陕西省西安地区八校2012届高三年级下学期数学联考试题(四)(文科)word版

陕西省西安地区八校2012届高三年级下学期数学联考试题（四）

(理科)

第Ⅰ卷 （选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数z

满足3i) z 3i，则z等于（ ）

A.

32

2

B.

34

4

C.

32

2

D.

34

4

2. 下列函数中，周期为1且是奇函数的是（ ） A. y 1 sin2 x B. y sin(2 x

y sin xcos x

a,b3. 设是非零向量，若函数f(x) (xa b) (a xb)的图像是一条直线，则必有（ ）

3

) C. y tan

2

x D.

A. a b B. a∥b

C. |a| |b| D. |a| |b|

4. 在等比数列 an 中，Sn为其前n项和，已知a5 2S4 3,a6 2S5 3，则此数列的公比q为（ ）

A. 2 B.3 Ｃ. 4 D. 5 5. 已知2x 72y A，且

1x 1y

2，则A的值是（ ）

A. 7

B.

C. D. 98

6. 已知函数f(x) x3 x，则a b 0是f(a) f(b) 0的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

22

7. 已知a、b均为正数，且满足a b

2，则S a b 的最大值是（ ）

A.

72

B. 4 C. 5 D.

92

8. 体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的方法有（ ）

A.28种 B.16种 C.10种 D. 42种

x 0

9. 已知不等式组 y 0，表示平面区域D，现在往抛物线y x2 x 2与两坐标

2x y 2 0

轴正半轴围成的封闭区域内随机地抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落到区域D内的概率为（ ） A.

19

15

29

310

B. C. D.

10. 对于x (1,3). 不等式2x3 3x2 6(6x a)恒成立，则实数a的取值范围（ ） A。 [

223

, ) B。 ( ,

316

] C。 ( ,

223

] D。 [

316, )

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

（一）必做题（11~14题）

2

x 2 ,

11.已知函数 x若关于x的方程f(x) k有两个不同的实根，则数k的取值范

(x 1)3,x 2

围是

12.某程序的流程图如图所示，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为

13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖

块.

14. 如图，l表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地东偏北30

方向

km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上

选一处M建一座仓库，向A、B两地转运货物，经测算从M到A、B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元） 。

（二）选择题（考生在A、B、C三小题中选做一题，多做按所做第一题评分）

15. A.（不等式选讲选做题）如果存在实数x使不等式|x 1| |x 2| k成立，则实数k的取值范围

B.（几何证明选讲选做题）如图， O是 ABC的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点D

，CD AB BC 3，则AC的长为

.

C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 2sin 与 cos 1（ 0，

0 2 ）的交点的极坐标为三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，不等式x2cosC 4xsinC 6≥0对一切实数x恒成立.

（Ⅰ）求角C的最大值；

（Ⅱ）若角C取得最大值，且a 2b，求角B的大小 17.（本小题满分12分）

已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为．．．（Ⅰ）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；

127

.

（Ⅱ）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为 ，求随机变量 的分布列及期望E .

18.（本小题满分12分）

已知多面体ABCDE中，AB 平面ACD，DE∥AB，AC AD CD DE 2，F为CD的中点.

（Ⅰ）求证：AF 平面CDE；

（Ⅱ）求平面ABC与平面CDE所成二面角的大小； （Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围

.

19.（本小题满分12分）

已知数列 an 有a1 a，a2 p（常数p 0），对任意的正整数n，Sn a1 a2 an，且Sn满足Sn

n(an a1)

2

..

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）试确定数列 an 是否是等差数列？若是，求出其通项公式；若不是，说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆C

的焦点F1(0,

、F2，点P在圆C上，且|PF1| |PF2| 4. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l:2x y 2 0与椭圆C的两交点为A,B.

（ⅰ）求使S PAB

12

的点P的个数；

（ⅱ）设M为椭圆C上任一点，O为坐标原点，OM OA OB（ , R），求

证： 2 2为定值.

21. （本小题满分14分）

已知函数f(x) (1 x)2 2ln(1 x). （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若当x [ 1,e 1]时，不等式f(x) m恒成立，求实数m的取值范围；

e1

（Ⅲ）若关于x的方程f(x) x2 x a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11. （0,1） 12。5 13. 100 14

。 5a 15。 A。( 3, ) B。

2

C。

3 4

)

三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16. （Ⅰ）由条件知，当cosC 0时，不符合题意； 当cosC 0时，有

cosC 0 cos 0

22

16sinC 24cosC 0 2cosC 3cosC 2 0

cosC

12

，角C的最大值为

3

---------------------------------------------------------------6分

c

（Ⅱ）c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab 3b2,

a c b

2ac

2

2

2

∵cosB

222

2

又0 B

2 3

∴B

6

-----------------------------------------------------------------------------------------------12分

3

另：由（Ⅰ）得C ，所以A B

2 312

由a 2b得sinA 2sinB， 所以sin(

2 32 3127

B) 2sinB,

)，B

2

B

sinB

2sinB，得tanB

3

∵B (0,

6

17. 解（Ⅰ）设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有：

C3 p

3

3

. 可得P

13

.

