含参不等式恒成立问题

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。 类型2：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)

b?b??b??????????????（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a， 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0?f(?)?0a?0（2）当时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??

f(?)?0?b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：

f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。 类型4：

f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?I) 恒成立问题的

解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质

对于一次函数f(x)?kx?b,x?[m,n]有：

?f(m)?0?f(m)?0 f(x)?0恒成立??,f(x)?0恒成立???f(n)?0?f(n)?0例1：若不等式2x?1?m(x2?1)对满足?2?m?2的所有m都成立，求x的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x2?1)?(2x?1)?0，；

?f(?2)?0令f(m)?m(x?1)?(2x?1)，则?2?m?2时，f(m)?0恒成立，所以只需?即

f(2)?0?22??1?71?3??2(x?1)?(2x?1)?0，所以x的范围是x?(,)。 ?222??2(x?1)?(2x?1)?0二、利用一元二次函数的判别式

对于一元二次函数f(x)?ax2?bx?c?0(a?0,x?R)有： （1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0； （2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0

例2：若不等式(m?1)x2?(m?1)x?2?0的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

?m?1?0（2）m?1?0时，只需?，所以，m?[1,9)。 2???(m?1)?8(m?1)?0三、利用函数的最值（或值域）

（1）f(x)?m对任意x都成立?f(x)min?m；

（2）f(x)?m对任意x都成立?m?f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在?ABC中，已知f(B)?4sinBsin2((分离参数法) 解析：由

f(B)?4sinBsin2(?4?B)?cos2B,且|f(B)?m|?2恒成立，求实数m的范围。 2?4?B)?cos2B?2sinB?1,?0?B??,?sinB?(0,1]，f(B)?(1,3]，?|f(B)?m|?22?m?f(B)?2恒成立，??2?f(B)?m?2，即?恒成立，?m?(1,3]

m?f(B)?2?例4：（1）求使不等式a?sinx?cosx,x?[0,?]恒成立的实数a的范围。 解析：由于函a?sinx?cosx?2sin(x???3?),x???[?,]，显然函数有最大值2，?a?2。

4444

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式a?sinx?cosx,x???(0,)恒成立的实数a的范围。 42?解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得

y?sinx?cosx的最大值取不到2，即a取2也满足条件，所以a?2。

所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法

对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。

例5：已知a?0,a?1,f(x)?x2?ax,当x?(?1,1)时,有f(x)?1恒成立，求实数a的取值范围。(数形

2结合)

解析：由f(x)?x2?ax?1，得x2?1?ax，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个

2211?a及(?1)2??a?1得到a分别等于2和0.5，并作出函2211数y?2x及y?()x的图象，所以，要想使函数x2??ax在区间x?(?1,1)中恒成立，只须y?2x在区

221间x?(?1,1)对应的图象在y?x2?在区间x?(?1,1)对应图象的上面即可。当a?1时,只有a?2才能保

211证，而0?a?1时，只有a?才可以，所以a?[,1)?(1,2]。

221变式：已知a?0,a?1,f(x)?x2?ax,当a?(,2)时,有f(x)?12恒成立，求实数x的取值范围

211解析：变换主元，令g(a)??ax?x2?,a?(,2)

22函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12? 分类讨论： (1)当a>1时，

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。

例6：若当P(m,n)为圆x2?(y?1)2?1上任意一点时，不等式m?n?c?0恒成立，则c的取值范围是（ ）

A、?1?2?c?2?1 B、2?1?c?2?1 C、c??2?1 D、c?2?1

解析：由m?n?c?0，可以看作是点P(m,n)在直线x?y?c?0的右侧，而点P(m,n)在圆

x2?(y?1)2?1上，实质相当于是x2?(y?1)2?1在直线的右侧并与它相离或相切。

?0?1?c?0???|0?1?c|?c?2?1，故选D。 ?22?1?1?1 其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。

练习题：1、对任意实数x，不等式asinx?bcosx?c?0(a,b,c?R)恒成立的充要条件是_______。

[c?a2?b2]

52x?3x?9xa在(??,1]上有意义，求实数a的取值范围.[,??)。 2、设y?lglg97

11|Logax|?1恒成立，则实数a的范围是____。[(0,]?[3,??)] 3、当x?(,3)时，33

4、已知不等式：

11112??......??Loga(a?1)? 对一切大于1的自然数n恒成立，求实n?1n?2n?n123

数a的范围。[a?(1,

1?5)] 2含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

?a?01）f(x)?0对x?R恒成立??;

??0??a?02）f(x)?0对x?R恒成立??.

