小学生数学论文 中国象棋中马的数学问题研究 - 图文

中国象棋中“马”的数学问题研究

学校：龙湾区海滨第二小学

作者：吴再祖 辅导教师：娄旭初

摘要

本文就中国象棋中“马走日”所产生的有关数学问题进行讨论。本文从马步的走法出发，对马是否可以去到棋盘各点，马步运动中的奇偶性，和在不重复的情况下是否可以走遍半副棋盘和整副棋盘等问题进行讨论。解决了一些问题，也对一些问题留下了疑问。

关键词：中国象棋 染色法 奇偶性 一、提出问题

体育节我们举行中国象棋比赛，班上很多同学都带了象棋来下。我也是其中一个，我在下棋的过程发现马是一个很好玩的棋，它不像军、炮一样横冲直撞，直来直往，也不像士、相一下受到限制，只能在一定的范围里活动。特别是马走日，这个步法也很特别，我在想，马是不是可以像军、炮一样走遍棋盘上的每一个角落呢？于是我在老师的帮助下，开始了棋盘上马的研究。

二、解决问题

1、

棋盘上有没有马不能到达的点

（1） 马的步法

马走日，象走田。一只马在不受其他棋子的影响的时候，是怎么活动呢？我在棋盘上找出了一只马走一步的落点。如图1，马在不受其他棋子和边界影响的时候，一共有八个落点可供选择。

（2） 马可以走遍全城（重复走点）

棋盘上有没有马不能到达的点呢？

我想，如果马像军一下，可以一次移动一格，那就哪里都可以去了。那就说

明：如果马可以到达相邻的点，那就可以到达所有的点了。我在棋盘上实验了一下，可以有多种方法让马移动到相邻点的，并不是很难。在这里我例举出一种来（如图2）。

由此可知，马可以像军一样，一步一步的挪动，从而走棋盘上的所有点。

2、 马能不能不重复地跳遍棋盘上所有的点

虽然由前面可知，马是可以去到所有点的。但是其中肯定走了重复了很多。我在想，有没有办法可以让马一个点只走一次，走遍所有点，并且回到原点呢？

这是很困难的问题，在老师的帮助下，我开始分析马步中更深入的数学问题。 （1） 用座标及染色法，去得出马步的奇偶性 我发现棋盘很像我们以前学过的数对，每个点都可以用数对去表示。在请教老师之后，知道这种表格一样的东西其实叫做座标。然后我用座标的方式去将整个棋盘进行了标注（如图3）。那图上的每一点都有一个自己的名字了。如红色的A1点座标是（2，2）；绿色的A2点座标是（3，2）。

就是若马在A1（2，2）点上那它的八个落

点分别是：（4，3），（3，4），（1，4），（0，3），（0，1），（1，0），（3，0），（4，1）。 若马在A2（3，2）点上那它的八个落点分别是：（5，3），（4，4），（2，4），（1，3），（1，1），（2，0），（4，0），（5，1）。

我发现如果将座标的两个数字相加，起点和落点的奇偶性是相反的。如A1起点是2+2=4，它的落点分别是 4+3=7，3+4=7，1+4=5，0+3=3，0+1=1，1+0=1，3+0=3 ，4+1=5。我发现起点座标和为偶数时，落点座标和为奇数。而A2点的起座和是5，落点座标和分别是8，8，6，4，2，2，4，6。起点座标和为奇数时，落点座标和为偶数。

也就是说起点与落点的座标和奇偶性相反。而同时我发现座标上相邻的点的

座标和的奇偶性也是相反的，所以我就试着用染色法去分析（如图4）。那就说：

从黑点出发走一步一定落到白点，而从白点出发走一步一定落到黑点。相此可知，从黑点走到白点一定是走奇数步，从黑点走到黑点一定是走偶数步。

最后的结论是：马从同色到同色一定走偶数步，从同色到异色一定走奇数步。

（2）不同位置将军的马步奇偶性

马最后总是想走过去把对方将死，以我方的马做分析（在图4中分析）。我方的马是奇点上的马，对方的将在九宫格中有5个偶点，4个奇点。那我方的马想将死对方，若对方将在奇点上，如A1，那就要走偶数步；若对方将在偶点上，如A2，那就要走奇数步。

