四 - - 自动控制 - - 根轨迹法2

第四章 根轨迹法

一、填空选择题（每题2分）系统的开环传函为G(s)H(s)=围是（）。A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]

K，则实轴上的根轨迹范3s(s?4)根轨迹填空题答案

1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。 2、根轨迹对称于s平面的 实 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?K(s?2)，若此时系统的闭环

s?1极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s平面的 左半 平面，则系统一定稳定。 6、B

二、

a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。

+

K(s?1)s(s?2)(s?3)

8’(按规则分解)a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

×××××× a × b ××× c d

解：每项三分

×××××× a × b ××× c d

b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为

K(0.5s?1)G(s)? 20.5s?s?1试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。

解：G(s)的零、极点标准形式为

G(s)?K(s?2)

(s?1?j)(s?1?j)因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，?j），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d，系统的特征方程如下：

dKs2?2s?2?0可解得： 1?G(s)?0所以有，K??，于是由dss?2d＝－3.414, d＝－0.586，显然应取d＝－3.414。 4’

因此其根轨迹如下图所示：

j?×-1+j1 d=-3.414-4-3-2-1×0-1?-1-j6’

b2、（10分）设一单位负反馈控制系统的开环传递函数如下

G(s)?K(s?1)

s(2s?1)试概略绘制出相应闭环根轨迹图（要求确定分离点或汇合点的坐标）。

解：该系统的特征方程为1?G(s)?1?K(s?1)?0，故有

s(2s?1)K??s(2s?1)dK?0可以解得分离点的坐标为（-1.707,0），由（分离点）和

s?1ds（-0.293,0）（汇合点），根轨迹如下所示 4’

j?1d1=-1.707d1=-0.293-1-0.5××0?-1 6’

b3、（12分）

（1）（6分）设某单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?K

s(s?1)(s?2)问其根轨迹有无分离点，若有，试求出该分离点的坐标。若无，说明理由。 （2）（6分）设系统的特征方程为1?K?0

s(s?1)(s?4)求系统根轨迹与虚轴的交点，以及系统的稳定临界开环增益。

解:（1）解：该系统的特征方程为1?G(s)?1?K?0

s(s?1)(s?2)即， K??s(s?1)(s?2) 3’ 由此可以求方程

dK??(3s2?6s?2)?0 ds的根，其根为s1,2??0.423,?1.577

因为分离点必定位于0和－1之间，因此该系统的分离点为s??0.423。 3’ (2)解：用s?j?代入系统的特征方程，得

j?(j??1)(j??4)?K?0 2’

对上式虚部和实部分别求解，可得

K?5?2?0

4???3?0 2’

由此可得，

???2

K?20 2’ 故，系统根轨迹与虚轴的交点为?j?，系统的临界开环增益K?20。

B4、（12分）已知系统的开环传递函数为

G(s)H(s)?K 3(?s?1)要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。 解：系统的零、极点标准形式为

G(s)H(s)?K1，其中K??3K1 2’ 1(s?)3?该系统有3重开环极点s1,2,3??1?，无开环零点。根轨迹有三条分支，K1?0时从开环极

点出发，K1??时沿着渐近线趋向?处。渐近线的相角为

180?(2q?1)?a????60?,180?(q?0,1,2)

3渐近线与实轴的交点

1?a????

3?131实轴上的根轨迹存在于??至??的线段上。 2’

根轨迹的分离点可以根据系统的特征方程

1?K1?0 13(s?)?求得，由

dK11??3(s?)2?0 ds?1。 2’ ?可求得分离点为

系统的根轨迹如下图所示，根据根轨迹图可以得到系统根轨迹与虚轴的交点为

13j??j?tg(600)?j

??代入特征方程并取模可得

K1?j3??13??8?3

3因此，系统的稳定开环增益K??K1?8 4’

j?1?×0? 2’

b5、（12分）设控制系统的开环传递函数为

G(s)H(s)?试绘制系统的根轨迹。

3K(s?2) 2s(s?3)(s?2s?2)

解：（1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j)和(－1－j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 2’ （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为

?a?(2K?1)?(2K?1)?180??

n?m3?0取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。 2’

三条渐近线如图4-14中的虚线所示。

渐近线与实轴的交点为

m?(0?3?1?j?1?j)?(?2)1?n?a?p?z??1 2’ ??j?i??n?m?j?14?1i?1?（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图中的粗线所

示。从复数极点(－1±j) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。1’

（4）在实轴上无根轨迹的分离点。

（5）确定根轨迹与虚轴的交点 1’ 系统的特征方程式为

s(s?3)(s2?2s?2)?3K(s?2)?0

即

s4?5s3?8s2?(6?3K)s?6K?0

劳斯行列表s

34

1 5

8 6K

s s

2 6?3K

40?(6?3K) 6K

5

s s

01 6?3K?

