2019年高考理科数学模拟试题

2019年高考高三最新信息卷 理 科 数 学（十一）

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．[2019·焦作模拟]已知集合A??1,2,4?，B??2mm?A?，则AB的所有元素之和为（ ）

A．21

B．17

C．15

D．13

2．[2019·宣城调研]复数z满足z?1?2i??3?i，i为虚数单位，则z的共轭复数z?（ ） A．1

B．1?i

C．2

D．1?i

3．[2019·南开中学]在平面直角坐标系中，角?的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合， 终边过点P?1,2?，则sin??π??2?????（ ）

A．5 B．2555 C．?5255 D．?5

x24．[2019·汉中质检]双曲线y2a2?b2?1?a?0,b?0?的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，

则离心率为（ ） A．233 B．255 C．355 D．3 5．[2019·维吾尔适应]正项等差数列?an?的前n项和为S2n，已知a3?a9?a6?15?0，则S11?（ ）

A．35 B．36 C．45 D．55

6．[2019东北模拟]已知m，n为两条不重合直线，?，?为两个不重合平面，下列条件中，?∥?的充分条件是（ ） A．m∥n，m??，n?? B．m∥n，m??，n?? C．m?n，m∥?，n∥?

D．m?n，m??，n??

7．[2019·广州毕业]函数f?x??2sin??x??? ???0,??π?的部分图像如图所示，先把函数

y?f?x?图像上各点的横坐标缩短到原来的1π2倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移4个单位

长度，得到函数y?g?x?的图像，则函数y?g?x?的图像的一条对称轴为（ ）

A．x?3π4 B．x?π C．x??π44

D．x??3π4 8．[2019·邯郸一模]过点M??1,0?引曲线C:y?2x3?ax?a的两条切线，这两条切线与y轴分别 交于A，B两点，若MA?MB，则a?（ ） A．?254 B．?274 C．?2512 D．?4912 9．[2019·宣城调研]一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（ ）

A．2

B．22 C．23 D．4

10．[2019·唐山二模]割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ）

A．1

B．15

C．143

D．12

11．[2019·大连模拟]已知抛物线y2?2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边

三角形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则PF?（ ） A．1

B．2

C．22 D．23

12．[2019·唐山二模]已知a?log32，b?log43，c?log0.20.3，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a?b?c B．a?c?b

C．c?a?b

D．b?a?c

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

?13．[2019·黄山质检]若整数?0?x?2．．x，y满足不等式组?x?y?2?0?，则z?y的最小值为_______． ?x?y?2?0x14．[2019·保定期末]元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x?0，则开始时输入的x的值为_______．

15．[2019·南阳一中]已知非零向量a，b满足a?b?a?b则向量a与a+b的夹角为______． 16．[2019·海安中学]已知数列?an?的通项公式是an?2n?1，数列?bn?的通项公式是bn?3n?1， 集合A??a1,a2,,an?，B??b1,b2,,bn?，n?N*，将集合AB中的元素按从小到大的顺序排列构

成的数列记为?cn?，则数列?cn?的前45项和S45?_______．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·桂林一模]如图所示，在平面四边形ABCD中，BC?CD?2，△BCD的面积是2．

（1）求?BCD的大小；

（2）若?ABD?2?ACB?60?，求线段AD的长．

18．（12分）[2019·四川质检]如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?侧面BCC1B1，AC?AB1． （1）求证：平面ABC1?平面AB1C；

（2）若AB?BC?2，?BCC1?60?，求二面角B?AC1?B1的余弦值．

19．（12分）[2019·安庆联考]2018年“双十一”全网销售额达3143.25亿元，相当于全国人均消费225元，同比增长23.8%，监测参与“双十一”狂欢大促销的22家电商平台有天猫、京东、苏宁易购、网易考拉在内的综合性平台，有拼多多等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台．某

2

大学学生社团在本校1000名大一学生中采用男女分层抽样，分别随机调查了若干个男生和60个女生的网购消费情况，制作出男生的频率分布表、直方图（部分）和女生的茎叶图如下：

男生直方图

分组（百元） 男生人数 频率 ?0,1? 1 0.025 ?1,2? 3 0.075 ?2,3? 6 0.150 ?3,4? 12 ?4,5? 0.200 ?5,6? 5 0.125 ?6,7? 4 0.100 ?7,8? 1 0.025 合计 1.000 男生的频率分布表

女生茎叶图

（1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）． （2）若网购为全国人均消费的三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？从抽样数据中网购不足200元的同学中随机抽取2人发放纪念品，则2人都是女生的概率为多少？

（3）用频率估计概率，从全市所有高校大一学生中随机调查5人，求其中“剁手党”人数的分布列

和期望．

20．（12分）[2019·白银联考]设椭圆C:x2y2a2?b2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，下顶

