利用行列式分解因式

数学系数学与应用数学专业09级本科毕业论文（设计）

用行列式分解因式的几种方法

摘 要 因式分解作为初等数学中最重要的恒等变形之一，被广泛的应用于初等数学的各个方面，而我们也学习过很多种因式分解的方法，例如：提公因式法、运用公式法、十字相乘法、凑数法等，它们都符合一定特征的多项式的分解。而行列式是解决高等代数问题的重要工具之一，本文就通过各种典型例子，用高等数学工具行列式来解决初等代数中的一些因式分解问题。 关键词 因式分解 行列式 多项式

1. 引 言

因式分解（factorization），是指把一个多项式化为几个最简整式的形式，也可以称为分解因式。它是初等数学中的重点，也是一个难点，但是它也是初等数学中最重要的恒等变形之一，而被广泛引用于初等数学解高次方程、求根、作图等各个方面，是我们解决初等数学问题的有力工具之一。但因式分解方法灵活、技巧性强，常用的方法就有提公因式法、运用公式法、凑数法、十字相乘法、待定系数法等好几种方法，它们都各自适用于一些符合各自特点的多项式。

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，它无论在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如在换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着非常重要的作用。线性代数是高等代数的一大分支，我们知道一次方程叫做线性方程，而讨论线性方程及线性运算的代数叫做线性代数，在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早由十七世纪日本数学家关考和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解付题方法》的著作，意思就是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和展开已经有了清楚的叙述。而欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家、微积分学的奠基人之一莱布尼茨（1693年），1750年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（即克莱姆法则）。而德国数学家雅克比也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西，他大大发展了行列式理论，在行列式记号中他把元素排成方阵并首次采用双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。它具有以下相关性质：

(1) 行列式中某一行元素的公因子可以提到行列式符号的外边来。或者说可以吧这个数乘到行列式的某一行上。

(2) 把行列式某一行的元素乘以同一个数后加到另一行的对应元素上，行列式不变。

(3) 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个行列式。 在新课改中，高中数学教材中已经初步涉及了行列式这个新内容，为此，初学行列式者往往会产生一种与初等数学完全隔离的感觉，好像它和我们的初等数学没什么关系，而行列式作为解决高等数学的重要工具，如果我们能用高等数学的重要工具来解决一些初等数学中的难点问题——因式分解，那么，同学们不仅又多掌握了一种因式分解的方法，而且通过学习用高等数学知识来解决初等数学问题，无疑会大大增加同学们对高等数学的学习兴趣，使高等数学在初学者眼里再不是神秘莫测、不可捉摸了。无形之中就为它们进一步学习高等数学奠定了一定的知识基础和心理基础。

下面我就从一些比较有特点的多项式来分析它们的与行列式之间的联系，通过行列式的有关性质来分解这个多项式，然后我们就可以解决这一类多项式的分解方法了。

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2．可以转化为二阶行列式的多项式分解

大学初学行列式，我们就知道了行列式中最简单的二阶行列式的基本计算方法：

D?a11a22?a12a21?a11a12a21a22

那么，我们是不是可以把一些代数式看成两个式子的差，而每一个式子又可以看成两个因子的积，也就 是说，总能写成

D?a11a22?a12a21这样的形式，然后转化为二阶行列式，根据行列式的有关性质进

行因式分解那？我们通过下面的两个有代表性的例题来尝试一下。 例1：分解因式

（cd?ab）?4bc(a?c)(b?d) （1）

（2）m?m?1

（3）x?6x?x?24x?20

（4）abc?bca?cab?cba?bac?acb 解题过程：

23232323232343252（cd?ab）?4bc(a?c)(b?d) （1）

分析：根据二阶行列式对角线展开法则，要想将一个多项式转化为二阶多项式，不但要注意主对

角线和副对角线上的元素，还要注意主对角线和副对角线的方向。因此，根据转化公式

D?a11a22?a21a12 我们先确定主对角线和副对角线上的元素。

通过观察及反复运算，我们将（cd?ab）分解为(cd?ab)(cd?ab)，将它们分开各自作为将要转化的二阶行列式的两个主对角线元素，而对于副对角线元素我们也不能随意分解，否则，将使计算无法进行下去，我们通过前面主对角线上的两个元素发现，将多项式剩余的项4bc(a?c)(b?d)分解为

