高中数学 第1章 三角函数 1 - 1 - 2 弧度制教学设计 苏教版

1．1.2 弧度制

整体设计

教学分析

在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的

1

，记作1°. 360

通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．

通过探究讨论，关键是弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．

三维目标

1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．

2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．

重点难点

教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算． 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系． 课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？

思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算．

在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．

推进新课

新知探究

弧度制 1．1°的角 周角的

1

为1°的角． 360

2．1弧度的角

等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 3．弧度数

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.一扇形的半径为R，弧112

长为l，则l＝|α|R，S＝lR＝R|α|.

22

4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度＝180°，1°＝(

180

)°≈57°18′. π

教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的

π

弧度，1弧度＝180

学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，l

∠AOB就是1弧度的角，即＝1.

r

1

我们已学习过角的度量，规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单

360位制叫做角度制(degree measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．

长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1 rad(图1)．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure)．

的长等于半径r，AB所对的圆心角

图1

用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如1 rad，2 rad，π rad，可分别写成1,2，π.

正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.

2r

若圆半径为r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2r，那么∠AOB的弧度数就是＝

r2(图2)．

图2

教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的

1

；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关360

的定值．

若圆半径为r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2πr，则∠AOB的弧度数就是2π(图3)．故有360°＝2π rad，

2πr

＝r

图3

π180

1°＝ rad≈0.017 45 rad，1 rad＝()°≈57.30°.

180π如图4给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记．

图4

180απ弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad＝()°，n°＝n×π180(rad)．

可让学生填写下列的表格，找出某种规律．

的长 πr 2πr r 2r OB旋转的方向 逆时针方向 逆时针方向 ∠AOB的弧度数 1 －2 －π ∠AOB的度数

0 180° 360° 由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的l

绝对值是.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧

α度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．

教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的π

单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者2kπ＋60°一类的

3写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．如图5为角的集合与实数集R之间的一一对应关系．

图5

与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．弧度121

制下关于扇形的公式为l＝αR，S＝αR，S＝lR.

22

应用示例

例1将下列弧度数化为角度数： 3π

(1)；(2)3.5.

5

3π3π180°180°

解：(1) rad＝×＝108°；(2)3.5 rad＝3.5×≈200.54°.

55ππ例2将下列角度数化为弧度数： (1)252°；(2)11°15′.

π7πππ

解：(1)252°＝252× rad＝ rad；(2)11°15′＝11.25°＝11.25× rad＝

180518016rad.

点评：以上两例的目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住. 变式训练 1．下列各命题中，真命题是( ) A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．一弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 答案：D 2．下列四个命题中，不正确的一个是( ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小是2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案：D

例3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α〔k∈Z，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它15π32π

们所在的象限：(1)－；(2)；(3)－20；(4)－23.

43

活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般π

规律，即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是{β|β＝kπ，k∈Z}、{β|β＝＋kπ，k∈Z}，

2ππ

第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2kπ<β<2kπ＋，k∈Z}、{β|2kπ＋<β<2kπ

223π3π

＋π，k∈Z}、{β|2kπ＋π<β<2kπ＋，k∈Z}、{β|2kπ＋<β<2kπ＋2π，k∈Z}．

22

15ππ32π2π

解：(1)－＝－4π＋，是第一象限角．(2)＝10π＋，是第二象限角．

4433(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．

点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α〔k∈Z，α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表π

示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与，

23π

π，比较大小，估计出角所在的象限．

2

例4见课本本节例3. 变式训练 8π 已知一个扇形的周长为＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积． 9π4π解：设扇形的半径为r，面积为S，由已知，得扇形的圆心角为80×＝，∴扇形的弧18094π4π8π长为r，由已知，r＋2r＝＋4，∴r＝2. 99914π28π8π∴S＝×r＝.故扇形的面积为. 2999点评：求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.

知能训练

课本本节练习1～6.

课堂小结

由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．

重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．

作业

①课本习题1.1 6、8、10. ②课后探究训练：课本习题1.1 12.

设计感想

本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．

本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．

备课资料

一、密位制度量角

度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密1位”.1密位就是圆的所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所

6 000以

6 000密位360°1°＝≈16.7密位，1密位＝＝0.06°＝3.6′≈216″.

3606 000

密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．

二、备用习题

1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A.

ππ

B. C．1 D．π 36

2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 3．下列表示的为终边相同的角的是( )

ππkππ

A．kπ＋与2kπ＋(k∈Z) B.与kπ＋(k∈Z)

44222ππ

C．kπ－与kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π与3kπ(k∈Z)

334．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________. 5．已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm，求扇形的中心角的弧度数．

ππ

6．若α∈(－，0)，β∈(0，)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所

22在的象限．

π2π4π5π

参考答案：1.A 2.B 3.C 4.，，π，，.

33335．解：设扇形所在圆的半径为R，扇形的中心角为α，依题意有 12

αR＋2R＝6，且αR＝2，∴R＝1，α＝4或R＝2，α＝1.∴α＝4或1.

2

ππ

6．解：－<α＋β<，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x轴

22的非负半轴上．

－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y轴的非正半轴上．

三、钟表的分针与时针的重合问题

弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别ππ

与角2π(rad)，(rad)，(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时

301 800钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．

[例题] 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?

甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时6360

针转过了x弧度，则分针转过了2π＋x弧度，而时针走1弧度相当于经过 h＝ min，

ππ30360302π

分针走1弧度相当于经过 min，故有x＝(2π＋x)，得x＝，

πππ11

∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是

2π24π

＋2π＝(rad)． 1111

2

乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合24π

时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝，

11

∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是

24π

(rad)． 11

点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/21lv.html