数学建模 - - 生产规划问题

一、 问题的重述

某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。其中，各种产品的百分比以及去年销售量和价格分别见表(表1、表2)

表一 产品\\成分 脂肪 奶粉 水 牛奶 奶油 奶酪1 奶酪2

表二 产品 牛奶 奶油 奶酪1 奶酪2 消费（千吨） 4820 320 210 70 价格（元/吨） 297 720 1050 815 1、价格的变化会影响消费需求。为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性 E：

E=需求降低百分数/价格提高百分数；

各种产品的E值，可以据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。

2、两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB其定义为：

EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。

3、已知四种产品的E值分别为：0.4，2.7，1.1，0.4 以及EAB=0.1，EBA=0.4

4 80 35 25 9 2 30 40 87 18 35 35 二、模型假设

2．1假设工厂的生产能力、生产设备及各种产品的百分比在某段时间内不会发生变化。

2．2假设价格的变化会影响消费要求，价格的伸缩性E=需求降低百分比／价格提高百分比。

2．3对产品三和产品四的需求，随着他们价格相对变化，在某种程度上可以相互替代，表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性定义EAB =A需求提高百分／B价格提高百分比。

2. 4水这种原料可以无限制提供 2．5工厂生产的产品全部销售完。

四、 模型建立与求解

问题一

4．1-1建立目标函数

通过综合分析，本题影响工厂的销售总收入有两个因素：一个是价格；另一个是销售量。要使销售总收入最大，只要价格和销售量的乘积最大即可：即是

其中：

si：第i 种产品的销售量(千吨)；pi：第f种产品的价格(元／吨)。

4．1-2建立产品价格的优化模型

由题意知道，四种产品均由三种原料配制而成，而且原料一、原料二分别为60、70万吨，原料三可以无限制提供，所以用于生产各种产品的第j种原料之和应该小于等于这种原料。即：

其中原料变量 Yj：第j种原料的总量(万吨)； yij第i种产品j种原料的占有率(百分比)。

根据假设2．2，价格的变化会影响消费需求，因此引入伸缩性E，表现这一规律的价格的伸缩性E：等于需求降低百分比除以价格提高百分比。因此对于第i种产品的销售量有以下关系：

其中：Ei第i种产品的价格伸缩性； si0：第种i产品去年的销售量(千吨)；

pi0：第中i产品去年的销售价格(元／吨)。

对于产品三和产品四的销售量，除了受到自身的价格影响，还要受到除自身外另外一种产品(产品三、产品四)的影响。下面分别采用控制变量法对产品三和产品四进行分析。 对产品三，由(3)式得：

然后，控制产品三自身的价格，分析产品四的价格对产品三的销售总量的影响。根据假设2．3，市场对产品三和产品四的需求，随着他们价格相对变化，在某种程度上可以相互替代，这一规律用需求关于价格的交叉伸缩性定义：价格的交叉伸缩性E 等于需求提高百分比除以需求提高百分比，产品三销售量与产品四的价格关系如下：

1

其中，E34第3种产品对第4种产品的交叉伸缩性；s31表示产品三在它自身价格影响下的销售量； s32表示产品三在产品四的价格的影响下的销售量。

结合(4)式、(5)式，得到产品三的销售总量和产品三的价格及产品四的价格的关系为：

同理可得产品四的销售总量和产品三的价格及产品四的价格的关系为：

综上所述，为使其销售总收入最大，建立工厂产品定价的最优化模型如下： 目标函数：

约束条件：

2

4.1-3模型求解的实现

在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以实现上述目标函数在给定约束条件下的求解过程，将表一、表二的数据代入模型可以求得以下结果：

表三 价格（元/吨）销量（吨）销售收入（元）销售总收入（元）牛奶524.265733446861753504147奶油奶酪1奶酪2583.64681223.0931950.675483623.8201182.335598.75282265483.3246064662.969441591.662351275885 从而可以得出，当牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的定价分别为524.2657元/吨、583.6468元/吨、1223.093元/吨、1950.675元/吨时，其所导致的需求分别为3344686吨、483623.8吨、201182.3吨、35598.75吨。此时达到最大销售总收入：2351275885元。

问题二：

若单个产品价格不能高于去年该种产品的价格，并且新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加有下列四种情况：

1、

p1?p10,p1*s1?p10*s10

则原来的模型变为：

约束条件分别为：

3

4??siyij?Yj,(j?1,2,3)?i?1?p1?p10??p1s1?p10s10??Ei(pi?pi0)??si?si0?1??,(i?1,2)?pi0???s.t.?E3(p3?p30)?s3?s301?E34(p4?p40)?p40p30??E4(p4?p40)?s4?s401?E43(p3?p30)?p30p40??si?0?pi?0????

????

