海南省侨中三亚学校2019届中考数学模拟试卷（一）含答案解析

2019年海南省侨中三亚学校中考数学模拟试卷（1）

一、选择题（本题有14个小题，每小题3分，共42分） 1．﹣2的相反数是（ ） A．﹣ B．

C．2

D．±2

2．下列运算正确的是（ ）

A．x4?x3=x12 B．（x3）4=x81 C．x4÷x3=x（x≠0）

D．x4+x3=x7

3．如下左图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

4．某种生物细胞的直径约为0.00056m，将0.00056用科学记数法表示为（ ） A．0.56×10﹣3 B．5.6×10﹣4 C．5.6×10﹣5 D．56×10﹣5

5．在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（ ） A．6．分式A．0

B．

C．

D．

的值为0时，x的值是（ ） B．1

C．﹣1 D．﹣2

7．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）

A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6.5

8．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（ ）

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A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

9．函数y=A．x＞﹣1

中，自变量x的取值范围是（ ） B．x＜﹣1

C．x≠﹣1

D．x≠0

10．抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3

C．y=（x﹣2）2﹣3

D．y=（x+2）2﹣3

11．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A．2.5 B．5

C．10

D．15

12．在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

13．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（ ）

A．20° B．25° C．30° D．45°

14．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数； ②a=1；

③当x=0时，y2﹣y1=4； ④2AB=3AC；

其中正确结论是（ ）

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A．①②

B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 15．16的算术平方根是 ．

16．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．

17．CD=2，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，如图，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，则EC的长为 ．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是 ．

三、解答题：（本大题共62分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 19．（1）计算：

﹣2sin30°?tan45°

（2）解不等式组．

20．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请根据以上信息回答：

第3页（共24页）

（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将不完整的条形图补充完整．

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数？

21．东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔．据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处tanβ=0.15847，测得东方山山顶D处的俯角为β，如图．已知tanα=0.15987，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）

22．一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？

23．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）证明：∠BAE=∠FEC； （2）证明：△AGE≌△ECF； （3）求△AEF的面积．

第4页（共24页）

24．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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2019年海南省侨中三亚学校中考数学模拟试卷（1）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有14个小题，每小题3分，共42分） 1．﹣2的相反数是（ ） A．﹣ B．

C．2

D．±2

【考点】相反数． 【专题】存在型．

【分析】根据相反数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵﹣2＜0， ∴﹣2相反数是2． 故选C．

【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

2．下列运算正确的是（ ）

A．x4?x3=x12 B．（x3）4=x81 C．x4÷x3=x（x≠0）

D．x4+x3=x7

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】计算题．

【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及幂的乘方与积的乘方的法则，结合选项即可作出判断．

【解答】解：A、x4?x3=x7，故本选项错误； B、（x3）4=x12，故本选项错误； C、x4÷x3=x（x≠0），故本选项正确； D、x4+x3≠x7，故本选项错误； 故选C．

【点评】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方及合并同类项的知识，关键是掌握各部分的运算法则，要求我们熟练基本知识．

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3．如下左图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】依题意，可知该几何体是由五个小正方形组成，底面有4个小正方体，可利用排除法解答．【解答】解：如图可知该几何体是由5个小正方体组成，底面有4个小正方体，而第二层只有1个小正方体，故选B．

【点评】本题考查的是学生对三视图的理解与对该考点的巩固，难度属简单，培养空间想象力是学习这部分内容的重点．

4．某种生物细胞的直径约为0.00056m，将0.00056用科学记数法表示为（ ） A．0.56×10﹣3 B．5.6×10﹣4 C．5.6×10﹣5 D．56×10﹣5 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【专题】计算题．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：将0.00056用科学记数法表示为5.6×10﹣4． 故选B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定

5．在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】解直角三角形．

【分析】首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．

【解答】解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，

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∵∠CAB=120°， ∴∠DAC=60°， ∴∠ACD=30°， ∵AB=4，AC=2， ∴AD=1，CD=∴BC=∴sinB=

