高中竞赛教程1.4.10 天体的运动与能量

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§4．10天体的运动与能量

4．10．1、天体运动的机械能守恒

二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有

E??GMm1?GMm122?mv1???mv2r12r22

当运动天体背离不动天体运动时，EP不断增大，而EK将不断减小，可达无穷远处，此时EP?0而EK≥0，则应满足E≥0，即

?GMm1?mv2?0r2

例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有

?GMm1?mv2?0R2

v1v2r2r1Mv?

2GM?2Rg?11.2kmsR图4-10-1 我们称v=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为2倍。 另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m而言，遵循角动量守恒

??mv?r?恒量

或 mvr?sin??恒量

?是v与r方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连

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线在相等时间内扫过面积等。

4．10．2、天体运动的轨道与能量

若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。

i）椭圆轨道

如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为

xy??1a2b2 （a>b）

22则椭圆长，短半轴为a、b，焦距c?a?b，近地

22yb?av2Ov1M(?,0)ax?b图4-10-2 点速度v1，远地点速度v2，则有

E?1GMm1GMm22mv1??mv2?2a?c2a?c

mv1(a?c)?mv2(a?c)

或由开普勒第二定律：

11v1(a?c)?v2(a?c)2 2

可解得

??v1?(a?c)GM/(a?c)?a???v2?(a?c)GM/(a?c)?a

代入E得

E??GMm?02a

ii)抛物线 设抛物线方程为

y?Ax2

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太阳在其焦点（

0,14A）处，则m在抛物线顶点处能量为

E?1GMm122mv0??mv0?4AGMm122()4A

可以证明抛物线顶点处曲率半径

??112mv0/??GMm/()22A，则有4A得到

v0?8AGM

抛物线轨道能量

1E?m?(8AGM)?4AGM?02

ybcOCD iii）双曲线 设双曲线方程为

xy??122ab

22aF(c,0)x图4-10-3 22焦距c?a?b，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正半支上运动。

如图4-10-3所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有

E?1GMm122mv0??mv?2c?x2

考虑到当r??，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距FC为

FC?cb/a2?b2?b

故有

11vD(c?a)?v??b22 或 mvD(c?a)?mv??b

联解得

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?v??GM/a??bGMv??Dc?aa ?双曲线轨道能量

E?GMm?02a

小结

E??GMm?02a 椭圆轨道

E?0 抛物线轨道 E?GMm?02a 双曲线轨道

以下举一个例子

质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求

（1）转移所需的最少能量；

（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化?vA和?vB各为多少？

解: （1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为v1，乃有

GMmmv1?22R (2R) 故得

24RA2RROBGMv1?2R

C图4-10-4

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此时飞船的动能和引力势能分别为

Ek1?Ep11GMm2mv1?24R GMm??2R

所以飞船在2R轨道上的机械能为

E1?Ek1?Ep1??GMm4R

同理可得飞船在4R轨道上的机械能为

以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即

?E?E2?E1?GMm8R

（2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为

v1?GM2R

同样可得飞船4R轨道上运行的速度为

v2?GM4R

??v和v2。设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为1则由开普勒第二定律可得

??2R?v2??4R v1又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有

1GMm1GMm?2??2?mv1?mv222R24R

联立以上两式解之可得

??v12GMm3R

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2202.html