广东省惠州市2011届高三第三次调研考试数学文科含详细答案

广东省惠州市2011届高三第三次调研考试

数学试题(文科）

本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中s是锥体的底面积，h是锥体的高． 3一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知复数z1?2?i，z2?1?i，则z = z1?z2在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量|a|?10,|b|?12,且a?b??60，则向量a与b的夹角为（ ） A．600 B．1200 C．1350 D．1500 3．在等比数列?an?中，a5?a11?3,a3?a13?4,则A．3 B．

a15?（ ） a5111 C．3或 D．?3或? 3334. 设?表示平面，a,b表示直线，给定下列四个命题：

①a//?,a?b?b??； ②a//b,a???b??; ③a??,a?b?b//?; ④a??,b???a//b. 其中正确命题的个数有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.y?(sinx?cosx)2?1是（ ） A. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为2π的偶函数

D. 最小正周期为π的偶函数

6. 命题“若a?b,则a?1?b?1”的否命题是（ ）

A.若a?b,则a?1?b?1 B.若a?b，则a?1?b?1 C.若a?b,则a?1?b?1 D.若a?b,则a?1?b?1 7．若方程f(x)?2?0在(??,0)内有解，则y?f(x)的图象是（ ）

1x2y28．设椭圆2?2?1(m?0，n?0)的右焦点与抛物线y2?8x的焦点相同，离心率为，则

2mn此椭圆的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2A．?1 D．??1 ??1 B．??1 C．?486464481612121629．已知定义域为(－1，1)的奇函数y?f(x)又是减函数，且f(a?3)?f(9?a)?0.则a的

取值范围是（ ）

A．(3，10) B．(22，3) C．(22，4)

D．(－2，3)

10．对任意实数x,y，定义运算x?y?ax?by?cxy，其中a,b,c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1?2?3,2?3?4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数

x， 都有x?m?x，则m的值是（ ）

A.4

B.?4

C.?5

D.6

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需

选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。

?2x(x?4)11．已知函数f(x)??, 则f(5) _____________.

?f(x?1)(x?4)?x?0,?(k为常数),若z?x?3y的最大值为8， 12．已知点P(x,y)满足条件?y?x,?2x?y?k?0?则k?_____________.

13．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的

等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是_____________.

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线l:x?y?4?0与圆C:则C上各点到l的距离的最小值为_____________.

15．(几何证明选讲选做题)如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B

两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. （★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．）

俯视图 正视图

侧视图

?x?1?2cos?y?1?2sin?，

16．（本小题满分12分）

如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得?CAB?75，?CBA?45,且AB?100米。 （1）求sin75； （2）求该河段的宽度。

17．（本题满分12分）

某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6

名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，

求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 分组 频数 频率 5 ① 30 20 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.000

????160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180? 第5组 [180,185] 10 合计

100 18．（本题满分14分）

如图，己知?BCD中，?BCD?90，BC?CD?1,AB?平面BCD，且?ADB?600,E,F分别是AC,AD上的动点，0AEAF==?,(0

已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y??2相切. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)， 分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:AQ?BQ. 20．（本题满分14分）

已知函数f(x)?x?3x.

（1）求曲线y?f(x)在点x?2处的切线方程；

（2）若过点A(1,m)(m??2)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

21．（本题满分14分）

f(n)*已知函数f(x)?log3(ax?b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记an?3,n?N.

3（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?an,Tn?b1?b2???bn，若Tn?m(m?Z)，求m的最小值； n2（3）求使不等式(1?111)(1?)?(1?)?p2n?1对一切n?N*均成立的最大实数p. a1a2an

惠州市2011届高三第三次调研考试

数学试题(文科）答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 A 1.【解析】∵zl·z2=3-i， 故选D。

2.【解析】由a?b＝abcos???60?cos?=?10，故??120，选B。 23.【解析】?a5?a11?a3?a13?3,a3?a13?4,?a3?1,a13?3或a3?3,a13?1,

?a15a131??3或，故选C。

3a5a34.【解析】考虑a??的情形，则排除①③，故正确命题有②、④,故选B。 5．【解析】y?(sinx?cosx)2?1=sin2x，故选C。 6.【解析】由原命题与否命题的关系易得正确答案为C。

7.【解析】方程f(x)?2?0在(??,0)内有解，即?x0?0,使得f(x0)?2,故选D。 8.【解析】抛物线y2?8x的焦点为（2，0），∴椭圆焦点在x轴上且半焦距为2，

21x2y2222??1故选A。 ∴??m?4，∴n?4?2?12，∴椭圆的方程为

m21612

??1?a?3?1?9．【解析】由条件得f(a－3)＜f(a2－9)，即??1?a2?9?1 ∴a∈(22,3) 故选B。

?2?a?3?a?910．【解析】由定义有x?m?ax?bm?cxm?x对任意实数x恒成立，且m?0,令

?a?1?c?1?2?3?a?5 x?0,?bm?0,?b?0.?x?y?ax?cxy.由?得??a?2?c?2?3?4?c??1∴5x-mx=x对任意实数x恒成立, ∴m=4. 故选A。

二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11.8； 12. k =-6； 13.

3?； 14. 22?2； 15. 2。 611．【解析】f(5)?f(4)?f(3)?23?8。

k?x????y?xkk?312.【解析】画图，联立方程组?得?，代入??3?(?)?8,?k??6

33?2x?y?k?0?y??k?3?1??12?3313.【解析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥， V?3??。

2614.【解析】圆方程为(x-1)??(y?1)?4，∴d?