所以，抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为

12222

P C3 () --------------------------------------------------------------------------------5分

339

（Ⅱ）解： 随机变量 的可能取值为0, 1, 2, 3, 4

23140

P( 0) C3 ()

3227

11 2 110 2 1

P( 1) C C3

3233227

3

3

2

1219 2 1 2

P( 2) C C3

3 3 233227

13

1

22

2117 1 1 3

P( 3) C C3

32254 3 3

2

3

23

11 1

P( 4) C

3254

3

3

3

所以 的分布列为

----------------------------------------------10分

E 0

427

1

1027

2

927

3

754 4

154

32

-------------------------------------------------------

-12分

18. 解：（Ⅰ）∵平面ACD，AB∥DE， ∴DE 平面ACD， ∵AF 平面ACD，∴DE AF。 又∵AC AD CD，F为CD的中点， ∴AF CD。 ∵DE 平面CDE，CD 平面CDE，CD DE D，

AF ∴平面

---------------------------------------------------------------------------------------------4分

C

（Ⅱ）如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC,FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系。

∵AC

2，∴A(0,，

设AB

x，则B(x,C(0,1,0)，AB (x,0,0)，AC (0,1,

设平面ABC的一个法向量为n (a,b,c)，则由AB n 0,

AC n 0，得a

0，b

不妨取c

1，则n

∵AF 平面CDE，∴平面CDE

的一个法向量为FA (0,。

n FA1

，∴ n,FA 60----------------------------------------------------8分 cosn,FA |n| |FA|2

∴平面ABC与平面CDE所成的小于90 的二面角为60 （Ⅲ）解法一：设AB x，则x 0。 ∵AB 平面ACD，∴AB CD 又∵AF CD，AB 平面ABF AF 平面ABF，AB AF A，

∴CD 平面ABF，

∵CD 平面BCD，∴平面ABF 平面BCD。 连BF，过A作AH BF，垂足为H，

则AH 平面BCD。线段AH的长即为点A到平面BCD的距离。 在Rt

AFB中，AB x,AF

2

D

∴BF AH

解法二：设AB x，∵AC CD DA 2，AB 平面ACD。

∴VB ADC

13

S ADC BA

13 4

2 x

2

3

.

∵BC BD ∴S BCD

12 2

CD 2

设点A到平面BCD的距离为d，

则VA BCD

13

S BCD d

∵VA BCD VB ADC,

3

∴

x

解得d

(0,3)

19. 解：（Ⅰ）在Sn 分

n(an a1)

2nan2

中，令n 1得：a1

a1 a1

2

,于是a1 a 0-----------------4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn

. n2an

n 12

an 1

∴当n 2时，an Sn Sn 1 即故

ann 1ann 1

an 1n 2a21

。

an (n 1)p-------------------------------------------------------------------10分

所以n N*时，an (n 1)p，此时an 1 an p（常数）。

数列 an 为等差数列-------------------------------------------------------------------------------12分 20. 解：

（Ⅰ）∵2a |PF1| |PF2| 4,∴b2 a2 c2 1 故椭圆C的方程为x

2

c

y

2

4

1-------------------------------------------------------------4分

2x y 2 0

（Ⅱ）（ⅰ）由 2y2，得A( 1,0)、B(0, 2)。

1 x 4

∴|AB| 2S PAB|AB|

55

∴点P到AB

的距离d

------------------------------------------------------6分

又原点O到直线l

5

∴在直线l的右侧有2个符合条件的点P。

2x y m 0

设l ：2x y m 0与椭圆C相切，则 2y2有且只有一个实根，

1 x 4

由

0，得m

此时，l 与l

间的距离为 ∴在l的左侧不存在符合条件的点P。

综上所述，满足满足条件的点P有2个--------------------------------------------------------9分 （ⅱ）设M(x0,y0)，则x ∵OM OA OB,

x0

x0 ∴ ，即 1

y 2 0 y0

2

20

y04

2

1

故 x

22

2

y04

2

1为定值--------------------------------------------------------------------13分

21. 解：（Ⅰ）函数的定义域为( 1, )。

f (x) 2[(x 1)

1x 1

]

2x(x 2)x 1

,

由f (x) 0，得x 0；由f (x) 0，得 1 x 0. ∴f(x)的递增区间是(0, )，递减区间是( 1,0).

（Ⅱ）∵由f (x)

2x(x 2)x 1

0，得x 0，x 2（舍去）

由（Ⅰ）知f(x)在[ 1,0]上递减，在[0,e 1]上递增。

e

1

又f( 1)

e

1e

11e

2

2

，且e2 2 2, f(e 1) e 2

1e

2

2.

∴当x [ 1,e 1]时，f(x)的最大值为e2 2

故当m e2 2时，不等式f(x) m恒成立。-------------------------------------------------9分 （Ⅲ）方程f(x) x2 x x， x a 1 2ln(1 x记g(x) x a 1 2ln(1 x) ∵g (x) 1

21 x

x 1x 1

,

)

由g (x) 0，得x 1或x 1（舍去）。 由g (x) 0，得 1 x 1. 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增。

为使方程f(x) x2 x a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，

g(0) 0

只须g(x) 0在[0,1]和(1,2]上各有一个实数根，于是有 g(1) 0

g(2) 0

∵2 2ln2 3 2ln3

∴实数a的取值范围是(2 2ln2,3 2ln3]. ----------------------------------------14分

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