点为A，O为坐标原点，点O到直线AF22的距离为2，△AF1F2为等腰直角三角形． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

．（12分）[2019·新疆诊断]已知函数 f?x??ex21x?a?lnx?x?．

（1）若y?f?x?在x?2处的切线与直线4x?e2y?0垂直，求实数a的值； （2）当0?a?e2时，求证f?x??e2?0．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

??x??2t[2019·常德检测]在平面直角坐标系中，已知曲线C:??2（t为参数），?y?1?2??2tM:x2?y2?4x?0．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线C与圆M的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知射线l:??????0?分别与曲线C及圆M相交于A，B，当????π??0,2??时，

求

S△OMBS的最大值． △OMA

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

[2019·湖南联考]已知函数f?x??x?1?2x?a． （1）设a?1，求不等式f?x??7的解集；

（2）已知a??1，且f?x?的最小值等于3，求实数a的值．

4

绝密 ★ 启用前

2019年高考高三最新信息卷 理科数学答案（十一）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C

【解析】依题意，得B??2mm?A???2,4,8?，所以AB??1,2,4,8?，所以AB的所有元素之和

为1?2?4?8?15．故答案为C． 2．【答案】D

【解析】由z?1?2i??3?i，z?3?i1?2i??3?i??1?2i?1?4i2?5?5i5?1?i，

所以z的共轭复数为1?i，故选D． 3．【答案】A

【解析】角?的终边过点P?1,2?，则cos??xr?15?55， 则sin??π?2????5??cos??5，故选A．

4．【答案】A

【解析】由题意可知e?2ba，即ca?2ba?c?2b?c2?4b2，而b2?c2?a2， 得4a2?3c2?e?233，因此本题选A． 5．【答案】D

【解析】由?an?是等差数列，得a3?a9?2a6，

因为a3?a9?a26?15?0，所以2a6?a26?15?0，a6?5或a6??3， 又aa1n?0，得6?5，所以S11?2?a1?a11??11?11a6?55，故选D．

6．【答案】B

【解析】当m∥n时，若m??，可得n??， 又n??，可知?∥?本题正确选项B． 7．【答案】C

【解析】由图得????2sin?2π?????2，???2π????π???2，????1?3，从而f?x??2sin?xπ???2sin?4π??????1????4π????7π?6?????π?3?6??，

6g?x??2sin??2?π?π??3??x?4???6???2sin??2xπ?2xππ?3?3??，3?3?2?kπ，k?Z，

?k??1，x??π4，故选C．

8．【答案】B

【解析】设切点坐标为?t,2t3?at?a?，y??6x2?a，?6t2?a?2t3?at?a，即4t3?6t2t?1?0，解

得t?0或t??32．

2MA?MB，?y?x?0?y?x??3?0，即2a?6???3?2??2???0，

故a??274，故选B． 9．【答案】C

【解析】如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥P?ABCD截去三棱锥P?ABD后得到的 三棱锥P?BCD．

其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA?底面ABCD，且PA?AB?2，最大面为PBD， S1△PBD?2?BD?4?2?23，故选C．

10．【答案】B

【解析】由题“盈”部分的面积为1ah12?2?2，又△ABC的面积为2ah，

1则该点落在标记“盈”的区域的概率为2?ah12?2?14，故选B． 2ah11．【答案】B

【解析】抛物线的焦点坐标??1??2,0??，

由抛物线的定义可得PF等于P到准线的距离，

因为PF?PQ，Q在准线上，所以PQ与准线垂直与x轴平行， 因为三角形PFQ为正三角形，所以?QFO?π3??PFx?π3， ?y2?2可得直线PF:y?3???x?1?2??，可得?x??1?，?y?3? ??x?2??可得x?32，则y??3，P??3??2,?3??， PF等于P到准线的距离32?12?2，故选B．

12．【答案】B 【解析】

a?c?log1032?log0．20.3?log32?log53?log5?log2232?log553?log32?1?log53?log233?log253?0，故a?c， 4又34?81??333??44???64，故3?44，故log343?log444，即b???，

?44433又??10??34?10103?3?????5?，故?54，故log?0.20.3?log5?log554，即c?，所以b?c，??334

综上a?c?b，故选B．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】12

【解析】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点．由图可知，在点?2,1?处，目标 函数取得最小值为12．