222(ab?cb)?2(bc?cd)时，比较有利于我们进一步计算时提公因式。因此，我们将2(ab?cb)?2(bc?cd)两个副对角线元素。

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解：原式?(cd?ab)(cd?ab)?2(ab?bc)2(bc?cd)??cd?ab2(bc?cd)cd?ab2(ab?bc)cd?abab?cd?2bc

2(bc?cd)?(ab?cd?2bc)cd?ab12(bc?cd)?1?(ab?cd?2bc)?(ab?cd?2bc)(ab?cd?2bc)?(ab?cd?2bc)2 （2）m5?m?1

分析：观察我们所要分解的行列式m?m?1，根据标准公式D?a11a22?a21a12，我们将多 项式想办法分解为两个因式的差，经过推导我们发现，把m分解为mm作为我们要转化的二阶行列式的主对角线元素，而在标准公式中，为两因式之差，因此，在不改变整体多项式符号的前提下，分解为(?1)(m?1)作为要转化的二阶行列式的副对角线元素。

5235解：原式?mm?(?1)(m?1)??

23m2?1m?1m3m3?1m2?m?12m2?1m2m2?m?1??1(m?1)(m?m?1)2

?(m?m?1)m21?1m?1?(m2?m?1)(m3?m2?1)

（3）x?6x?x?24x?20

分析：有（1）、（2）小题，我们要想把多项式x?6x?x?24x?20转化为二阶多项式，首先要将该多项式转化为两个因式之差的形式，即找出要转化为二阶行列式的主对角线元素和副对角线元素，经过观察，我们发现将该多项式分解为x(x?6x?1)?4(6x?5)，即将x(x?6x?1)作为二阶行列式的主对角线元素，而4(6x?5)作为二阶行列式的副对角线元素。

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解：原式?x2(x2?6x?1)?4(6x?5)??x244x2?416x?5x2?6x?14?x2x2?6x?1?14x2?6x?1

?(x2?4)?(x2?4)(x2?6x?5)?(x?2)(x?1)(x?2)(x?5) （4）abc?bca?cab?cba?bac?acb

分析：咋一看，我们发现这个多项式比较繁琐，好像很难转化为二阶行列式，但是，只要我们认真观察就会发现，在该多项式中每一项中都含有abc这个公因式，因此，我们只要先用最简单的因式分解方法——提公因式法法，将其中的公因式abc提出来，然后将含有相同元素的的因式结合在一起，再提取一次公因式，就会很容易发现将要转化的二阶行列式的各个主对角线元素和副对角线元素。但需要 注意的是，这个复杂多项式需要转化为三个简单的二阶行列式，然后结合分解的方法。

232323232323解：原式?abc(bc2?b2c)?(a2c?ac2)?(ab2?a2b)?abc?bc(c?b)?ac(a?c)?ab(b?a)??c1a1a1??abc?bc?ac?ab?b1c1b1??bca1?abcabc1acb1bc

??a1

?abcab?bcc?a0ac?bcb?a0?abcab?bcc?aac?bcb?a?abc?(ab?bc)(b?a)?(c?a)(ac?bc)??abc?b(a?c)(b?a)?c(a?b)(c?a)??abc(a?b)(c?a)(b?c)通过上面四个多项式的分解，我们发现，要想把一个多项式转化为二阶行列式来达到因式分解的目的，重点是将这个多项式转化为两个因式之差，也就是找到转化为二阶多项式的的两个主对角线元素和副对角线元素。但在这里需要注意的是在找主对角线元素和副对角线元素时，不是随意分解为两个因式的差就可以了，要通过细致的观察和大量的运算，尽可能的分解出含有公因式的项，，这样就方便下面的计算了。

比如在（1）、（2）小题中在主对角线确定的前提下，若将副对角线元素随意分解为

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4bc?(a?c)(b?d)或者4bc(a?c)?(b?d)，下面的计算就很难进行下去了。所以在分解的过程中，

还是要通过大量的计算和一定的方法，不能随意为之。

3．可以转化为三阶循环行列式的多项式分解

abD?cbccaa?b?ca?b?ca?b?ccb111?(a?b?c)cabbcaacbaab?