15．【解析】设圆的半径为R,由PA?PB?PC?PD得3?(3?4)?(5?R)(5?R)解得R=2。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．解：（1）sin75??sin(30??45?)?sin30cos45?cos30sin45

????221?1?41?122?22，∴距离最小值为22?2。

?12326?2???? ??????4分 22224??（2）∵?CAB?75，?CBA?45

∴?ACB?180??CAB??CBA?60, 由正弦定理得：

??CDABBC?

sin?ACBsin?CABABABsin75?∴BC? ??????7分

sin60?如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。

在Rt?BDC中，∵?BCD??CBA?45,sin?BCD??BD,??????9分 BCABsin75???sin45?∴BD?BCsin45＝?sin60?100?6?224? 232 ?

25(6?23)50（3?3）=（米） ??????12分

3317．解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35?100?35人, ?????? 1分

第3组的频率为

30?0.300, ?????? 2分 100频率分布直方图如下: ?????? 5分

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别

为:第3组:第5组:

3020?6?3人, ??? 6分 第4组:?6?2人, ??? 7分 606010?6?1人, ??? 8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。 60（3）设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1, 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1), ????? 10分

第4组至少有一位同学入选的有:

(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1),9种可能。

所以其中第4组的2位同学为B1,B2至少有一位同学入选的概率为

18．(1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，

又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B， 所以，CD⊥平面ABC， ????3分 又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点， 且

93????? 12分 155

所以，不论?为何值，EF//CD,总有EF⊥平面ABC： ???7分 （2）解：在△BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，所以，BD＝2, 又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BD，

又在Rt△ABD中，?ADB?600,∴AB=BDtan600?由（1）知EF⊥平面ABE，

AEAF???(0???1) ACAD

6。 ??????10分

所以，三棱锥A－BCD的体积是6??????14分

24

19．解：（1）依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L:y??2为准线的抛物线上……3分

因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是x?8y??????6分 （2）?直线AB与x轴不垂直,设AB:y?kx?2. A(x1,y1),B(x2,y2).??????8分

2?y?kx?2,?2由?12可得x?8kx?16?0， x1?x2?8k，x1x2??16 ???11分

y?x.?8?抛物线方程为y?121x,求导得y??x. 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 8411k1?x1，k2?x2 。 ???12分

44111k1?k2?x1?x2?x1?x2??1 ???13分

4416所以，AQ?BQ ???14分

20．解：（1）f?(x)?3x2?3,f?(2)?9,f(2)?23?3?2?2 ???2分 ∴曲线y?f(x)在x?2处的切线方程为y?2?9(x?2)，即9x?y?16?0 ???4分 （2）过点A(1,m)向曲线y?f(x)作切线，设切点为(x0,y0) 则y0?x03?3x0,k?f?(x0)?3x02?3.

则切线方程为y?(x03?3x0)?(3x02?3)(x?x0) ??????6分

32将A(1,m)代入上式，整理得2x0?3x0?m?3?0。

∵过点A(1,m)(m??2)可作曲线y?f(x)的三条切线

∴方程2x?3x?m?3?0（*）有三个不同实数根. ?????8分

2记g(x)?2x?3x?m?3,g?(x)=6x?6x?6x(x?1).

3232令g?(x)?0,x?0或1. ?????10分 则x,g?(x),g(x)的变化情况如下表

x g?(x) g(x) (??,0) 0 0 极大 (0,1) 1 (1,??) ? 递增 ? 递减 0 极小 ? 递增

当x?0,g(x)有极大值m?3;x?1,g(x)有极小值m?2. ????12分

?g(0)?0?m?3?0由题意有，当且仅当?, 即?,?3?m??2时，

g(1)?0m?2?0??函数g(x)有三个不同零点.

此时过点A可作曲线y?f(x)的三条不同切线。故m的范围是(?3,?2) ????14分

21．解：（1）由题意得?

?log3(2a?b)?1?a?2，解得?， ????2分

?log3(5a?b)?2?b??1

?f(x)?log3(2x?1)an?3lo3g(2n?1)?2n?1,n?N* ????4分

（2）由（1）得bn?2n?11352n?32n?1?T???????n ① ， n2n2122232n?121132n?52n?32n?1??????n?1 ② ①-②得 Tn?23n?1n2222221122222n?1111112n?1Tn?1?2?3???n?1?n?n?1?1?(1?2???n?2?n?1)?n?12222222222222312n?112n?12n?3?3? ??n?1?n?1. ?Tn?3?n?2?， ????7分

22222n2n2n?52n?3f(n?1)*2n?1?2n?5?1?1?1?1?1 ,n?N设f(n)?，则由?2n?32(2n?3)22n?3252nf(n)2n2n?3,n?N*随n的增大而减小，?当n???时，得f(n)?Tn?3 Tn随n的增大而增大。n2又Tn?m(m?Z)恒成立，?mmin?3 ????10分

（3）由题意得p?1111(1?)(1?)?(1?)对n?N*恒成立

a1a2an2n?1 记F(n)?1111(1?)(1?)?(1?)，则

a1a2an2n?1F(n?1)?F(n)11111(1?)(1?)?(1?)(1?)a1a2anan?12n?22(n?1)2n?3??1111(2n?1)(2n?3)4(n?1)2?1(1?)(1?)?(1?)a1a2an2n?1 ?2(n?1)?1 ????12分

2(n?1)?F(n)?0,?F(n?1)?F(n),即F(n)是随n的增大而增大

F(n)的最小值为F(1)?2233，?p?33，即p2max?33.

14分 ????

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