150K 0

34?3K6

若阵列中的s1行等于零，即（6+3K）－150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。 解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程?40?(6?3?2.34)?s2?30?2.34?0 确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=±j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。

（6）确定根轨迹的出射角

根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p1=（－1＋j）出发的根轨迹的出射角为

θ?180?(2k?1)??(p1?2)??p1??(p1?3)??(p1?1?j)

将测得的各向量相角的数值代入并取k=0，则得到???26.6? 2’

j ω

S平面

j2

j1

26.6° -4

-3

-2

45° -1

90°

135° 0 j3

σ

2’

系统的根轨迹如图所示。

-j3 B6、（12分）设控制系统的结构图如下图所示

试证明系统虚数根轨迹部分是一个圆。并求系统 的最小阻尼比。

解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。由根轨迹的幅角条件

??(s?z)?n??(s?pii?1j?1mj)?(2K?1)?

得 ?(s?3)??s??(s?2)?(2k?1)? 3’ s为复数。将s???j?代入上式，则有

?(??j??3)??(??j?)??(??j??2)?(2K?1)?

即tan?1???3?tan?1???180??tan?1 2’ ???2tanx?tany

1?tanxtany取上述方程两端的正切，并利用下列关系tan(x?y)???0??????1??2???3???1??1????3?tan180??tan????tan???有tan?tan??2?1?0????2 ??3??1?????(??3)??2????2??3???3??222 即 ?(??3)???(3)2??2?(??3)??这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传

递函数的零点上）。证毕。（或从闭环特征方程入手，将s???j?代入也可） 4’

由坐标原点作圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比。 ζ=cosθ=6/3 3’ 2’ B7、（12分）已知系统固有开环传递函数G(s)H(s)=

K绘出固有系统的根轨迹，并分

s(s?1)析系统的稳定性。（2）若固有系统增加一个P3= -3的开环极点，绘出根轨迹，并分析其稳定性。解：（1）极点为0，-1，实轴轨迹[-1，0] 渐近线n-m=2条，倾角为900，1800。 分离点：dk/ds=0, s=-0.5

4’

由图可知，k>0,系统总是稳定的 2’ (2) 增加一个P3= -3，则 G(s)H(s)=渐近线n-m=3条，?a?倾角?a?K

s(s?1)(s?3)?4??1.33 3(2K?1)????,?， 33分离点：dk/ds=0, s1=-0.45，s2= -2.2（舍去），如图。

3’

32

稳定性：特征方程 s(s+1)(s+2)+k=0，将s?j?代入有：（-ω+3ω）j+k-4ω=0 因此：-ω+3ω=0

2

k-4ω=0

得ω=±3 ， k=12

当0

3

c1、（12分）已知控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?K(s?1) 2s(s?1)(s?4s?16)试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K值的范围。

解 （1） 系统的开环极点为0，1和－2±j3.46,开环零点为－1。 1’

（2） 确定根轨迹的渐近线

渐渐线的倾斜角为 ?a?(2K?1)?(2K?1)?180??

n?m4?1取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。

渐进线与实轴的交点为

m?(0?1?2?j3.46?2?j3.46)?(?1)1?n2 2’ ?a?p?z?????j?i?n?m?j?133i?1?（3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。 1’ （4） 确定根轨迹的分离点

系统的特征方程式为s(s?1)(s2?4s?16)?K(s?1)?0

s(s?1)(s2?4s?16)即K?? 利用dK/ds?0,则有

s?1dK3s4?10s3?21s2?24s?16???0 ds(s?1)2解之可得，会合点和分离点分别是

d1=0.46 和

d2=－2.22。

1’（5）确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为s4?3s3?12s2?(K?16)s?K?0

劳斯行列表为s

s s

134 3

1

12 K

K?16

K

252?K 3 s

0?K2?59K?832150K 0

52?K

K

s

1

?K2?59K?832150K?0 若阵列中的s行全等于零，即

52?K系统临界稳定。解之可得K=35.7 和 K=23.3。 对应于K值的频率由辅助方程

52?K2s?K?0确定。当K=35.7 时 ，s=±j2.56；当K=23.3时 ，s=±j1.56. 3根轨迹与虚轴的交点处的频率为ω=±2.56 和ω=±1.56。 2’ （6）确定根轨迹的出射角（自复数极点－2±j3.46出发的出射角）

根据绘制根轨迹基本法则，有106??120??130.5??90?????(2K?1)?180? 因此，开环极点－2±j3.46的出射角为θ1,2=±54.5°。 1’

系统的根轨迹如下图所示。由图可见，当23.3

’c2、（12分）试用根轨迹法确定下列代数方程的根

D(s)?s4?4s3?4s2?6s?8?0

解：当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。

把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得

1?Kg(s2?6s?8)s4?4s3?3s2?0

Kg=1时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为

G(s)H(s)?Kg(s?2)(s?4)s(s?3)(s?1)2 2’

因为Kg>0, 先做出常规根轨迹。

系统开环有限零点z1=－2，z2=－4；开环有限极点为 p1=p2=0，p3=－1，p3=－3。

实轴上的根轨迹区间为[-4，-3]，[-2，-1]。 根轨迹有两条渐近线，且σa=1，φa=±90°。

作等效系统的根轨迹如图所示。 4’ 图知，待求代数方程根的初始试探点可

j ω

在实轴区间[－4，－3]和[－2，－1]内选择。确定了实根以后，运用长除法可确定其余

S平面

根。 2’