1?(a?b?c)cb1?(a?b?c)cb1ac01ba0b?c?(a?b?c)a?ba?cc?bb?ca?b

a?cc?b?(a?b?c)?(a?c)(a?b)?(b?c)(c?b)??a3?b3?c3?3abc

首先，我们先来认真观察一下上面的推导过程。

上面是一个简单的三阶循环行列式，我们通过简单的行列式性质对它进行简单的变形，转化为了一个多项式，而这儿多项式形式比较特别，但是在我们的学习过程中还是经常会碰到具有以上特征的多项式，它们用常规方法往往难以分解，那么，通过上面的转化过程，我们通过你想推导，完全可以把这种类型的多项式转化为一个三阶循环行列式，然后再通过行列式的有关性质来进行因式分解，我们通过下面的例题来验证一下。

例2：对x?9y?8?18xy分解因式。

分析：首先，我们观察多项式

x?9y?8?18xy

它与上面的标准式a?b?c?3abc略有不同，那么，我们先将该多项式进行简单的变形，使它更接近我们的标准式。

3333232x3?27y3?8?18xy?x?(3y)?2?3?x?(3y)?2333

现在，我们就可以做下面的运算了。

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解：原式?x3?(3y)3?23?3?x?(3y)?2x?23y

3yx223y23yxx2111x0x?203y?2x?3y

x?3y?2x?3y?2x?3y?2?3yx

?(x?3y?2)2x3y3y21?(x?3y?2)2x?22?3y3y2?3y?(x?3y?2)3y?2x?3y?(x?3y?2)?(x?2)(x?3y)(3y?2)(2?3y)??(x?3y?2)(x2?9y2?3xy?2x?6y?4)

4．可以转化为范德蒙行列式的多项式分解

在行列式中，有一种特殊的行列式——范德蒙行列式，它在高等代数中具有广泛的应用，首先我们来看一下范德蒙行列式的结构形式及怎样转换为多项式。

1D?M1M12

1M22M21M3（按第一行展开）M32?M1M21?M2M22M3M23M3M23?M1M21M2M22

22?M2M32?M3M2?M1M32?M3M12?M1M2?M2M12

而在高等代数中，根据范德蒙行列式的性质可以直接得到：

D?(M2?M1)(M3?M1)(M3?M2)。

因此，有以上性质我们可以直接分解下面多项式：

例3：分解因式：

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x2z?xy2?yz2?xz2?yx2?zy2

1 解：原式?x1yy21z?(y?x)(z?x)(z?y)。 z2x2

5．可以转化为n阶行列式的多项式分解

对于任意的多项式，R(x)?a0x?a1x

nn?1?a2xn?2???an可以写成n阶行列式

x0R(x)??0an

?1x?0an?10?1?0???00x00??1a0x?a1

??an?2?a2 在此基础上，我们降阶行列式和提公因式法将R(x)进行分解。 例4：分解因式： f(x)?5x?24x?15x?118x?24

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x解：原式?00x?00x?0?1x0?1x0?1x0?1x0?1x0?100?100?1024?118?155x?2424?1185x2?24x?1524?1185x2?24x?15?(x?3)(5x?1)(x2?2x?8)?(x?3)(5x?1)(x?4)(x?2)x?(5x?1)024??(5x?1)?3(5x?1)xx8x?3(5x?1)8?(5x?1)x85x?1x2?1151x?524?x2?5x?212(x?5x?2)31x?131252x?x?)333x?31

x8(x?3)(x?2)1x?2

?(x?3)(5x?1)6. 总结

在初等代数中，我们学习过很多种方法因式分解的方法，有提公因式法、十字相乘法、应用公式法等，它们都能分解符合一定特征的多项式。

本文通过各种典型例题，又汇总了一种因式分解的方法，通过这些例题，我们发现，有很多我们平时难以分解或者没办法分解的复杂多想式，有很多我们都可以通过行列式这个工具来进行分解。

但是，我认为用行列式分解因式的方法，其意义不仅在于可以分解一部分难以分解的多项式，更重要的是利用这个知识点，我们发现了高等代数和初等代数之间是可以相互渗透的，我们可以用初等代数的方法解决一些高等代数的问题，同样，我们也可以用高等代数的工具来解决一些比较复

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杂的初等代数问题。

因此，在以后的初等数学教学中，我们可以想办法，慢慢的把一些简单实用的高等代数方法和思想渗透进初等数学中，以进一步激发学生学习数学的兴趣。

参考文献：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/221o.html