初中数学竞赛中的轴对称

M O

D C B A 21°

46°O E D

C B A 初中数学竞赛中的“轴对称”

陆 腾 宇

（江苏省常熟市昆承中学，215500）

许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用．

1 利用轴对称计算角的度数

例1 如图，在ABC 中，44BAC BCA ∠=∠=?，M 为ABC 形内一点，使得30MCA ∠=?,16MAC ∠=?．求BMC ∠的度数．

（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））

解 由44BAC BCA ∠=∠=?，得AB AC =，92ABC ∠=?． 作BD AC ⊥于D ，延长CM 交BD 于点O ，连结OA ．

易知BD 是ABC 的对称轴． 所以30OAC MCA ∠=∠=?， 443014BAO BAC OAC ∠=∠-∠=?-?=?， 301614OAM OAC MAC ∠=∠-∠=?-?=?．

所以BAO MAO ∠=∠．

又9060AOD OAD COD ∠=?-∠=?=∠,所以120AOM AOB ∠=?=∠．

又OA OA =，所以ABO ≌AMO ．

故OB OM =．

由于120BOM ∠=?，从而30OMB OBM ∠=∠=?．

因此，180150BMC OMB ∠=?-∠=?．

例2 如图，在ABC 中，46ABC ∠=?，D 是BC 边上的一点，DC AB =，21DAB ∠=?．试求CAD

∠的度数． 解 作ABD 关于AD 的轴对称图形AED ，

则21EAD ∠=?，AE AB =，所以DE BD =．

易知214667ADC ∠=?+?=?． 故18067113ADE ADB ∠=∠=?-?=?， 1136746CDE ∠=?-?=?． 连结CE ，因为DC AB =，所以CDE ≌ABD ≌AED ．

设O 为AE 与DC 的交点，则672188AOC ADC DAE ∠=∠+∠=?+?=?．因为46ODE OED ∠=∠=?，于是OD OE =．

又DC AE =，则46AO CO OCA OAC =?∠=∠=?．

所以，67DAC DAE EAC ∠=∠+∠=?．

I K H G

F

E

D

C

A

4

3

21

K

J

I H G F E

D C B A 2 利用轴对称求线段的长度、证明线段相等

例3 如图，在矩形ABCD 中，已知对角线长为2，且1234∠=∠=∠=∠，则四边形EFGH 的周长为（ ）

A

． B ．4 C

． D ．6

（2010，四川省初中数学联赛（初二））

解 如图，根据轴对称的性质，IJK 的斜边是四边形EFGH 的周长． 而直角边分别是矩形边长的两倍，又矩形

对角线与矩形两边构成直角三角形，因此四边 形EFGH 的周长是矩形对角线长的2倍．

例4 如图，在ABC 的边AB 、AC 上 分别取点Q 、P ，使得12

PBC QCB A ∠=∠=∠． 求证：BQ CP =．

证明：因为12

PBC QCB A ∠=∠=∠．

则11()()22

BQC CPB A ACB A A ACB A ∠+∠=∠+∠-∠+∠+∠-∠

180A B C =∠+∠+∠=?．

作点P 关于BC 的对称点'P ，连结'BP 、'CP ． 于是'180BQC BP C ∠+∠=?，'PC P C =． 所以B 、'P 、C 、Q 四点共圆．