14．【答案】78

【解析】第一次输入x?x，i?1， 执行循环体，x?2x?1，i?2，

执行循环体，x?2?2x?1??1?4x?3，i?3， 执行循环体，x?2?4x?3??1?8x?7，i?4?3，

输出8x?7的值为0，解得x?78，故答案为78． 15．【答案】π6

【解析】对a?b?a?b进行平方，可得a2?b2?a2?b2?2a?b，化简整理得，a2?b2?2a?b， 故a?b??a?b?2?a2?2ab?b2?3a，

?23所以cosa,b?aa?b?2a?a?b?a?a?b?2a3a?3a3a2?2， 又因为a,b??0,π?，所以a,b?π6． 16．【答案】2627

【解析】因为数列?an?的通项公式是an?2n?1， 所以集合A??1,2,4,8,16,32,64,128,?，

随着n增大时，数列?an?中前后连续两项之间的差值越来越大， 故考虑在?an?中的前后连续两项之间插入数列?bn?中相应大小的项， 因为是选取新数列的前45项，

故a1?1，a2?2，数列?bn?中无项可插入，

a2?2，a3?4，数列?bn?中无项可插入，

a3?4，a4?8，数列?bn?中可插入b2?5，增加1项，共5项， a4?8，a5?16，数列?bn?中可插入b4，b5，增加2项，共8项， a5?16，a6?32，数列?bn?中可插入b6?b10，增加5项，共14项， a6?32，a7?64，数列?bn?中可插入b12?b21，增加10项，共25项，

接下来只需再增加?bn?中的20项即可，

也就是?bn?中从b22（含b22）开始的连续的20项， 因为b41?3?41?1?122?128，故终止于b41．

1041则S45?1?2?4?5?8?b4?b5?16??bn?32??nn?6n?21bn?64?12n?b

?22102141?157???3n?1????3n?1????3n?1?

n?6n?12n?22?157?115?485?1870?2627．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）90?；（2）AD?6．

【解析】（1）在△BCD中，BC?CD?2，S1△BCD?2?BC?CD?sin?BCD?2，

解得sin?BCD?1，??BCD?90?．

（2）由BC?CD?2，?BCD?90?，得到?CBD?45?，BD?22， ?ABD?2?ACB?60?，?CBD?45?，??CAB?45?，

在△ABC中，由正弦定理有

BCsin?BAC?ABsin?ACB，即AB?2?sin30?sin45??2，

在△BAD中由余弦定理有：AD2??22?2??2?2?2?22?2cos60??6，

?AD?6．

18．【答案】（1）见解析；（2）77． 【解析】（1）如图，设BC1B1C?G，连接AG．

因为三棱柱的侧面BCC1B1为平行四边形，所以G为B1C的中点， 因为AC?AB1，所以△AB1C为等腰三角形，所以B1C?AG， 又因为AB?侧面BCC1B1，且B1C?平面BCC1B1，所以AB?B1C， 又因为ABAG?A，所以B1C?平面ABC1，

又因为B1C?平面AB1C，所以平面ABC1?平面AB1C．

（2）由（1）知B1C?平面ABC1，所以B1C?BC1，

以G为坐标原点，以GC1的方向为x轴正方向，以GB1的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz．

由B1C?BC1易知四边形BCC1B1为菱形，因为AB?BC?2，?BCC1?60?，所以GB?GC1?1，GC?B1G?3，

则可得G?0,0,0?，C1?1,0,0?，B1?0,3,0?，A??1,0,2?， 所以AC1??2,0,?2?，B1C1??1,?3,0?，

设平面AC?x,y,z?，由???AC1?n?0，得??2x?2z?01B1的法向量n???，?B1C1?n?0??x?3y?0

取z?1，所以n????1,3?3,1??， ??由（1）知GB1??0,3,0?为平面ABC1的法向量， ?0,??3?则cos?GBGBn3,0??1,,1?1,n??1??GB??3???1?7， 1?n3?7773易知二面角B?AC1?B1的余弦值77． 19．【答案】（1）见解析；（2）17；（3）见解析．

【解析】（1）表格数据依次为0.300，8，40，中位数是??0.05??4?0.3???100?383元．

（2）由图表可知样本中消费675元以上的男生有2人，女生有8人，共有10人，样本容量共100人，故该校大一学生中的“剁手党”人数为100人，抽样数据中网购不足200元的同学中男生有4人，女生有3人，随机抽取2人发放纪念品，则2人都是女生的概率为

C231C2?77． （3）全市所有高校大一学生中，为“剁手党”的概率为0.1，故随机调查的5人中“剁手党”人数i5?i的分布列为P?X?i??Ci??1??5?10???9??10???i?0,1,2,3,4,5?，分布表为

X 0 1 2 3 4 5 P 59049328057290810451100000 100000 100000 100000 100000 100000 数学期望为E?X??5?0.1?0.5．

20．【答案】（1）x22?y2?1；

（2）见解析． 【解析】（1）解：由题意可知：直线AFx2的方程为c?y?b?1，即?bx?cy?bc?0， 则bcbc2b2?c2?a?2， 因为△AF1F2为等腰直角三角形，所以b?c， 又a2?b2?c2，可解得a?2，b?1，c?1， 所以椭圆C的标准方程为x22?y2?1．

