2012年温州中学实验班提前招生考试数学模拟卷

温州中学数学试验班招生数学试卷

一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）

24256，则x?1是??????????? （ ） 1、记x??1?2?1?21?2???1?2??????A、一个奇数 B、一个质数

C、一个整数的平方 D、一个整数的立方

2、圆周上共有10个等分点，以其中三点为顶点的直角三角形的个数为??????（ ） A、20 B、40 C、60 D、80

3、如图1，已知⊙O的半径是R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为960，弧BD的度数为360，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为?????????（ ） A、2R B、3R C、2R D、R

4、已知实数a，b，c满足a?ab?ac?0,则关于x的方程

2CDAPOBax2+bx+c=0?????????????????????（ ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根

图1 C、没有实数根 D、不能确定

5、如果一个凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形的边数

不可能是??????????????????????????????（ ） A、4 B、5 C、6 D、7 6、用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图2），现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，则不同的爬行路径共有???????????????（ ） A、4条 B、5条 C、6条 D、7条

A57、一次函数y?x?15的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为

4坐标原点，则在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点共有????????????????（ ）

A、90个 B、92个 C、104个 D、106个 8、如果

DC图2

B7q8??，p,q是正整数，则p的最小值是?( ) 8p9A、15 B、17 C、72 D、144

二、填空题：（共4小题，每题4分，共16分）

9、设a，b为两个不相等的实数，且满足a?5a?b?5b?1，则ab?ab的值是 10、如图3，直角梯形ABCD中，∠BAD=900，AC⊥BD，

2233BCAC3? ，则?ADBD311、如图4，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，

ED=3，GC=4，则三角形ABC的周长是 ABCEADGC图3

DBF图4

(１)

sin?cos?cos2?sin2?1412、设x，y是大于零的实数,且 ?，2??222xyxyx?y则

xy?? yx三、解答题（共6题，共72分）

13、（本题满分14分）

如果一个数能表示成x2?2xy?2y2（x,y是整数），我们称这个数为“好数”。

（1）判断29是否为“好数”？

（2）写出1，2，3，?，20中的“好数”。 （3）如果m,n都是“好数”，求证：mn是“好数”。

14、（本题满分8分）

如图5所示，阴影部分是陆地，折线ABCDE是河岸，今要将河岸拉直，需在线段DE上找一点M，将河岸ABCDM变成线段AM，并且河面面积保持不变。

请你在图6中画出线段AM（保留作图痕迹），并说明理由。（本题8分） AAB河面CB陆地DMCDEE图5 图6

15、（本题满分12分）

如图7，⊙O的弦AC、BD交于点Q，AP、CP是⊙O的切线，O、Q、P三点共线。求证：

PA2?PB?PD。

ADOQBPC

(２)

图7

16、（本题满分14分）

定义下列操作规则：

规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：1、2、3、4?1、3、2、4?3、1、2、4。）

规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。

规则C：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。 现按照顺序排列着1、2、3、?、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、?、2003、2004。 问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？

（2）只用规则B操作，目标能否实现？ （3）只用规则C操作，目标能否实现？ 17、（本题满分12分）

如图8，O是Rt△ABC斜边AB的中点,CH⊥AB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO上任意一点,过B作BE⊥AF于E,连结DE交BC于G. （1）求证：∠CAF=∠CDE；（2）求证：CF=GF。

图8

(３)

18、（本题满分12分）

已知二次函数y?x2?2mx?n2

（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记m，n?4两数中较大者为P，试求P的最小值。

（2）若m，n变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。

(４)

温州中学数学实验班招生考试数学试卷 （参考答案及评分标准）

一、选择题：（每小题4分，共32分） 1~8.CBBAD,CDB

二、填空题：（每小题4分，共16分） 9、—27， 10、1/3 11、30 12、4 三、解答题（共6题，共72分）

13、（本题满分14分）

解答：x2?2xy?2y2?(x?y)2?y2

（1）29?(3?2)2?22?32?2?3?2?2?22，29是“好数”。（4分）

（2）1，2，3，?，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20。（8分） （3）设m?(x1?y1)2?y12,n?(x2?y2)2?y22，x1,y1,x2,y2是整数。

mn?(x1?y1)2(x2?y2)2?(x1?y1)2y22?y12(x2?y2)2?y12y22??(x1?y1)(x2?y2)?y1y2???(x1?y1)y2?y1(x2?y2)?且mn?x2?2xy?2y2，所以mn是“好数”。（14分） 14、（本题满分8分）

解答：连接BD，过C作CF∥BD交DE于F，则S?BDC?S?BDF。(6分)

