浅谈中考数学模型图在解题中的运用

浅谈中考数学模型图在解题中的运用

内容提要：

中考总复习时间紧，任务重，如何有效的利用时间让学生掌握解题方法，以及对几何图形的分析证明，就是要站的“高”，才能看的“远”。挖掘题目的本质和联系，总结几何模型图形，以不变应万变，化复杂为简单，灵活运用模型图，拓宽解题思路，适应新课改的要求。

关键词：模型图形 举一反三 挖掘 迁移联系

在九年级数学中考几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的问题。而平时如果大量毫无章法，不从根本揭示规律和方法的题海战役，即便时间加汗水，甚至以伤害学生的身心健康为代价也并不一定能够取得满意的结果。

在毕业班任教十几年，数学的思想和方法让我颇感它们的重要性，它们如同是数学的灵魂贯穿于题的始终。在教学与做题的过程中我也收获了一些经验和方法，在这里，浅谈一下几何模型图在中考解题中的运用。

一.认识感悟模型图在中考复习中的作用

纵观陕西省近几年的中考题，我们将会不难发现，有些题目虽然“外表”变了，但考察数学的知识点和方法却没有变，只要我们抓住根本，必将会迎来解题的“柳暗花明的春天”。

例如：2007年陕西中考数学真题 24．（本题满分10分）

如图，在直角梯形OBCD中，OB?8，BC?1，CD?10． （1）求C，D两点的坐标；

（2）若线段OB上存在点P，使PD⊥PC，求过D，P，C 三点的抛物线的表达式．

D y

2009年陕西中考数学真题

O C B P （第24题）

x

纵观这两道中考题都是考察二次函数的知识，条件虽然不同，但在求点的坐标问题上却蕴含着相同的几何模型图———三垂直模型。

（三垂直模型）

2

利用相似的知识找出对应边成比例便可将问题得以解决。 由此可发现它们就是基本图形的变形和深化，要想达到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”就必须把基本图形拿出来认真分析，研究和积累，形成基本图形储备。在头脑中形成系统完备的待用基本图形库，最终将基本图形当作利刃，用到解题中去。

“问渠那得清如许，为有源头活水来。”只有平时多积累总结，联想类比，我们在做题时才能游刃有余。像这种相似的基本图形还很多，如相似中常用基本图形：

A字型 8字型 公共边角型 双垂直型（射影定理） 而三垂直可由双垂直平移得到，从表面来看没有什么关系，但实质却相互之间可以进行转换。

举例练习1.如图四边形ABCD，EFGH ，NHMC都是正方形 ，A、B、N、E、F五点在同一直线上，若四边形ABCE,EFGH的边长分别为3，4，求四边形NHMC的边长。

这就是可直接利用三垂直模型解题的一道题，很容易求出边长等于5。

2.如图,已知ΔABC中∠ABC=90° AB=BC，三角形ABC三个

顶点在相互平行的三条直线上，且 l 1 与 l 2 之间的距离为2，

3

l2与 l 3 之间的距离为3，则AC的长是多少？

这道题就要构建模型，在原来一个直角的基础上再做两条垂线段，便可化为三垂直模型来解决，左右两个直角三角形全等，再利用勾股定理求出答案为58。像这种以三垂直模型为载体的中考题还有很多，但结论却固定不变，那就是左右两个直角三角形一定相似。若在添加任意一组对应边相等的条件则有全等的结论；若中间直角三角形的直角顶点位于两侧直角三角形的直角顶点之间的线段中点位置时，则它们三个直角三角形都相似。从这里可以看出，对于模型的把控，不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，要培养学生有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。平时只有“深挖洞，广积粮”，战时方可有备无患，胸有成竹。这要求学生对于每一种基本图形的理解要十分深刻，不仅仅要认识模型，还要会补全模型，甚至构造模型来解决问题。

在中考复习中，像这种基本模型的图形还有很多，如： （1.）由平行线中夹着角平分线模型图———— 构建等腰三角形； （2.）由等腰三角形的三线合一模型图———— 推出三线与等腰四者“知二推二”的关系；

（3.）由垂径定理及勾股定理模型图 ———— 探寻半径r,弦心距d,弦长a,弓形的高h四个量之间的关系；

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（4.）由“船会碰到暗礁”问题的模型图 ————建立直角三角形的边角三角函数关系；

（5.）由过点做已知直线的对称点模型图————解决在已知直线上找一点到直线一侧两点距离之和最短的问题；

（6.）由掷骰子，转转盘列表出来的概率模型图————解决一些求概率的实际问题等等。

二．如何有效的掌握总结或构建模型图，使其在中考做题中发挥作用

高斯曾经说过“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。”在我们原有的知识基础上，只要我们善于思考，大胆尝试，不断探索，一定会使我们的学习变得更加轻松快乐。

著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。” 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的教学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式 、定理及理论体系等等，都是一些具体的数学模型。举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模

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