小学数学思想方法

小学毕业生数学学习材料（二）

小学数学思想方法

小学数学是一门基础学科。小学数学中不仅包括了大量的数学基础知识，而且在学习和运用这些数学知识的过程中，还以潜移默化的方式渗透了一些重要的数学思想方法。本讲义从较高的视点出发，对已有的关于数学思想方法零散而模糊的感性认识，进行科学地、系统地概括，结合一些经过精选的数学竞赛题目，进行深入细致的讲解，并且安排了必要的和适量的练习，力求通过学习，对一些常用的数学思想方法和技巧能够明确认识，融会贯通，以提高数学思维能力和解题能力，为更好地为适应初中数学的学习打下良好的基础。

第一讲 从简单情况找规律

当一个问题非常复杂时，首先就要想到，其中是否隐藏着某种规律，如果能找到这种规律，问题就会迎刃而解。探索规律，往往要利用已有的知识和经验，从简单的、熟悉的地方开始，从粗略的估计开始，同时注意极端的情况，如最大、最小等。

例1 1995个7连乘，积的个位数字是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

解：71＝7，个位数字是7；72＝49，积的个位数字是9；73＝343，积的个位数字是3；74＝2401，积的个位数字是1；75＝16807，积的个位数字是7。 观察发现，随着因数的增加，积的个位数字按“7、9、3、1”四个数字循环。1995÷4余3，所以积的个位数字是第三个数字3。

1121231234 例2 按一定规律排列着一串数：,,,,,,,,,，?，

122333444412399100，，，?，，。这些数的总和是多少？(北京市“迎春100100100100100杯”数学竞赛题)

1211 解：把这些数分成100组分别求和。第1组：＝；第2组：＋＝

22111?2123(1?3)?3?21?31234；第3组：＋＋＝＝；第4组：＋＋＋2333324444(1?4)?4?21?41?n＝＝。观察发现，第n组的和是。于是这串数的总和

4221

是

1?21?31?41?10011?1＋＋＋＋?＋＝×100＋

2222221?2?3?4???100(1?100)?100?2＝50＋＝50＋2525＝2575。

22例3 1×1＋2×2＋?＋1996×1996＋1997×1997的个位数字是几？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

解：每10个连续平方数的和的个位数字，是1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＝45的个位数字，是5，从而原式的个位数字与5×199＋1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋6×6＋7×7＝1135的个位数字相同，是5。

例4 长方形内共有1996个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2000个点。在这2000个点中，任意3个点都不在同一条直线上。以这2000个点为顶点，可作出多少个互不重叠的三角形？(“小学生数学报”数学竞赛题)

解：试画发现，当长方形内加上第一个点以后，会形成4个三角形。此后，每增加1个点，就会增加2个三角形。所以，长方形内的2000个点，总共可以形成4＋2×(1996－1)＝3994(个)三角形。

练 习 一

1．把

1995化成小数后是一个无限小数，这个无限小数从小数点后面第131位到第1995位，数字6共出现多少次？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

2．如果1＝1！1×2＝2！1×2×3＝3！?? 1×2×3×?×99×100＝100！那么1！＋2！＋3！＋?＋100！的个位数字是几？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

3．紧接着1989后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。例如8×9＝72，在9后面写2；??得到一串数字：1,9,8,9,2,8,6，?这串数字从1开始向右数，第1989个数字是几？(“从小爱数学”数学竞赛题)

1121123211234,,,,,,,,,,,,，12223333344443217,,,??中，(1)是第几个分数？(2)第400个分数是几分之几？444104．在一串分数：

(“从小爱数学”数学竞赛题)

5．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不

2

少于50个小纸片，至少要画多少条直线？ (“华杯赛”试题)

6．A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第二个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子，如此进行下去。当34位小朋友放完后，B盒子中有多少个球？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