在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以实现上述目标函数在给定约束条件下的求解过程，将表一、表二的数据代入模型可以求得以下结果：

表四

牛奶 奶油 奶酪1 奶酪2 价格（元/吨） 297 643.2171 1249.158 1969.634 销量（吨） 4820000 412139.5 195936.6 35642.45 销售收入（元） 1431540000 265095174 244755771.4 70202581.36 销售总收入（元） 2011593527 经济代价数量表示（元） 2011593527-2351275885=-339682358

即是，当牛奶价格指标受到限制时，销售总收入降为2011593527元，经济代价数量为：-339682358元，即销售总收入减少了339682358元。

2、

p2?p20,p2*s2?p20*s20

则原来的模型变为：

约束条件分别为：

4

4??siyij?Yj,(j?1,2,3)?i?1?p2?p20??p2s2?p20s20??Ei(pi?pi0)??si?si0?1??,(i?1,2)?pi0???s.t.?E3(p3?p30)?s3?s301?E34(p4?p40)?p40p30??E4(p4?p40)?s4?s401?E43(p3?p30)?p30p40??si?0?pi?0????

????

在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以实现上述目标函数在给定约束条件下的求解过程，将表一、表二的数据代入模型可以求得以下结果：

表五

牛奶 奶油 奶酪1 奶酪2 价格（元/吨） 519.75 720 1183.577 1921.932 销量（吨） 3374000 320000 209135.3 35532.49 销售收入（元） 1753636500 230400000 247527731 68291029.57 销售总收入（元） 2299855261 经济代价数量表示（元） 2299855261-2351275885=-51420624

即是，当奶油价格指标受到限制时，销售总收入降为2299855261元，经济代价数量为：-51420624元，即销售总收入减少了51420624元。 3、

p3?p30,p3*s3?p30*s30

同理，在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以求得以下结果：

表六

牛奶 奶油 奶酪1 奶酪2 价格（元/吨） 524.8662 595.6578 1050 815 销量（吨） 3340788 469210.6 210000 70000 销售收入（元） 1753466703 279488953.7 220500000 57050000 销售总收入（元） 2310505656 经济代价数量表示（元） 2310505656-2351275885=-40770229

5

即是，当奶酪1价格指标受到限制时，销售总收入降为2310505656元，经济代价数量为：-40770229元，即销售总收入减少了40770229元。 4、

p4?p40,p4*s4?p40*s40

同理，在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以求得以下结果：

表六

牛奶 奶油 奶酪1 奶酪2 价格（元/吨） 524.8662 595.6578 1050 815 销量（吨） 3340788 469210.6 210000 70000 销售收入（元） 1753466703 279488953.7 220500000 57050000 销售总收入（元） 2310505656 经济代价数量表示（元） 2310505656-2351275885=-40770229

即是，当奶酪2价格指标受到限制时，销售总收入降为2310505656元，经济代价数量为：-40770229元，即销售总收入减少了40770229元。

将上述4个结果整理汇总成表格，如下：

限制下的销售总收入（元） 经济代价数量表示（元）

图形表示如下:

图一（销售总收入在各个产品价格限制下与无限制情况下的对比）

牛奶价格指标限制 2011593527 奶油价格指标限制 2299855261 奶酪1价格指标限制 2310506000 奶酪2价格指标限制 2310505656 339682358 51420624 40770229 40770229 6

2400000000230000000022000000002100000000200000000019000000001800000000牛奶奶油奶酪1奶酪2限制下的销售总收入无限制下的销售总收入

图二（经济代价在各种产品政策限制下的数量表示）

经济代价数量表示350000000300000000250000000200000000150000000100000000500000000牛奶奶油奶酪1奶酪2

由上可知，当牛奶价格指标受到限制时，产生的经济代价最大，而其他产品价格指标的限制影响较小。

牛奶奶油奶酪1奶酪2五、模型的推广与评价

5．1模型的评价

1、本模型准确地得出了奶产品的定价模型，采用了成熟的方法—线性规划，这个方法久经考验，可靠性高。

2、模型中的数据都是运用了往年的数据统计，真实可靠。利用LINGO软件准确地求解出最大销售收入以及最优定价。

3、模型与实际紧密联系，符合价格的变化规律，本文最后还对模型进行了推广，

7

使得模型更贴近实际，通用性强。

4、“需求的价格伸缩性”和“价格的交叉伸缩性”是用数理统计方法求出的，会存在一定程度的误差。

5．2模型的推广

对文中的变量以及约束条件可以扩大，例如：当有n种产品以及有m种原料约束条件等，通过所建立的模型就能够很好的解决。本文建模的方法和思想对其他类似的问题也很实用，除了奶产品定价方面实用性强外，还可以推广到多个领域的产品定价中去。

附录

问题一LINGO程序代码输入

max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;

s1=4820000*(1-0.4*(p1-297)/297); s2=320000*(1-2.7*(p2-720)/720);

s3=210000*(1-1.1*(p3-1050)/1050+0.1*(p4-815)/815); s4=70000*(1-0.4*(p4-815)/815+0.4*(p3-1050)/1050); 4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000; 9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000;

问题一LINGO运算结果输出

Local optimal solution found.