于是'P BC PBC QCB ∠=∠=∠，则'//BP CQ ． 故'BQ P C =（夹在平行弦间）． 因此，BQ CP =．

3 利用轴对称求图形的面积

例4 如图，在ABC 中，90C ∠=?，I 是A ∠、B ∠的平分线AD 与BE 的交点．已知ABI 的面积为12．则四边形ABDE 的面积等于 ．

（2004，北京市中学生数学竞赛（初二））

解 分别作点E 、D 关于AD 、BE 的对称点F 、G ，

则点F 、G 在AB 上，连结IF 、IG ．

易知1901352

AIB C ∠=?+∠=?．

由轴对称的性质知，IF IE =，ID IG =， 45AIE AIF BID BIG ∠=∠=∠=∠=?．

N M R

Q P O B A 所以135454545FIG AIB AIF BIG BID ∠=∠-∠-∠=?-?-?=?=∠．

作DH BE ⊥于H ，GK IF ⊥于K ．易证IDH ≌IGK ．所以GK DH =． 故1122

IE DH IF GK ?=?，即IDE IGF S S =． 因此224AIB ABDE S S ==四形．

例5 在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠=?．求四边形ABCD 的面积．

解 如图，有'ABD A BD S S =，'30A D AB ==，

'48A B AD ==，'A DB ABD ∠=∠，

于是有''90A DC A DB BDC ABD BDC ∠=∠+∠=∠+∠=?．

故，在Rt 'A DC 中，22'304050A C =+=．

在'A BC 中，2222'14482500BC A B +=+=

2250'A C ==．

所以'90A BC ∠=?． 因此，'''11=4814+3040=93622

A BC A DC ABCD A BCD S S S S =+=????四形四形． 4 利用轴对称探求几何最值

例6 如图，45AOB ∠=?，P 为角内一点，10PO =，两边上各有点Q 、R （均不同于O ），则PQR 的周长的最小值为 ．

（2001年第12届“五羊杯”邀请赛试题）

解 分别作P 关于OA 、OB 的对称点M 、N ，

连结MN 交OA 、OB 于Q 、R ，则△PQR 即为符合

条件的三角形．

如图，由轴对称的性质知10OP OM ON ===，

而290MON AOB ∠=∠=?，

所以△ABC 的周长102MN ==．

例7 河岸l 同侧的两个居民小区A 、B 到河岸的距离分别为a m 、b m （即图1中所示'AA a =m ，

'BB b =m ）

，''A B c =m ．现欲在河岸边建一个长度为s m 的绿化带CD （宽度不计），使C 到小区A 的距离与D 到小区B 的距离之和最小．

（1）在图2中画出绿化带的位置，并写出画图过程；

（2）求AC BD +的最小值．

（2006，第20届江苏省初中数学竞赛）

图2图1N M B'A'P'A B P B A N M A B l

图 2图 1l s a b B s a D

C B'A'A b D'C'H P

s 图 3l B B'A'A D b

C

a s

解 （1）如图3，作线段//AP l ，使AP s =，且点P 在点A 的右侧．取点P 关于l 的对称点'

P ，连结'BP 交l 于点D ，在l 上点D 的左侧截取DC s =，则CD 即为所求的绿化带的位置． 证明 如图3，设绿化带建于另一位置''C D ． 连结'BD 、'PD 、'AC 、''P D ．则由对称性 知，'P D PD =，'''P D PD =． 由AP CD 及AP ''C D ，知AC PD =，''AC PD =． 但'''''P D BD P B P D BD +≥=+，

即''PD BD PD BD +≥+．就是''BD AC BD AC +≤+．

（当且仅当'D 在线段'P B 与l 的交点时等号成立）

所以，这样画出的AC BD +最小．

（2）AC BD +的最小值即为线段'P B 的长度．

延长'BB ，作''P H BB ⊥于H ，，则BH =''BB B H b a +=+，'P H c s =-．

所以2222''()()P B P H BH c s b a =+-++

即AC BD +22()()c s b a -++

练 习 题

1．（1）已知A 、B 两点在直线MN 的同侧，在MN 上求一点P ，使P A 与PB 的和最小；

（2）若A 、B 两点在直线MN 的两侧，在MN 上求一点'P ，使A P '、B P '中较长一条与较短一条的差最大． 提示：作法（1）如图1，作点A 关于MN 的对称点'A ，连结B A '，交MN 于点P ，则点P 即为所求。

（2）如图2，作点B 关于MN 的对称点'B ，连结'AB 并延长，交MN 于点'P ，则'P 即为所求．

P H O C B A

E M D C A

2．如图，矩形ABCD 中，20AB =cm ，10BC =cm ，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM MN +的值最小，求这个最小值．

（1998，北京市初中数学竞赛）

解：如图，作点B 关于直线AC 的对称点'B ，交AC 于E ，过'B 作'B N AB ⊥于N 交AC 于点M ，则M 、N 即为所求的点． 由1122ABC S AB BC