连接AF，过B作BM∥AF交DE于M，则，连接AM即为所求。（8分） S?AFB?S?AFM15、（本题满分12分）

DM22

令y?(x1?y1)2y2?y1(x2?y2),x?(x1?y1)(x2?y2)?y1y2?y，则x,y是整数，

ABCFE证明：连接OA、OB、OD，设DP交⊙O于E，设⊙O的半径为R，可证OQ?OP?R（4分）2?DQ?QB?(R?OQ)?(R?OQ)22?R?OQ?OQ?QP?P、D、O、B四点共圆，又??DPO??BPO，?PB?PE

（12分） ?PA2?PB?PD。

16、（本题满分14分）

解答：（1）能，实行如下操作：

（8分）

OD=OB，

DOAEQBPC1、2、?、2003、2004、2005?1、2、?、2003、2005、2004?1、2、?、2005、2003、2004（4分）

???1、2005、2、3、?、2003、2004?2005、1、2、?、2003、2004（2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B，若数m在k号位置，一次变换后可能是k?2、k、k?2号位置，所以操作过程中数m所占位置的奇偶性不会改变。而1、2、

3、?、2004、2005中1在1号位，目标2005、1、2、?、2003、2004中1是2号位，这不可能。（8分）

（3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：

a、b、c、d、e?d、c、b、a、e?d、e、a、b、c?b、a、e、d、c?b、c、d、e、a?e、d、c、b、a?e、a、b、c、d

(５)

图6

可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。(12分) 将2001、2002、2003、2004、2005通过“*操作”，可以变为2005、2001、2002、2003、2004，再对1997，1998，1999，2000，2005施行“*操作”，变为2005、1997、1998、1999、2000，如此反复，1、2、3、?、2004、2005可以变为1、2、3、4、2005、5、6、?、2004，最后对1、2、3、4、2005施行“*操作”得到2005、1、2、?、2003、2004。（14分） 15、（本题满分12分） [解答]：（1）证明：连结BD，

??BEA??ACB?900?A，B，C，E四点共圆且AB是此圆直径又?CH?AB，CH=DH，?D在此圆上，?A，B，C，D，E五点共圆。

??CAE=?CDE（4分）

（2）由（）得1?CDB??CAO，?BCD??ACO，??AOC??DCB（6分）

还可以证明：?AOF??DBG，?ACF??DCG

ACAOFOAOACCFCFFOCFCG??，?，??????GF?BO（10分） CDBDBGBDCDCGCGGBFOGB ?O是AB中点?CF?GF（12分）P

18、（本题满分12分）

n2[解答]：（1）由过点（1，1）得到：m?

2on要比较m，n?4大小，即：m?（n?4）?n211?（n?4）?（n2?2n?8）?（n?4）(n?2) 222?n2? （n??2或n?4）（3分） ?P??2?n?4 （?2?n?4)?如图所示，当n??2时?Pmin?2（6分）

（2）图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x1,0),B(x2,0),C(0,?n2)。又x1x2??n2,若n?0,则与三个交点不符，?x1x2??n2?0,?x1,x2分在原点左右两侧。（9分）又?x1x2?n2?1，?存在点P0(0,1)使得OA?OB?OP0?OC，所以A,B,C,P0四点共圆,?这些抛物线必过定点P（0，1）（12分）0

(６)

可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。(12分) 将2001、2002、2003、2004、2005通过“*操作”，可以变为2005、2001、2002、2003、2004，再对1997，1998，1999，2000，2005施行“*操作”，变为2005、1997、1998、1999、2000，如此反复，1、2、3、?、2004、2005可以变为1、2、3、4、2005、5、6、?、2004，最后对1、2、3、4、2005施行“*操作”得到2005、1、2、?、2003、2004。（14分） 15、（本题满分12分） [解答]：（1）证明：连结BD，

??BEA??ACB?900?A，B，C，E四点共圆且AB是此圆直径又?CH?AB，CH=DH，?D在此圆上，?A，B，C，D，E五点共圆。

??CAE=?CDE（4分）

（2）由（）得1?CDB??CAO，?BCD??ACO，??AOC??DCB（6分）

还可以证明：?AOF??DBG，?ACF??DCG

ACAOFOAOACCFCFFOCFCG??，?，??????GF?BO（10分） CDBDBGBDCDCGCGGBFOGB ?O是AB中点?CF?GF（12分）P

18、（本题满分12分）

n2[解答]：（1）由过点（1，1）得到：m?

2on要比较m，n?4大小，即：m?（n?4）?n211?（n?4）?（n2?2n?8）?（n?4）(n?2) 222?n2? （n??2或n?4）（3分） ?P??2?n?4 （?2?n?4)?如图所示，当n??2时?Pmin?2（6分）

（2）图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x1,0),B(x2,0),C(0,?n2)。又x1x2??n2,若n?0,则与三个交点不符，?x1x2??n2?0,?x1,x2分在原点左右两侧。（9分）又?x1x2?n2?1，?存在点P0(0,1)使得OA?OB?OP0?OC，所以A,B,C,P0四点共圆,?这些抛物线必过定点P（0，1）（12分）0

(６)

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