7．有一个著名的数列叫“菲波纳契数列”，它的前两个数是1,1，从第三个数起，每个数等于前两个数的和。那么在这个数列中，第2007个数是单数还是双数？

8．有一串数：1,2,4,8,16,32,64，?这串数中，第2008个数除以9的余数是多少？

9．把自然数中奇数：1,3,5,7，?依次排成5列(如下面所示)，把最左边的一列叫第一列，从左到右依次编号：

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 1 3 5 7 15 13 11 9

17 19 21 23 31 29 27 25

┆ ┆ ┆ ┆ ┆ 这样，第2007个数出现在第几列？

10．在一张足够长的纸条上从左向右依次写上1,2,3,?形成一个“大数”，这个数从左数第200位上的数字是几？

11．将一个长40cm、宽1cm的长方形纸条连续对折3次，然后从它的一端开始，每隔1cm剪一刀，最后，可以得到边长为1cm的小正方形多少块？长2cm、宽1cm的小长方形多少块？(《小学生数学报》数学竞赛题)

12．下面是按规律排列的三角形数阵：

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

??

3

那么第100行左起第三个数是多少？

第二讲 从整体上看问题

解决数学问题的过程是一个辩证的思维过程，有时需要从局部的、简单的情况入手，以发现整体的规律；有时需要从整体入手，以避免局部细节的干扰。

例1 用0、1、2、3、4五个数字组成四位数，每个四位数中的数字不同，求所有这样的四位数的和。(“华杯赛”试题)

解：千位数字是1的四位数有4×3×2＝24(个)(因为百位数字有4种可能，十位数字有3种可能，个位数字有2种可能)。同理，千位数字是2、3、4的也各有24个。百位数字是1的四位数有3×3×2＝18(个)(因为千位数字不能是0，只有3种可能，十位数字可以是0，有3种可能，个位数字有2种可能)。同理，百位数字是2、3、4的也各有18个。十位数字、个位数字是1、2、3、4的也各有18个。因此，所求的总和是1000×(1＋2＋3＋4)×24＋(100＋10＋1)×(1＋2＋3＋4)×18＝259980。 例2 计算：1－

234－－

1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)－?－

10。(小学数学奥林匹克竞赛题)

(1?2?3???9)?(1?2?3???10) 解：从算式的整体上看，所有分数的分子都等于分母中两个因数的差，

1111111于是，原式＝1－(1－)－(－)－?－(－)＝1－(1－)＝。

33645555555例3 用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD—A1B1C1D1，大正方体内的对角线AC1、BD1、CA1、DB1所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明玻璃小正方体用了多少个？(“华杯赛”试题)

4

解：AC1、BD1、CA1、DB1四条对角线都穿过位于正方体中心的那个小正方体，此外，任何两条对角线都没有穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过(401－1)÷4＋1＝101(个)小正方体，这表明大正方体的棱是由101个小正方体组成的。所以总共用了无色透明玻璃小正方体1013－401＝1029900(个)。

例4 右面是一个乘法算式，每个□内填一个数字，这个算式中的乘积

应该是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题) 1□

× □□

□ 5□

□□□ □ 8□□

解：算式的被乘数是10几，乘数是两位数，积只能是1800多，而18×99＝1782＜1800，所以被乘数是19。因为19×89＝1691＜1800，所以乘数是90多。被乘数是19，被乘数与乘数个位数的积只能是150几，而150÷19＝7.8?所以乘数的个位数字是8，19×8＝152。算式的乘积是19×98＝1862。 练 习 二

1231988 1．计算：＋＋＋?＋。(北京市“迎春杯”数学竞

1988198819881988赛题)

2．计算：1学竞赛题)

3．有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6m、3m、2m。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4cm。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，那么大水池的水面将升高多少厘米？(“华杯赛”试题)

4．一个圆形水池，小明和小红分别从直径AB两端同时出发，沿池边步

7行，小明顺时针而行，小红逆时针而行，在距A点10处两人第一次相遇，

15相遇后继续行走，第二次相遇正好在B点，那么水池的周长是多少米？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