???0

例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有??(a?1)2?4a2?0解得

1a??1或a?。

31所以实数a的取值范围为(??,?1)?(,??)。

3若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，求实数m的取值范围。 解：设F(x)?x2?2mx?2?m，则当x?[?1,??)时，F(x)?0恒成立 当??4(m?1)(m?2)?0即?2?m?1时，F(x)?0显然成立； 当??0时，如图，F(x)?0恒成立的充要条件为：

????0??F(?1)?0解得?3?m??2。 ??2m????12?yx -O 1 x 综上可得实数m的取值范围为[?3,1)。 二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）f(x)?a恒成立?a?f(x)min 2）f(x)?a恒成立?a?f(x)max

例3．已知f(x)?7x2?28x?a,g(x)?2x3?4x2?40x，当x?[?3,3]时，f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围。

解：设F(x)?f(x)?g(x)??2x3?3x2?12x?c， 则由题可知F(x)?0对任意x?[?3,3]恒成立 令F'(x)??6x2?6x?12?0，得x??1或x?2

而F(?1)??7a,F(2)?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a, ∴F(x)max?45?a?0

∴a?45即实数a的取值范围为[45,??)。

x2?2x?a,x?[1,??)，若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。例4．函数f(x)? x解：若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，

x2?2x?a?0恒成立， 即对x?[1,??)，f(x)?x考虑到不等式的分母x?[1,??)，只需x2?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立而得 而抛物线g(x)?x2?2x?a在x?[1,??)的最小值gmin(x)?g(1)?3?a?0得a??3 注：本题还可将f(x)变形为f(x)?x?三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 2）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 实际上，上题就可利用此法解决。

略解：x2?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立，只要a??x2?2x在x?[1,??)时恒成立。而易求得二次函数h(x)??x2?2x在[1,??)上的最大值为?3，所以a??3。

例5．已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。 解： 将问题转化为a?a?2，讨论其单调性从而求出f(x)最小值。 x4x?x2对x?(0,4]恒成立。 x令g(x)?4x?x2，则a?g(x)min x由g(x)?4x?x2?x4?1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)min?g(4)?0 x∴a?0即a的取值范围为(??,0)。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6．对任意a?[?1,1]，不等式x2?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求x的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式

(x?2)a?x2?4x?4?0在a?[?1,1]上恒成立的问题。

解：令f(a)?(x?2)a?x2?4x?4，则原问题转化为f(a)?0恒成立（a?[?1,1]）。 当x?2时，可得f(a)?0，不合题意。

?f(1)?0当x?2时，应有?解之得x?1或x?3。

f(?1)?0?故x的取值范围为(??,1)?(3,??)。

?f(?)?0注：一般地，一次函数f(x)?kx?b(k?0)在[?,?]上恒有f(x)?0的充要条件为?。

?f(?)?0四、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 2）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。

例7．设f(x)??x2?4x , g(x)?4x?1?a,若恒有f(x)?g(x)成立,求实数a的取值范围. 3分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x) 的图象 如图所示，f(x)的图象是半圆(x?2)2?y2?4(y?0)

g(x)的图象是平行的直线系4x?3y?3?3a?0。 y -2 -4 -4 O x 要使f(x)?g(x)恒成立，

则圆心(?2,0)到直线4x?3y?3?3a?0的距离

满足 d??8?3?3a5?2

解得a??5或a?5（舍去) 3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、 分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a?f?x?恒成立，只须求出f?x?max，则a?f?x?max；若a?f?x?恒成立，只须求出f?x?min，则a?f?x?min，转化为函数求最值。

a??例1、已知函数f?x??lg?x??2?，若对任意x??2,???恒有f?x??0，试确定a的取值范围。

x??解：根据题意得：x?a?2?1在x??2,???上恒成立， x即：a??x2?3x在x??2,???上恒成立，

3?9?设f?x???x2?3x，则f?x????x???

2?4?当x?2时，f?x?max?2 所以a?2

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f?a??g?x?恒成立，只须求出g?x?max，则f?a??g?x?max，然后解不等式求出参数a的取值范围；若f?a??g?x?恒成立，只须求出g?x?min，则f?a??g?x?min，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

2例2、已知x????,1?时，不等式1?2x??a?a2??4x?0恒成立，求a的取值范围。 解：令2x?t，?x????,1? ?t??0,2? 所以原不等式可化为：a2?a?要使上式在t??0,2?上恒成立，只须求出f?t??22t?1， t2t?1在t??0,2?上的最小值即可。 t21?1t?1?1?1?11?1??f?t??2????????? ???,???

t?2t??t?t?t2?4?f?t?min?f?2??3313 ?a2?a? ???a? 4422二、 分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例3、若x???2,2?时，不等式x2?ax?3?a恒成立，求a的取值范围。

解：设f?x??x2?ax?3?a，则问题转化为当x???2,2?时，f?x?的最小值非负。 （1） 当?a7??2即：a?4时，f?x?min?f??2??7?3a?0 ?a?又a?4所以a不存在； 23aa2?a?（2） 当?2??2即：?4?a?4时，f?x?min?f????3?a??0 ??6?a?2 又?4?a?4

24?2???4?a?2

（3） 当?a?2 即：a??4时，f?x?min?f?2??7?a?0 ?a??7又a??4??7?a??4 2综上所得：?7?a?2

三、 确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例4、若不等式2x?1?m?x2?1?对满足m?2的所有m都成立，求x的取值范围。 解：设f?m??m?x2?1???2x?1?，对满足m?2的m，f?m??0恒成立，

2???1?71?3?f??2??0??2?x?1???2x?1??0?????x? 解得： 222???f?2??0?2?x?1???2x?1??0四、 利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，

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