初选s1=－1.45，检查模值

|s(s?3)(s1?1)|Kg?11?1.046

|(s1?2)(s1?4)|由于Kg>1故应增大s1，选s1=－1.442，得Kg=1.003。 1’

初选s2=－3.08，检查模值得Kg=1.589，由于Kg>1，故应增大s2，选s2=－3.06，得

Kg=1.162。经几次试探后，得Kg=0.991时s2=－3.052。 1’

2-4 -3 -2 -1 0 σ

图4-8 例4-7系统的根轨迹

设 D(s)?(s?1.442)(s?3.052)?B(s)?0 运用多项式的长除法得

B(s)?s2?0.494?1.819

解得s3,4?0.257?j1.326。解毕。 2’ 12．已知控制系统如下图所示

R(s)

K(0.5s?1)4C(s)

S平面

j?

试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。

Kg16K解:G(s)? 2’ ?44(s?2)(s?2)系统有四个开环重极点：

p1=p2=p3=p4=-2。没有零点。实轴上除－2一点外，没有根轨迹段。根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为

σ

?a??a??8??2 4(2K?1)??3??，?? 444系统的根轨迹如图所示。 4’

图知，随着Kg的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j2和－j2处。 2’ 将s=j2代入幅值方程有

Kg|(s?2)|4?1

解得开环根增益：Kgc=64，开环增益：Kc=Kg/16=4．

即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j２，系统处于临界稳定的状态。当K>4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0

c4、（12分）已知负反馈系统的开环传递函数

G(s)H(s)?试绘制闭环系统的根轨迹。

Kgs(s?4)(s?4s?20)2

解： 按照基本法则依次确定根轨迹的参数：

（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，－4，和－2±j4。 1’ （2）轴上的根轨迹区间为[－4，0]。 1’ （3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为

σa=－2；φa=±45°，±135° 2’

（4）复数开环极点p3,4=－2±j4处，根轨迹的起始角为θp3.4=±90° 1’

（5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程解得

1111????0 dd?4d?2?j4d?2?j4d1??2，d2,3??2?j6

因为

d1??2 时，Kg?64?0

d2,3??2?j6时，Kg?100?0

所以，d1、d2、d3皆为闭环系统根轨迹的分离点。 3’

（6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为

D(s)?s4?8s3?36s2?80s?Kg?0

列写劳斯表如下

当Kg=260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程F(s)?26s?Kg?0 得根轨迹与虚轴的交点为s??j10。概略绘制系统根轨迹如图所示。 2’ C5、（15分）一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=

2K0 画出以K0为参变量的根轨迹图，并3(s?2)求：根轨迹与虚轴交点的K0值和振荡频率。1.主导极点的阻尼比ζ=0.5时的静态位置误差系数。 解：画出以K0为参变量的根轨迹图： 渐近线n-m=3条，?a??6(2K?1)????2，倾角?a???,?， 333分离点也是渐近线与实轴的交点，如图。

32

特征方程 (s+2)3+ K0=0，将s?j?代入有：（-ω+12ω）j+ K0-6ω+8=0 3’

3

2

有 -ω+12ω=0 K0-6ω+8=0 得ω=23 ， K0=64 。 即为所求。 静态位置误差系数Kp=

limG(s)H(s)= K/8 1’

0

s?0此时 ζ=0.5，θ=600，从上图得主导极点S1,2= -1±j3 2’

由幅值条件

K0?1 得K0=8

|(s?2)3|s?s1,2∴Kp= K0/8=1 2’

d1??2，d2,3??2?j6

因为

d1??2 时，Kg?64?0

d2,3??2?j6时，Kg?100?0

所以，d1、d2、d3皆为闭环系统根轨迹的分离点。 3’

（6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为

D(s)?s4?8s3?36s2?80s?Kg?0

列写劳斯表如下

当Kg=260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程F(s)?26s?Kg?0 得根轨迹与虚轴的交点为s??j10。概略绘制系统根轨迹如图所示。 2’ C5、（15分）一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=

2K0 画出以K0为参变量的根轨迹图，并3(s?2)求：根轨迹与虚轴交点的K0值和振荡频率。1.主导极点的阻尼比ζ=0.5时的静态位置误差系数。 解：画出以K0为参变量的根轨迹图： 渐近线n-m=3条，?a??6(2K?1)????2，倾角?a???,?， 333分离点也是渐近线与实轴的交点，如图。

32

特征方程 (s+2)3+ K0=0，将s?j?代入有：（-ω+12ω）j+ K0-6ω+8=0 3’

3

2

有 -ω+12ω=0 K0-6ω+8=0 得ω=23 ， K0=64 。 即为所求。 静态位置误差系数Kp=

limG(s)H(s)= K/8 1’

0

s?0此时 ζ=0.5，θ=600，从上图得主导极点S1,2= -1±j3 2’

由幅值条件

K0?1 得K0=8

|(s?2)3|s?s1,2∴Kp= K0/8=1 2’

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