始值 模型值 残差 相对误差 级比偏差 0.129286 0.129286 0 0.00% 0.134077 0.13079 -0.00329 -2.45% -0.01412 0.136903 0.13755 0.000647 0.47% 0.02064 0.137973 0.14466 0.006687 4.85% 0.00775 0.154646 0.15214 -0.00251 -1.62% 0.10782 0.161224 0.16 -0.00122 -0.76% 0.0408 表四65岁以上人口比重 原始值 模拟值 残差 相对误差 级比偏差 7.9 7.9 0 0 8.1 8.008 -0.092 -0.01136 -0.01451 8.3 8.3298 0.0298 0.00359 0.0241 8.5 8.6645 0.1645 0.019353 1.488235 9.1 9.0127 -0.0873 -0.00959 1.932215 9.4 9.3749 -0.0251 -0.00267 1.628409 表五老年人口抚养比率 原始值 模型值 残差 相对误差 级比偏差 12.72 12.72 0 0 12.86 13.043 0.1830 1.42% -0.00176 13.04 12.929 -0.1110 -0.85% 0.02341 13.24 12.816 -0.4240 -3.20% 0.02793 12.27 12.703 0.4330 3.53% 0.05715 12.68 12.592 -0.0880 -0.69% 0.02473

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