5．在图中，已知矩形GHCD的面积是矩形ABCD面积的

1，矩形MHCF的411111＋2＋3＋4＋?＋20。(《小学生数学报》数2612204205

12．下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两个数据，C是输出的结果。右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值。请你据此判断，当输入A值是1999，输入B值是9时，运算器输出的C值是多少？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

第六讲 类比

当一个比较陌生或复杂的问题与一个比较熟悉或简单的问题之间具有某种相似性的时候，可以把解决前者所用的方法加以推广应用到后者，这种思想方法叫做类比。类比是一种非常有用的思想方法，不过因为任何两个相似的对象之间总会有一定的差异，不恰当的类比也可能产生错误，因此在使用类比方法时要注意避免发生这种情况。

例1 一个正方形可以分成4个小正方形。能否把一个正方形分成6个、7个、8个以至更多的小正方形(大小不一定相同)？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

解：用类比的方法容易想到，可以先把一个正方形分成9个小正方形，再反其道而行之，把其中4个小正方形合并成1个较大的正方形，就能得到6个正方形(图1)。进而想到分成7个小正方形的方法(图2)。再与分成6个正方形的方法类比，就能想到分成8个小正方形的方法(图3)。要得到10个小正方形，只要先分成7个小正方形，再把其中的1个小正方形分成4个更小的正方形就可以了。照这样，分成再多的小正方形都是可以做到的。

图1 图2 图3

例2 一段楼梯有10个台阶，如果规定每一步只能登上一个或两个台阶，

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那么，要登上第10个台阶，有多少种不同的走法？(“新苗杯”数学竞赛题) 解：登上第1个台阶只有1种走法，而登上第2个台阶就有2种走法。此后，登上第n个台阶的走法an，就与登上第n－1个台阶的走法an-1和登上第n－2个台阶的走法an-2有关，即an＝an-1＋an-2。由于a1＝1，a2＝2，所以，登上各个台阶的走法数依次为1, 2，3, 5，8, 13, 21, 34, 55, 89。所以，登上第10个台阶有89种不同的走法。

例3 用两个点把一个圆周分成两段半圆弧，在这两个分点上写上1；然后把两段半圆弧二等分，在两个分点上写上相邻两点上的数的和；再把4段圆弧二等分，在分点上写上相邻两点上的数的和。如此继续下去，问第6步操作后，圆周上所有点上的数的和是多少？(《小学生数学报》数学竞赛题) 解：每次操作后，因为所增加的每个数都是原来相邻两个数的和，在求和时原来的每个数都用了两次，所以每次增加的数的和，等于这次操作前圆周上所有的数的和的2倍，也就是说，每操作一次，圆周上所有的数的和等于这次操作前圆周上所有的数的和的3倍。于是，如果把第n次操作后圆周上所有的数的和记作an，把这次操作前圆周上所有的数的和记作an-1，就得到an＝3an-1。所以a6＝a1×3×3×3×3×3，因为a1＝2，于是a6＝2×3×3×3×3×3＝486。

例4 如图，象棋盘上一个兵过河后，沿最短路线走到对方的“将”处，有多少种不同的走法？(“从小爱数学”数学竞赛题)

解：“兵”过河后到“将”处的最短路线如下图所示，图中交点处的数表示“兵”到这里的走法总数(后面交点处的数等于到此处来的两个交点处的数的和)。所以“兵”过河后到“将”处共有15种不同的走法。

1 1 1 3 2 1 6 3 1 10 4 1 15 5 1 练 习 六

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1．把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1、图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形。已知图1中阴影部分的面积是294dm2，那么图2中阴影部分的面积是多少平方分米？(《小学生数学报》数学竞赛题)

2．按照图中所指的方向，从A点到J点有多少条不同的路线？(“祖冲之杯”数学竞赛题)

3．在桌面上，用6个边长为1的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形(如图)，如果在桌面上要拼成一个边长为6的正六边形，那么需要边长为1的正三角形多少个？(北京市“迎春杯” 数学竞赛题)