AC BE =?=?，得

BE = 所以'2BB BE ==．

易证'B NB ∽ABC ．所以''B N B B AB AC =．

于是'16B N == 故BM MN +的最小值为16cm ． 3．在ABC 中，AB AC =，80BAC ∠=?，O 为形内一点，=10OBC ∠?，30OCB ∠=?．求BAO ∠的度数． 提示： 作AH BC ⊥于H ，因为AB AC =，所以AH 平分BAC ∠， 即40BAH CAH ∠=∠=?．

延长CO 交AH 于P ，则40BOP BAP ∠=?=∠． 连结BP ，由对称性知，30PBC PCB ∠=∠=?．

所以301020PBO ∠=?-?=?．

因此，402020APB ∠=?-?=?． 在ABP 和OBP 中，40BAP BOP ∠=∠=?，BP BP =，20ABP OBP

∠=∠=?． 所以ABP ≌OBP ．故AB OB =．因为40ABO ∠=?，

所以70BAO BOA ∠=∠=?．

4．在ABC 中，75A ∠=?，35B ∠=?，D 是边BC 上一点，2BD CD =．

求证：2()()AD AC BD AC CD =+-．

（2008，我爱数学初中夏令营数学竞赛）

提示：如图，延长BC 到E ，使CE AC =．由题设知70C ∠=?，则35E B ∠=?=∠，即ABE 是等腰三角形．过点A 作AM BE ⊥于点M ，则M 为边BE 的中点．取BD 的中点F ，则BF FD DC ==．连结AF ． 在Rt ADM 中，2222AD AC CD CD CM =+-? 2(2)AC CD CD CM =+-()()AC BD AC CD =+-．

5． 在矩形ABCD 中，12AB =，3AD =，E 、F 分别是AB 、DC 上的点．则折线AFEC 长的最小值为 ．

G C 1

A 1F 1

E 1F

E D C B A

（2009，全国初中数学联赛四川省初赛）

提示：如图，分别作点A 、C 关于DC 、AB 的对称点1A 、1C ．连结11A C 分别交AB 、DC 于点1E 、1F ，连结11A F 、11C E ．过1A 作BC 延长线的垂线，垂足为G ．

又1112,39AG AB C G AD ====，则由勾股定理知 22111115AC AG C G +． 故111115AF FE EC A F FE EC AC ++=++≥=． 当点E 、F 分别与1E 、1F 重合时，取到最小值． 6．在直角坐标系中，已知两点A （8-，3）、B (4-，5)以及动点C (0，n )、

D (m ，0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值

m n 为（ ） A ．23- B ．2- C ．32

- D ．3-

（2004，第19届江苏省初中数学竞赛（初三））

提示：如图，设点A 关于x 轴的对称点为'A ，点B 关于y 轴的对称点为'B ，则'(8,3)A --，'(45)B ，．所以，当点C 、D 均在直线''A B 上时，四边形ABCD 的周长最小，即为''AB A B +．设直线''A B 的方程为y ax b =+，因为'A 、'B 在直线 ''A B 上，故有8345a b a b -+=-??+=?，解得237

3a b ?=????=??

． 即''A B 的方程为2733y x =+．从而知点7(0,)3C ，D (72

-，0)，即72m =-，73

n =． 所以32

m n =-．故选C ．

在ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，形内的点P 满足AB AP =，PB PC =．证明：AP 是BAC ∠的三等分线．

（1994，中国香港数学奥林匹克）

解：如图，以边BC 的中垂线为轴，作ABP 的轴对称DCP ，连结AD 、CD 、PD ．易知四边形ABCD 为等

D P C B A

腰梯形，则A 、B 、C 、D 四点共圆．

因为2DCB ABC ACB ∠=∠=∠，所以DCA ACB ∠=∠． 在上述圆中，可得DA AB =．于是，DA =AB =DC =AP ． 故APD 是正三角形，且D 是APC 的外心．

此时，1122PAC PDC PAB ∠=∠=∠．故13PAC BAC ∠=∠．

已知在ABC 中，70A ∠=?，90B ∠=?，点A 点是'A ，点B 关于AC 的对称点是'B ，点C 关于是'C ．若ABC 的面积是1，则'''A B C 连结'BB ，并延长交''C A 于点D ，交AC 于点E 'C B BC =，'A B BA =，A C ∥''A C ，''AC A C ='BB AC ⊥，'B E BE =，得'3B D BE =．

故'''11'''33322A B C ABC S

B D A

C BE AC S =?=??==．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/21dq.html