（2）证明：由（1）知A?0,?1?，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?t?t??1?， x2代入2?y2?1，得?1?2k2?x2?4ktx?2t2?2?0，

所以Δ?16k2t2?4?1?2k2??2t2?2??0，即t2?2k2?1，

设M?xy4kt2t2?21,1?，N?x2,y2?，则x1?x2??1?2k2，x1x2?1?2k2， 因为直线AM与直线AN的斜率之和为2， 所以kyAM?kyAN?1?12?1kx1?t?1kx2?t?1x??? 1x2x1x2

?2k??t?1??x1?x2??t?1??4ktx?2k?1x22t2?2?2，整理得t?1?k，

所以直线l的方程为y?kx?t?kx?1?k?k?x?1??1， 显然直线y?k?x?1??1经过定点?1,1?，

当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x?m，

因为直线AM与直线的斜率之和为2，设M?m,n?，则N?m,?n?， 所以kn?1AM?kAN?m??n?1m?2m?2，解得m?1， 此时直线l的方程为x?1，

显然直线x?1也经过该定点?1,1?， 综上，直线l恒过点?1,1?．

21．【答案】（1）a?0；（2）见证明． 【解析】（1）由f??x??ex?x?1?x?a??1??x?1??ex?ax?2?x?1???x2， 因为y?f?x?在x?2处的切线与直线4x?e2y?0垂直， ?f??2??e2e2?2a4?4，?a?0． （2）由f??x???x?1??ex?ax?x2?x?0?，

设g?x??ex?ax?x?0?，则g??x??ex?a，

?①若0?a?1时，g??x??g??0??1?a?0，

?g?x?在x?0单调递增， 而g?x??g?0??1?0，

?f?x?在?0,1?上递减，在?1,???上递增，

?f?x?min?f?1??e?a?e?1，显然满足f?x??e2?0，

②若1?a?e时，g??x??0?x?lna，

?g?x?在?0,lna?上递减，在?lna,???上递增， ?g?x??g?lna??a?alna?a?1?lna??0，

同①则f?x?min?f?1??e?a?0，也满足f?x??e2?0， ③若e?a?e2时，g??x??0?ex?a，?x?lna??1,2?，

?g?x?在?0,lna?上递减，在?lna,???上递增， ?g?x?min?g?lna??a?1?lna??0，

?g?x?在?0,???上存在两个零点x1，x2，且x1??0,1?，x2??1,???，

f?x?在?0,x1?和?1,x2?上是减函数，在?x1,1?和?x2,???上是增函数， ?f?x?在x1和x2处取得极小值，

由f?xex11??x?a?lnx1?x1??a?a?lnx1?x1?， 1又ex1?ax1，?x1?lna?lnx1，

即lnx1?x1??lna，?f?x1??a?alna?a?1?lna?， 同理f?x2??a?1?lna?，?f?x?min?a?1?lna?， 记h?a??a?1?lna??e?a?e2?，

则h??a???a?alna??1?1?lna??lna?0，

?h?a?min?h?e2??e2?1?2???e2，?e?a?e2时，f?x??e2?a?1?lna??e2?0， 综上所述，0?a?e2时，f?x??e2?0成立．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．【答案】（1）??cos??sin???1，??4cos?；（2）2?22．

【解析】（1）曲线C的普通方程为x?y?1，由普通方程与极坐标方程的互化公式， C的极坐标方程为??cos??sin???1．曲线M的极坐标方程为??4cos?．

（2）因为△OBM与△OAM以点M为顶点时，它们的高相同，即

S△OMBS?OB， △OMAOA由（1）知，OA??1A?sin??cos?，OB??B?4cos?，所以

OBOA?4cos??sin??cos???2sin2??4cos2??2?1?sin2??cos2???2?22sin??π??2??4??，

由0???π2，得π4?2??π4?5π4，所以当2??π4?π2，即??π8时，OAOB有最大值为2?22，

因此

S△OMBS的最大值为2?22． △OMA23．【答案】（1）????2,8?3??；（2）a?2．

【解析】（1）a?1时，f?x??x?1?2x?1．

当x??1时，f?x??7，即为?3x?1?7，解得?2?x??1．

当?1?x?1时，?x?3?7，解得?1?x?1． 当x?1时，3x?1?7，解得1?x?83． 综上，f?x??7的解集为??8???2,3??．

??3x?2a??x??1?（2）a??1，?f?x???1??x?2a?1???1?x?a?， ?3x?2a?1?x?a?由y?f?x?的图象知，

f?x?min?f?a??a?1?3，?a?2．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/20l8.html