奶制品的生产与销售

§2 奶 制 品 的 生 产 与 销 售

例1 加工奶制品的生产计划

[ 问题的提出] 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2．根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制．试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：

1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?

3)由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划? [ 问题的分析] 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2 (也可以是每天生产多少公斤A1，多少公斤A2)，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力．按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型．

[模型的建立] 设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2． 设每天获利为z元．x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利 24?3x1，x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，

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获利16?4x2，故目标函数为：z=72x1+64x2．

由题设可以得到如下约束条件：

原料供应： 生产A1，A2的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即x1+x2≤50桶； 劳动时间： 生产A1，A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2≤480小时；设备能力： A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即3x1≤100； 非负约束： x1+x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0．

综上可得该问题的数学模型为：

由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划(LinearProgramming，简记作LP)．

[模型分析与假设]

从本章下面的实例可以看到，许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划(特别是在像生产计划这样的经济管理领域)，这不是偶然的．让我们分析一下线性规划具有哪些特征，或者说：实际问题具有什么性质，其模型才是线性规划．

比例性:每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比。

可加性:各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其它决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其它决策变量的取值无关．

连续性:每个决策变量的取值是连续的．

比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性则允

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许得到决策变量的实数最优解．

对于本例，能建立上面的线性规划模型，实际上是事先作了如下的假设： 1) A1，A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1，A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

2) A1，A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1，

A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；

3)加工A1，A2的牛奶的桶数可以是任意实数．

这3条假设恰好保证了上面的3条性质．当然，在现实生活中这些假设只是近似成立的，比如，A1，A2的产量很大时，自然会使它们每公斤的获利有所减少．

由于这些假设对于书中给出的、经过简化的实际问题是如此明显地成立，本章下面的例题就不再一一列出类似的假设了．不过，读者在打算用线性规划模型解决现实生活中实际问题时，应该考虑上面3条性质是否近似地满足．

[模型的求解] 图解法： 这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件(2)～(5)中的不等号改为等号，可知它们是Ox1，x2平面上的5条直线，依次记为L1～L5，如图1．其中L4，L5分别是工x2轴和x1轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)．

目标函数(1)中的z取不同数值时，在图1中表示一组平行直线(虚线)，称等值线族．如z=0是过O点的直线，z=2400是过D点的直线，z=3040是过C点的直线，?．可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B点时，z=3360，达到最大值，所1,5[B点的坐标(20，30)即为最优解：x1=20， x2=30．

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我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得．线性规划的理论告诉我们，这个猜想是正确的．

例2 奶制品的生产销售计划

[问题的提出] 例1给出的A1，A2两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变．为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0．8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2；每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元．试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：

1)若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资?若每天投资150元，可赚回多少?

2)每公斤高级奶制品B1，B2的获利经常有10％的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每公斤B1的获利下降10％，计划应该变化吗?

[问题的分析] 要求制订生产销售计划，决策变量可以像例l那样，取作每天用多少桶牛奶生产A1，A2，再添上用多少公斤A1加工B1，用多少公斤A2加工B2，但是由于问题要分析B1，B2的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作A1，A2，B1，

B2每天的销售量更方便．目标函数是工厂每天的净利润——A1，A2，B1，B2的获

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利之和扣除深加工费用．约束条件基本不变，只是要添上A1，A2深加工时间的约束．在与例1类似的假定下用线性规划模型解决这个问题．

[模型的建立] 设每天销售x1公斤A1，x2公斤A2，x3公斤B1，x4公斤B2，用x5公斤A1加工B1，x6公斤A2加工B2 (增设x5，x6可使下面的模型简单)． 设每天净利润为z，容易写出目标函数为：

z?24x1?16x2?44x3?32x4?3x5?3x6，

由题设可以得到如下约束条件：

原料供应 ：A1每天生产x1+x5公斤，用牛奶(x1+x5)／3桶， A2每天生产

x2+x6公斤，用牛奶(x2+x6)／4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶；劳动

时间 ：每天生产A1，A2的时间分别为4(x1+x5)和2(x2+x6)，加工B1，B2的时间分别为2x5和2x6，二者之和不得超过总的劳动时间480小时； 设备能力 ：A1的产量x1+x5不得超过设备甲每天的加工能力100公斤；非负约束 ：x1，x2，?，x6均为非负． 附加约束 ：l公斤A1加工成0．8公斤B1，故x3= 0．8x5，类似地

x4=0．75x6．

综上可得该问题的数学模型为：

这仍然是一个线性规划模型．

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