(升级版)高中数学公式及知识点速记

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高中数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设x1、x2 [a,b],x1 x2那么

f(x1) f(x2) 0 f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1) f(x2) 0 f(x)在[a,b]上是减函数.

(2)设函数y f(x)在某个区间内可导，若f (x) 0，则f(x)为增函数；

若f (x) 0，则f(x)为减函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x，都有f( x) f(x)，则f(x)是偶函数； 对于定义域内任意的x，都有f( x) f(x)，则f(x)是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 3、函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f (x0)，相应的切线方程是y y0 f (x0)(x x0). 4、几种常见函数的导数

'

①C 0；②(xn)' nxn 1； ③(sinx)' cosx；④(cosx)' sinx；

x'xx'x

⑤(a) alna；⑥(e) e； ⑦(logax)

'

11'

；⑧(lnx) xlnax

5、导数的运算法则

u'u'v uv'

(v 0). （1）(u v) u v. （2）(uv) uv uv. （3）() 2

vv

'

'

'

'

'

'

6、函数的极值

(1)极值定义： 极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值； 极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值。 (2)判别方法： ①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

7、求函数的最值

(1)求y f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）

(2)将y f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式 sin cos 1，tan =

第1页（共8页）

2

2

sin

. cos

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9、诱导公式 （概括为k Z）

( ) sin cos co ssin ； 10、和角与差角公式 sin

cos ( ) co scos sin sin ； tan( )

11、二倍角公式 sin2 2sin cos .

tan tan

1 tan tan

2ta n

.

1 ta2n

2 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 . tan

cos

2

1 cos2 1 cos2

;sin2 . 22

12、三角函数的周期

函数y sin( x )，x∈R及函数y cos( x )，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

T

2

；函数y tan( x )，x k

2

,k Z(A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T

.

13、正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 第2页（共8页）

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14、辅助角公式

b,sin cos y asinx bcosx a2 b2sin(x ) 其中tan

a15、正弦定理

abc

2R. sinAsinBsinC

16、余弦定理

a2 b2 c2 2bccosA; b2 c2 a2 2cacosB; c2 a2 b2 2abcosC.

17、三角形面积公式

S ABC

111

absinC bcsinA acsinB. 222

18、三角形内角和定理

在△ABC中，有A B C C (A B) 19、与的数量积(或内积)

|| ||cos

20、平面向量的坐标运算

(1) 设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB OB OA (x2 x1,y2 y1).

(2) 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a b=x1x2 y1y2.

（3）设a=(x,y)，则a 21、两向量的夹角公式

x2 y2

设=(x1,y1),=(x2,y2)，且 ，则 cos 22、向量的平行与垂直

a bab

x1x2 y1y2x1 y1 x2 y2

2

2

2

2

a//b b a x1y2 x2y1 0.

( ) 0 x1x2 y1y2 0.

三、数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

S(n 1)an 1 ( 数列{an}的前n项的和为Sn a1 a2 an).

S S(n 2)n 1 n

24、等差数列 ⑴通项公式：an a1 (n 1)d，a1为首项，d为公差.

⑵前n项和公式：Sn

n(a1 an)1

或 Sn na1 n(n 1)d.

22

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25、等差中项 如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

即：A是a与b的等差中项 2A a b a，A，b成等差数列.

26、等差数列的常用性质

(1)an am (n m)d； (2)若m n p q(m,n,p,q N )，则am an ap aq； (3)若等差数列 an 的前n项和Sn，则Sk、S2k Sk、S3k S2k . (4)当项数为2n，则S偶 S奇 nd,27、等比数列

⑴通项公式：an a1qn 1，a1为首项，q为公比 .

S偶an 1Sn 1

；当项数为2n 1，则S奇 S偶 an,偶 .

S奇anS奇n

a1(1 qn)a1 anq

⑵前n项和公式：①当q 1时，Sn na1②当q 1时，Sn . 1 q1 q

28、等比中项 如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

2

即：G是a与b的等比中项 G a b a，A，b成等比数列.

29、等比数列的常用性质 (1)an am qn m(n,m N )

(2)若m n p q(m,n,p,q N )，则am an ap aq； ；

(3)若等比数列 an 的前n项和Sn，则Sk、S2k Sk、S3k S2k 是等比数列. 30、数列的求和

常见数列的求和公式： (1)1 2 3 n

n(n 1)

； 2

n(n 1)(2n 1)

.

6

(2)1 3 5 (2n 1) n2； (3)12 22 32 n2

四、不等式

31、一元二次不等式的解集 （a 0, 0）

一般数列求和的常用方法：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、拆项分组法.

ax2 bx c 0的解集为{x|x x1,或x x2}； ax2 bx c 0的解集为{x|x1 x x2}.