Objective value: 0.2351276E+10 Total solver iterations: 29

Variable Value Reduced Cost S1 3344686. 0.000000 P1 524.2657 0.000000 S2 483623.8 0.000000 P2 583.6468 0.000000 S3 201182.3 0.000000 P3 1223.093 0.000000 S4 35598.75 0.000000 P4 1950.675 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2351276E+10 1.000000 2 0.000000 515.2343 3 0.000000 403.0198 4 0.000000 1144.069 5 0.000000 1894.229 6 -0.3492460E-08 2.257837

问题二牛奶价格指标限制下的LINGO软件程序输入：max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;

8

s1=4820000*(1-0.4*(p1-297)/297); s2=320000*(1-2.7*(p2-720)/720);

s3=210000*(1-1.1*(p3-1050)/1050+0.1*(p4-815)/815); s4=70000*(1-0.4*(p4-815)/815+0.4*(p3-1050)/1050); 4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000; 9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000; p1<297;

p1*s1<1431540000;

问题二牛奶价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出： Local optimal solution found.

Objective value: 0.2011593E+10 Total solver iterations: 18

Variable Value Reduced Cost S1 4820000. 0.000000 P1 297.0000 0.000000 S2 412139.5 0.000000 P2 643.2171 0.000000 S3 195936.6 0.000000 P3 1249.158 0.000000 S4 35642.45 0.000000 P4 1969.634 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2011593E+10 1.000000 2 0.000000 -24.98063 3 0.000000 343.4496 4 0.000000 1118.010 5 0.000000 1875.957 6 0.000000 3.747094 7 0.1849193E+08 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 1.033644

问题二奶油价格指标限制下的LINGO软件程序输入： max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;

s1=4820000*(1-0.4*(p1-297)/297); s2=320000*(1-2.7*(p2-720)/720);

s3=210000*(1-1.1*(p3-1050)/1050+0.1*(p4-815)/815); s4=70000*(1-0.4*(p4-815)/815+0.4*(p3-1050)/1050);

9

4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000; 9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000; p2<720;

P2*s2<230400000;

问题二奶油价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出：

Local optimal solution found.

Objective value: 0.2299855E+10 Total solver iterations: 33

Variable Value Reduced Cost S1 3374000. 0.000000 P1 519.7500 0.000000 S2 320000.0 0.000000 P2 720.0000 0.000000 S3 209135.3 0.000000 P3 1183.577 0.000000 S4 35532.49 0.000000 P4 1921.932 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2299855E+10 1.000000 2 0.000000 519.7500 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 1183.577 5 0.000000 1921.932 6 0.1269595E+08 0.000000 7 0.3129864E+08 0.000000 8 0.000000 0.000000

问题二奶酪1价格指标限制下的LINGO软件程序输入： max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;

s1=4820000*(1-0.4*(p1-297)/297); s2=320000*(1-2.7*(p2-720)/720);

s3=210000*(1-1.1*(p3-1050)/1050+0.1*(p4-815)/815); s4=70000*(1-0.4*(p4-815)/815+0.4*(p3-1050)/1050); 4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000; 9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000; p3<1050;

p3*s3<220500000;

10

问题二奶酪1价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出： Local optimal solution found.

Objective value: 0.2310506E+10 Total solver iterations: 30

Variable Value Reduced Cost S1 3340788. 0.000000 P1 524.8662 0.000000 S2 469210.6 0.000000 P2 595.6578 0.000000 S3 210000.0 0.000000 P3 1050.000 0.000000 S4 70000.00 0.000000 P4 815.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2310506E+10 1.000000 2 0.000000 514.6338 3 0.000000 391.0088 4 0.000000 -1715.270 5 0.000000 751.0472 6 0.000000 2.558112 7 0.2989449E+08 0.000000 8 0.000000 72240.12 9 0.000000 2.548320

问题二奶酪2价格指标限制下的LINGO软件程序输入： max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;

s1=4820000*(1-0.4*(p1-297)/297); s2=320000*(1-2.7*(p2-720)/720);

s3=210000*(1-1.1*(p3-1050)/1050+0.1*(p4-815)/815); s4=70000*(1-0.4*(p4-815)/815+0.4*(p3-1050)/1050); 4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000; 9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000; p4<815;

p4*s4<57050000;

问题二奶酪2价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出：

11

Local optimal solution found.

Objective value: 0.2310506E+10 Total solver iterations: 21

Variable Value Reduced Cost S1 3340788. 0.000000 P1 524.8662 0.000000 S2 469210.6 0.000000 P2 595.6578 0.000000 S3 210000.0 0.000000 P3 1050.000 0.000000 S4 70000.00 0.000000 P4 815.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2310506E+10 1.000000 2 0.000000 514.6338 3 0.000000 391.0088 4 0.000000 960.4661 5 0.000000 48.84513 6 0.2793968E-08 2.558112 7 0.2989449E+08 0.000000 8 0.000000 32758.26 9 0.000000 0.8615976

12

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