若对方将在A2点上，我方马要困住它，那就要控两个奇点（5，8），（4，9），那就

要将马走到（3，7）。此时而我方的马在（2，6）点上（偶数点，黑点），那么就要走偶数步，实际操作中可知，至少要是四步。

我发现用这种方法去分析时，更加有序，不会去下一些徒劳的棋。

（3）马踏半城

那马可不可以在不重复的情况下走遍已方的棋盘，最后回到起始点呢（这种情况称为回路）。这个问题用奇偶性去分析也非常容易。

半张棋盘有5*9=45个点。马跳遍所有点再回到原点就是走了45步。而这时候因为是走了奇数步，所以若起点为偶点，那么落点一定是奇点；若起点为奇点，那落点就一定是偶点。所以不可能回到原点（因为原点的奇偶性一定是一样的）。

那如果是走遍所有点，但不要求回到原点呢（这种情况称为通路）？ 这个时候就需要走44个点。因为落点的奇偶性一定是相间的，那44个点中一定是22个奇和22个偶。而我方棋盘中一共有22个奇点，23个偶点，那么如果马的起点在奇点上一定不可能，因为这时是21个奇和23个偶点。如果马的起点在偶点上，那就是剩22个奇点和22个偶点，那就有可能了。

同理在对方棋盘中，从偶点出发是肯定无法走遍半城的。但从奇点出发就有可能了。

而是否真的能完成，直到论文的最后，我仍实验出一个结果来。说明染色法还是有一定的局限性的。

（4）马踏全城

在马踏半城的基础上，我继续研究马踏全城的问题：即在不重复点的前提下走遍棋盘上所有点半回到原点。

棋盘一共有9*10=90个点，所以按照染色法，走完90步后，是回到同个性质的点的（就是说偶点起的还是回到偶点，奇点起的还是回到奇点）。所以说是有可能回到原点，但我试了很多次，总是没有成功。

然后我上网去查找关于这个问题的资料，发现关于马踏全城的问题，不论是国际象棋还是中国象棋，都有人研究了。

而中国象棋中的马踏全城问题，有人已经用实例解出来了（如图5）。马的起点是在角落，我用网上找到的方法去试了一下，真的可以。

所资料称，这类问题是哈密顿环中的一种，而哈密顿环的问题现在为止还没有一个定论。

三、总结与收获

1、马可以在没有其他棋子干扰的情况下有八个落点，并在可重复的情况下是可以轻松去到棋盘的任意点的。

2、当用黑白相邻的办法去为棋盘染色时（黑点为偶点，白点为基点），马步的运动必是奇偶相间的。

3、若起点与落点是同性质点（同奇或同偶），马走了偶数步；若起点与落点是异性质点（从奇到偶或从偶到奇），马走了奇数步。

4、在如图4这样的座标中，马在“半城”中，在不重复的情况下，没有回路；从奇点少的半边棋盘中，从奇数点出发，没有通路。同理，偶点少的半边也

为相似结论。

5、没有实验出马在奇点少的半边棋盘中，从偶点出发，是否有通路。而“马踏全城”问题，也只是从网上找到一种解法，并没能证明得到。

6、如果用合适的方法的话，一些复杂的问题可以很简洁明了地解释出来。但方法也是会存在一定的局限性。

7、网上查找哈密顿环资料时，我发现这个问题非常深奥。我要认真学习数学，争取早日可以看懂这些问题的分析。 参考资料

《在中国象棋中，“马”可以走遍棋盘上的每一个位置吗？》 http://wenwen.soso.com/z/q274068963.htm 《什么是哈密顿环》

http://zhidao.http://www.wodefanwen.com//link?url=YbdDFECteX-v9PLryhlm7x5qVxfV06z3b4jr_P6J83_McKTnBaK38RYI7OAHPF8tCpT4n9cjaaUxZvTztw0S3K

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/21wh.html