32、线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 概念理解：线性约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解。

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33、基本不等式： 若a 0，b

0，则a b

，即

a b

． 2

34、和定积最大，积定和最小 应注意满足三个条件：“一正二定三相等”.

即：两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；若积为定值，则可求和的最小值。

a2 b2

常用的不等式：①a b 2ab a,b R ；②ab a,b R ；

2

2

2

a b ③ab a 0,b 0 ．

2

五、解析几何

35、五种直线方程

k（1）点斜式 y y1 k(x x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)． （2）斜截式 y kx b (b为直线l在y轴上的截距).

2

y y1x x1

(y1 y2)(P 1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1 x2)).

y2 y1x2 x1xy

(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0)

ab

（5）一般式 Ax By C 0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

36、两条直线的平行和垂直

若l1:y k1x b1，l2:y k2x b2

①l1||l2 k1 k2,b1 b2;

②l1 l2 k1k2 1. 37、平面两点间的距离公式

dA,B

A(x1,y1)，B(x2,y2)).

38、点到直线的距离

d

(点P(x0,y0),直线l：Ax By C 0).

2

2

2

39、 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 (x a) (y b) r.

22

（2）圆的一般方程 x y Dx Ey F 0(D E 4F＞0).

2

2

（3）圆的参数方程 40、直线与圆的位置关系

x a rcos

.

y b rsin

222

直线Ax By C 0与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种:

d r 相离 0; d r 相切 0;

d r 相交 0. 弦长l 2r d 其中d

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2

2

Aa Bb CA B

2

2

.

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41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

x acos cx2y2222

椭圆：2 2 1(a b 0)，a c b，离心率e 1，参数方程是 .

aaby bsin

cx2y2b222

双曲线：2 2 1(a>0,b>0)，c a b，离心率e 1，渐近线方程是y x.

aaab

pp

抛物线：y2 2px，焦点(,0),准线x 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

22

42、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b

(1）若双曲线方程为2 2 1 渐近线方程：2 2 0 y x.

aabab

xyx2y2b

(2)若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为2 2 .

abaab

x2y2x2y2

(3)若双曲线与2 2 1有公共渐近线，可设为2 2 （ 0，焦点在x轴上， 0，

abab

焦点在y轴上）.

43、抛物线y 2px的焦半径公式

2

p

.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。） 2

pp

44、过抛物线焦点的弦长AB x1 x2 x1 x2 p.

22

六、立体几何

2

抛物线y 2px(p 0)焦半径|PF| x0

45、证明直线与直线平行的方法

（1 （2

46、证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理：（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行） 符号语言： a ,b ,a//b a// （2）先证面面平行

47、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行） ．．．．

符号语言：

a ,b ,a b P

//

a// ,b//

48、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直

49、证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直） ．．．．

符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m ，n ，则l⊥

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面） 50、证明平面与平面垂直的方法

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51、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=2 rl，表面积=2 rl 2 r； 圆椎侧面积= rl，表面积= rl r

； V柱体 Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）

2

2

1

V锥体 Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3

432

球的半径是R，则其体积V R, 其表面积S 4 R．

3

52、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 5354、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

55、平均数、方差、标准差的计算

平均数:x

x1 x2 xn

n

方差:s

2

1

[(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2] n

标准差:s

1

[(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2] n

56、回归直线方程

n

xi yi

i 1

b n 2y a bx，其中

xi i 1

a xy nxy

ii

i 1n

n

xi2 2

i 1

.

n(ad bc)2

57、独立性检验（分类变量关系） K

(a b)(c d)(a c)(b d)

2

随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。 58、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、．．．．．．．．．不遗漏）

2

八、复数

59、复数的除法运算

a bi(a bi)(c di)(ac bd) (bc ad)i

. c di(c di)(c di)c2 d2

60、复数z a bi的模 |z|=|a

bi|61、共轭复数z a bi；

z z (a bi)(a bi) a2 b2.

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九、参数方程、极坐标化成直角坐标

2 x2 y2

cos x 55、 y

sin y (x 0) tan

x

56、圆(x a)2 (y b)2 r2的参数方程可表示为

x a rcos ,

( 为参数).

y b rsin .

x acos ,x2y2

椭圆2 2 1(a b 0)的参数方程可表示为 ( 为参数).

y bsin .ab

x 2px2,

(t为参数). 抛物线y 2px的参数方程可表示为

y 2pt.

2

x xo tcos ,

经过点MO(xo,yo)，倾斜角为 的直线l的参数方程可表示为 （t为参数）.

y y tsin .o

注：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

复习寄语：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/20o4.html