4．一个盛有水的圆柱形容器，底面半径为5cm，深20cm。今将一个底面半径为2cm，高为17cm的铁圆柱垂直放入容器中。求这时容器的水深是多少厘米？(“华杯赛”试题)

5．把一个正方形剪成9个大小不完全相同的正方形，请画图表示。(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

6．把一个正六边形分成3个形状、大小都完全相同的正五边形。(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

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7．把一个正方形剪成11个大小不完全相同的正方形，请用图表示。(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

8．一座美术馆有7个展厅(如图)，相邻的展厅都是连通的。如果观众在参观时只允许从编号比较小的展厅到编号比较大的展厅，如，从“3”号展厅只能到“4”号展厅或者“5”号展厅，不能到“2”号展厅或者“1”号展厅。那么，从“1”号展厅到“7”号展厅一共有多少种不同的走法？

2 4 6 1 3 5 7

9．一个盛有水的圆柱形容器，底面半径5cm，深20cm，水深15cm。把一个底面半径2cm、高17cm的铁圆柱垂直放入容器中。求这时容器内的水深是多少厘米？

10．把下面的正方形分割成三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8。(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

11．如图，四边形ABCD的周长是60cm，点M到各边的距离都是4.5cm。这个四边形的面积是多少平方厘米？

12．如图，三角形ABC的底BC＝8cm，高AD＝6cm，E、F分别是AB、AC的中点。那么，三角形EBF的面积是多少平方厘米？

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第七讲 转化

通常，当我们要处理一个陌生的或复杂的问题时，总是先设法把它变成比较熟悉的或者比较简单的问题，这种数学思想方法叫做转化。转化是一种最常用的数学思想方法。

例1 四十一位数55?5□99?9(其中5和9各有20个)，能被7整除，那么，方格内的数字是几？(小学数学奥林匹克竞赛题)

解：试算发现555555、999999能被7整除，而20÷6余2，所以，问题转化为55□99能被7整除，而55□99＝49000＋98＋6□01，问题又转化为6□01能被7整除，而6□01＝1001＋5□00，问题又转化为5□00能被7整除，最终得出方格内的数字应该是6。

例2 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙

1工地的1倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人

27中有的人去甲工地，其余工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，

12乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？(小学数学奥林匹克赛题)

解：上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，即上午去甲工地的占

317总人数的，去乙工地的占总人数的。下午去甲工地的占总人数的，即

44125下午去乙工地的占总人数的。到傍晚时甲工地的工作已做完，即如果半天

1237111完成工作，甲工地需要总人数的＋＝1，乙工地需要总人数的1÷1

41233288158＝，还缺总人数的－－＝。乙工地还需4名工人再做1天，即99412368乙工地还需4×2＝8(人)做半天。所以这批工人有8÷＝36(人)。

36例3 图(a)是一个直径3cm的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针转60°角，此时B点移动到B‘点，见图(b)，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(小学数学奥林匹克赛题)

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是奇数。但是，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上，因而都计算了2次，于是相加的总和应当是偶数。这就出现了矛盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数。

例4 六(1)班全班35名同学。教室的课桌排成5排，每排7人。每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座。为了保护视力，打算改变一下座位，能否做到让每个同学都换到他的邻座？

解：奇数和偶数是交互相邻的自然数，这种特性可以用“黑”“白”格子来表示。画一个5行7列的方格图，并且用“黑”“白”格子区分出邻座关系。

图中共有18个白格子、17个黑格子，二者的个数不相等，所以无论怎样改换座位，都不可能做到让每个同学都换到他的邻座。这种由奇偶数的特性所形成的特殊方法叫做“染色区分法”。

练 习 十 五

1．能不能在式子1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？(“华杯赛”试题)

2．两个四位数相加，第一个四位数的每一个数字都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数字调换了位置。某同学的答数是16246。试问，该同学的答数正确吗？如果正确，请写出这两个四位数；如果不正确，请说明理由。(“从小爱数学”数学竞赛题)