=2=

，BD=5， ， =

．

故选：B．

【点评】此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键． 6．分式A．0

的值为0时，x的值是（ ） B．1

C．﹣1 D．﹣2

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣1=0，x+2≠0，解可得答案． 【解答】解：由题意得：x﹣1=0，x+2≠0， 解得：x=1， 故选：B．

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

7．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）

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A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6.5

【考点】众数；条形统计图；中位数． 【专题】图表型．

【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．

【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）． 故选C．

【点评】本题考查的是众数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．

8．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

【考点】方差．

【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定． 【解答】解：∵丁的方差最小，

∴射箭成绩最稳定的是：丁． 故选D．

【点评】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．

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=0.65， =0.55， =0.50， =0.45，

9．函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x＞﹣1

B．x＜﹣1

C．x≠﹣1

D．x≠0

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+1≠0， 解得x≠﹣1． 故选C．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

10．抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x﹣2）2﹣3

D．y=（x+2）2﹣3

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【解答】解：函数y=x2向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2； 再向上平移3个单位，得：y=（x﹣2）2+3； 故选B．

【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

11．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A．2.5 B．5

C．10

D．15

【考点】圆锥的计算．

【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可． 【解答】解：设母线长为x，根据题意得 2πx÷2=2π×5， 解得x=10．

第10页（共24页）

）

故选C．

【点评】本题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．

12．在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+5x+b的图象相比较看是否一致．

【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；

C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0故本选项错误． 故选C．

【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．

13．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（ ）

A．20° B．25° C．30° D．45° 【考点】圆周角定理．

【分析】欲求∠C，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解． 【解答】解：∵∠C和∠O是同弧所对的圆周角和圆心角； ∴∠C=∠O=30°； 故选C．

【点评】此题主要考查的圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

第11页（共24页）

14．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数； ②a=1；

③当x=0时，y2﹣y1=4； ④2AB=3AC；

其中正确结论是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【考点】二次函数的性质． 【专题】压轴题；探究型．

【分析】根据与y2=（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．

【解答】解：①∵抛物线y2=（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；

②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本小题错误； ③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=（0+2）

2

﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=

，故y2﹣y1=

+=，故本小题错误；

④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3）， ∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3， ∴B（﹣5，3），C（5，3） ∴AB=6，AC=4，

第12页（共24页）

∴2AB=3AC，故本小题正确． 故选D．

【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 15．16的算术平方根是 4 ． 【考点】算术平方根． 【专题】计算题．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵42=16， ∴

=4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．

16．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 【考点】概率公式． 【专题】常规题型．

【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率． 【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球， ∴摸出一个球摸到红球的概率为：故答案为：．

【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．

17．CD=2，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，如图，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，则EC的长为 2

．

=． ．

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【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理． 【专题】计算题．

【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．

【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图， ∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2， ∵OC2+AC2=OA2，

∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5， ∴OC=5﹣2=3， ∴BE=2OC=6， ∵AE为直径， ∴∠ABE=90°， 在Rt△BCE中，CE=故答案为：2

．

=

=2

．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．

第14页（共24页）

18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是

．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，设所求的EC为x，则CD=x，BD=ED=

x，根据BC=5列式求值即可．

【解答】解：作ED⊥BC于D，由折叠的性质可知∠DBE=∠ABE=45°， 设所求的EC为x，则CD=x，BD=ED=∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10， ∴BC=AC×cosC=5， ∵CD+BD=5， ∴CE=5

﹣5．

﹣5．

x，

故答案是：5

【点评】考查翻折变换问题；构造出含30°及含45°的直角三角形是解决本题的突破点．

三、解答题：（本大题共62分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 19．（1）计算：

﹣2sin30°?tan45°

（2）解不等式组．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；实数．

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【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂、负整数指数幂法则计算，第三项利用算术平方根定义计算，第四项利用乘方的意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）原式=2+3×1﹣3+1﹣2××1=2+3﹣3+1﹣1=2；

