10-11数学建模训练题

数学建模训练题

1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。

（1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。

（2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？

2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h.

水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。 下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。

表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 时刻(h) 水位(cm) 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位(cm) // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻(h) 时刻(h) 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位(cm) 866 843 822 // // 1059 1035 1018

3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试根据实际情况进行推广和评价。

4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。

5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，

要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的重m位于球心正下方球面处，如下图：

每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用

C2C1由伞的半径r决定，见下表；绳索费用

由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用r C1 2 65 2.5 170 C3为200元。

3.5 660 4 1000 3 350 降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用的半径r?3m，载重m?300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各个时刻的高度x，见下表。

t(s) 0 3 470 6 425 9 372 12 317 15 264 18 215 21 160 24 108 27 55 30 1 x(m) 500 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。

6、在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒

7、空气通过盛有CO2吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO2的量与CO2的百分浓度及吸收层厚度成正比。今有CO2含量为8％的空气，通过厚度为10cm的吸收层后，其CO2含量为2％。问：

（1）若通过的吸收层厚度为30cm，出口处空气中CO2的含量是多少？ （2）若要使出口处空气中CO2的含量为1％，其吸收层厚度应为多少？

8、已知生产x对汽车挡泥板的成本是C(x)?10?1?x2（美元），每对的售价为5美元。

（1）出售x＋1对比出售x对所产生的利润增长额为

I(x)??R(x?1)?C(x?1)???R(x)?C(x)?

当生产稳定、产量很大时，这个增长额为limI(x)，试求这个极限值；

x???（2）生产了x对汽车挡泥板时，每对的平均成本为很大时，每对的成本大致是lim

C(x)xC(x)x，同样当产品产量

，试求这个极限值。

x???9、有n个电动势为E的电池，每个的内阻为r，将它们以下述方式与已知的外电阻R连接：分成s个并联分支，m是每个分支中串联的数目（如下图）。问m、s的个数分别为多少时才能使R中的有效电功率最大？

m个

电池 R

s组

10、在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经

验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g／10，此处g是重力加速度。

（1）若飞机从x?x0处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点x0所能允许的最小值。

11、一飞机在离地面2km的高度，以每小时200km的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标上方时摄像机转动的速度。

12、肺内压力的增加可以引起咳嗽，而肺内压力的增加伴随着气管半径的缩小。试问：较小半径是促进还是阻碍空气在气管里的流动？

13、如下图所示，在离水面高度为h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸。假定绳

m/s）时，船的速度、长为l米，船位于离岸壁s米处。试问：当收绳速度为v（0加速度各是多少？

14、一个企业有x名技术工人和y名非技术工人，每天可生产的产品产量为

f(x,y)?xy2（件）

现有16名技术工人和32名非技术工人，而经理计划再雇用1名技术工人。试求经理如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？

15、在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d，并且在地面处开了一个高为H的小门。现在要对水塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l（l>d）的水管运到水塔内部。试问水塔的门高H为多少时，才能成功地把水管搬进水塔内？

16、由实验知，某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量A0成正比，即V ＝ k A0（k > 0为比例常数），问经过时间t以后细菌的数量是多少？

已知一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的数据。

天 数 5 10 细菌个数 936 2190 问：（1）开始时细菌个数是多少？

（2）如果继续以现在的速度增长下去，60天后细菌的个数是多少？

17、某杂技团刻意求新，在海滨城市演出时，利用当地靠海的条件，设计了一个惊险节目：在离海边9米的沙滩上，建一个10米高台，高台下5米处放置一个弹性极佳的斜面（如下图），斜面与水平面成450角。演员从高台上团身跳下，经与斜面碰撞后将其弹到海里。不知此方案是否可行。

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