3．二十七名小运动员所穿运动服的号码为1，2，3，?，26，27这二十七个自然数。问：这些小运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻两个运动员号码数之和都是质数？请说明理由。(“华杯赛”试题)

4．如图，从O点起每隔3米 棵树。如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数(以米为单位)。试说明理由。

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(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

5．有11张卡片，分别写着1～11这11个自然数。现在要把这11张卡片分成两堆，使得一堆所有卡片上的数之和都是奇数，另一堆卡片所有上的数之和都是偶数。能否做到？为什么？

6．任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？为什么？

7．有12张卡片，其中三张上面写着1，三张上面写着3，三张上面写着5，三张上面写着7。能否从中选出5张，使它们上面的数的总和等于20？为什么？

8．有一本500页的书，从中任意选出20张，这20张上所有页码之和能否等于1999？

9．有一根团面一团的毛线，拿剪刀任意剪一刀，如果剪出了偶数个断口，那么，这根毛线被剪成了偶数段还是奇数段？

10．下图是一张9行9列的方格纸，在每个方格内填入所在行数与列数之和，例如a＝4＋7＝11。在填入的81个数中，偶数有多少个？

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 a 5 6 7 8 9

11．3～9这七个数，两两相乘后所得乘积之和是奇数还是偶数？ 12．右上图是一套房子的平面图，图中的方格表示房间，每个房间都有通向邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？

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参考答案：

第一讲 从简单情况找规律

..19951．＝153.461538，循环节有6个数字，其中只有1个“6”。1995÷6＝332??

133，所以数字6共出现332＋1＝333(次)。

2．从5！＝1×2×3×4×5＝120可知，对于所有大于4的自然数n，n！的个位数字都是0，因此，1！＋2！＋3！＋?＋100！的个位数字就是1！＋2！＋3！＋4！＝33的个位数字3。

3．按规则多写几个数字：1989286884286884?，可见1989后面不断重复出现286884，每6个一组。(1989－4)÷6余5，所求的数字是8。

4．(1)分母为1,2,3,4,5,?的分数分别有1,3,5,7,9,?个。如果把分母相同的分

7是其中的第7个和107第13个分数。在它前面还有1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝81(个)分数，所以是

10数看成一组，分母是10的第10组分数共有10×2－1＝19(个)，

第81＋7＝88(个)和第81＋13＝94(个)分数。(2)因为1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝n，而400＝20，所以第400个分数是第20组的最后一个分数，是

2

2

1。 205．从1条直线开始，逐渐增加直线的条数，从最多分成的纸片数找规律。 直线的条数n：1 2 3 4 5 ?? 分成的片数N：2 4 7 11 16 ??

观察发现，N＝1＋1＋2＋3＋?＋n。当n＝9时，N＝46；当n＝10时，N＝56。所以至少要画10条直线。

6．按照规则，前几个小朋友放完后，盒子里球的个数依次是： 盒 子 未移动以前 第1人放过后 第2人放过后 第3人放过后 第4人放过后 第5人放过后 A 6 5 4 3 6 5 B 4 3 6 5 4 3 C 5 4 3 6 5 4 D 3 6 5 4 3 6 可见经过4人后，四个盒子中的球数重复出现，34÷4余2，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子里中有6个球。

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7．观察发现：1,1,2,3,5,8,13,21,??是按“奇数，奇数，偶数”3个数一循环。2007÷3没有余数，所以第2007个数是偶数。

8．计算得到：这串数的后一个数总是前一个数的2倍，接下去是128,256,512,?从第一个数开始，除以9的余数依次是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8，?按“1,2,4,8,7,5”6个数一循环。2008除以5余3，所以第2008个数除以9的余数是4。

9．观察发现：每8个数一循环，所在的列数依次是“2,3,4,5,4,3,2,1”。2007除以8余7，所以第2007个数出现在第2列。

10．一位数从1到9有9个数字；两位数从10到99有90个数，一共有2×90＝180(个)数字；还差200－9－180＝11(个)数字。依次写出三位数100,101,102,103，第11个数字是0，所以这个数从左数第200位上的数字是0。