（2）

由①得：x＞﹣3， 由②得：x≤3，

，

则不等式组的解集为﹣3＜x≤3．

【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请根据以上信息回答：

（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将不完整的条形图补充完整．

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据喜欢B粽的人数是60人，所占的比例是10%，据此即可求得调查的总人数； （2）利用总人数减去其它组的人数即可求得喜欢C种粽子的人数，从而补全直方图； （3）利用总人数8000乘以对应的百分比即可求得．

【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民数是60÷10%=600（人）；

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（2）C组的人数是：600﹣180﹣60﹣240=120（人）．

；

（3）估计爱吃D粽的人数是：8000×40%=3200（人）． 答：爱吃D粽的人数是3200人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔．据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处tanβ=0.15847，测得东方山山顶D处的俯角为β，如图．已知tanα=0.15987，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】根据tanα=

，tanβ=

，求出AB=8000米，进而求出该飞机从A到B 处需要时间．

【解答】解：过D点作DM⊥BC，垂足为M，则BM=AD， ∵东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米， ∴CM=BC﹣AD=453.20﹣442.00=11.2（米）， tanα=

，则AB=

，

第17页（共24页）

tanβ=∴

，则AB=

=

，

，

∵tanα=0.15987，tanβ=0.15847，AD=BM， AD=11.2×1584.7÷14=1267.76（米）， AB=

=8000米，

∴该飞机从A到B处需8000÷180≈44.4s， 答：该飞机从A到B处需44.4s．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tanα=的关键．

，tanβ=是解决问题

22．一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】设第一天行军的平均速度为xkm/h，第二天行军的平均速度为ykm/h，根据两天共行军98km，第一天比第二天少走2km，列方程组求解．

【解答】解：设第一天行军的平均速度为xkm/h，第二天行军的平均速度为ykm/h， 由题意得，解得：

，

，

答：第一天行军为平均速度为12km/h，第二天行军为平均速度为10km/h．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

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23．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）证明：∠BAE=∠FEC； （2）证明：△AGE≌△ECF； （3）求△AEF的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题．

【分析】（1）由于∠AEF是直角，则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角，由此得证；

（2）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；

（3）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解． 【解答】（1）证明：∵∠AEF=90°， ∴∠FEC+∠AEB=90°；

在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠FEC；

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点， ∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°； 又∵CF是∠DCH的平分线， ∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中，；

∴△AGE≌△ECF；

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（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF； 又∵∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形； ∵AB=a，E为BC中点， ∴BE=BC=AB=a，

根据勾股定理得：AE=∴S△AEF=a2．

=a，

【点评】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适中．

24．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题；分类讨论． 【分析】方法一：

（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．

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（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．

（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 方法二： （1）略．

（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P． （3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．

（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标． 【解答】方法一：

解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P； ∵点A、B关于直线l对称， ∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，解得：

∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3； 当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

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（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：

MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10； ①若MA=MC，则MA2=MC2，得： m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1； ②若MA=AC，则MA2=AC2，得： m2+4=10，得：m=±

；

③若MC=AC，则MC2=AC2，得： m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，方法二：

（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）， ∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3．

（2）连接BC， ∵l为对称轴， ∴PB=PA，

∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）．

（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3）， ∵△MAC为等腰三角形， ∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，

（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1， （1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=±

， ）（1，﹣

）（1，1）（1，0）．

（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0， 经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去， 综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，

（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，

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），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．

作HG⊥AO，垂足为G，

∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°， ∴∠GHO=∠GAH， ∴△GHO∽△GAH， ∴HG2=GO?GA，

∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴lAC：y=3x+3，H（﹣，

），∵H为OO′的中点， ∴O′（﹣，）， ∵D（1，4）， ∴lO′D：y=x+

，lAC：y=3x+3，∴x=﹣，y=， ∴Q（﹣

，

）．

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【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．

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