11．试验得知，对折3次一共形成7个折痕，这些折痕是剪不到的，所以最后会得到2cm长的小长方形7块。从40cm的总面积中减去这7块长方形的面积还剩40－7×2＝26(cm)，说明边长为1 cm的小正方形有26块。

12．第3行第3个数是1；第4行第3个数是3＝1＋2；第5行第3个数是6＝1＋2＋3；第6行第3个数是10＝1＋2＋3＋4。观察发现：最后的那个加数总是比行数少2。所以，第100行第3个数是1＋2＋3＋?＋98＝(1＋98)×98÷2＝4851。

第二讲 从整体上看问题

2

2

1?2?3???1988＝994.5。

198811112．原式＝(1＋2＋3＋?＋20)＋(＋＋＋?＋)＝210＋(1

1?22?33?410?21201－)＝210。

21211．原式＝

3．两堆碎石的体积是3×3×0.06＋2×2×0.04＝0.7(m)，大水池水面升高0.7÷(6×6)＝

3

0.717(米)，合1cm。 36187m。从第一次相154．从出发到第一次相遇，两人共走半个周长，其中小明走了10遇到第二次相遇，两人共走一个周长，其中小明走10

714×2＝20(m)。小明从出发到1515714第二次相遇，共走了半个周长，所以水池的周长是(10＋20)×2＝62.8(m)。

15151115．因为GM∶MH＝(－)∶＝1∶2，所以长方形AEFD的面积等于长方形BCFE

46649

11121，即3×＝1(m)。又因为AG∶AD＝(1－)∶1＝3∶4，所以长方形AEMG的222431312

面积等于长方形AEFD的，即1×＝1(m)。

4248的

6．从算式整体上看，乘数十位数的本位积是两位数，而乘数个位数的本位积是三位数，乘数只能是89，被乘数只能是12。所以积是12×89＝1068。

7．原式＝(19961996＋1)×19971996－19961996×(19971996＋1)＝19971996－19961996＝10000。

8．

111，，。 81689．因为最大的两位单数是99，所以，这10个数中最小的一个是898－(99＋97＋95＋?＋83)＝79。

10．每组数的平均数相等，这个平均数就是这999个自然数的平均数，等于(1＋2＋3＋?＋999)×999÷2÷999＝500，因此，这三组平均数的和是500×3＝1500。

11．1＋3＋5＋?＋87＝1936＜1998，1＋3＋5＋?＋89＝2025＞1998，所以擦去的单数是2025－1998＝27。

12．因为1997－1996＝(1997＋1996)×(1997－1996)＝1997＋1996＝3993，1993－1992＝(1993＋1992)×(1993－1992)＝1993＋1992＝3985，所以1997－1996＞1993

22

2

2

2

2

2

2

－1992，即第二组大正方形的面积与第一组大正方形的面积的差，大于第一组小正方形的面积与第一组小正方形的面积的差，因此，第二组两个正方形的面积比较大。

第三讲 倒过来想

1．最后一次应该是加上24。100减去原来的12，再减去最后加上的24，还差100－12－24＝64，把加24减20作为一轮，需要进行64÷(24－20)＝16轮，所以至少要经过1＋2×16＝33(次)运算才能得100。

2．用列表法可得，原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克。 3．第10个数比第2个数多8，第2个数是8÷(1＝22，这11个数的和是22×11＝242。

4．第6个数是131－81＝50，第5个数是81－50＝31，第4个数是50－31＝19，第3个数是31－19＝12，第2个数是19－12＝7，第1个数是12－7＝5。

5．当长方体变成正方体后，每个面的面积是150÷6＝25(cm)，棱长是5 cm，说明长方体的长是5＋2.5＝7.5(cm)，长是宽的7.5÷5＝1.5倍。

50

2

4－1)＝18，第6个数是18＋49

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