数理统计试题及答案
更新时间:2023-05-05 00:00:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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一、填空题(本题15分,每题3分)
1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10,15的两独立样本均值差~Y X -________;
2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本,若已知0.32)16(201.0=χ,则
}8{16
1
2∑=≥i i X P =________;
3、设总体),(~2σμN X ,若μ和2σ均未知,n 为样本容量,总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ,则λ的值为________;
4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本,对于给定的显着性水平α,已知关于2
σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ,则相应的备择假设1H 为________;
5、设总体),(~2σμN X ,2σ已知,在显着性水平下,检验假设00:μμ≥H ,01:μμ 1、)210(,N ; 2、; 3、n S n t ) 1(2-α; 4、202σσ<; 5、05.0z z -≤。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本,α是未知参数,以下函数是统计量的为( )。 (A ))(321X X X ++α (B )321X X X ++ (C )3211 X X X α (D )231)(31α-∑=i i X 2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,212)(1X X n S i n i n -=∑=,则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为( )。 (A )σμ)-X n ( (B )n S X n )(μ- (C )σ μ)--X n (1 (D )n S X n )(1μ-- 3、设n X X X ,,,21Λ是来自总体的样本,2)(σ=X D 存在, 212 )(11X X n S i n i --=∑=, 则( )。 (A )2S 是2σ的矩估计 (B )2S 是2σ的极大似然估计 (C )2S 是2σ的无偏估计和相合估计 (D )2S 作为2σ的估计其优良性与分布有关 4、设总体),(~),,(~22 2211σμσμN Y N X 相互独立,样本容量分别为21,n n ,样本方差分别为2221,S S ,在显着性水平α下,检验2221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为( )。 (A ) )1,1(122 122 --≥n n F s s α (B ) )1,1(122 12 122 --≥- n n F s s α (C ) )1,1(212 122 --≤n n F s s α (D ) )1,1(212 12 122 --≤- n n F s s α 5、设总体),(~2σμN X ,2 σ已知,μ未知,n x x x ,,,21Λ是来自总体的样本观察值,已 知 μ的置信水平为的置信区间为(, ),则取显着性水平05.0=α时,检验假设0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是( ) 。 (A )不能确定 (B )接受0H (C )拒绝0H (D )条件不足无法检验 1、B ; 2、D ; 3、C ; 4、A ; 5、B. 三、(本题14分) 设随机变量X 的概率密度为:?????<<=其他θ θx x x f 0, 0, 2)(2,其中未知 参数0>θ,n X X ,,1Λ是来自X 的样本,求(1)θ的矩估计;(2)θ的极大似然估计。 解:(1) θθθ32 2)()(0 2 2 ===??∞ +∞-x d x x d x f x X E , 令θ32 )?(==X X E ,得X 23 ?=θ为参数θ的矩估计量。 (2)似然函数为:),,2,1(,022),(1 212n i x x x x L i n i i n n n i i i Λ=<<==∏∏ ==θθθθ, , 而)(θL 是θ的单调减少函数,所以θ的极大似然估计量为},,,max{?21n X X X Λ=θ。 四、(本题14分)设总体),0(~2σN X ,且1021,x x x Λ是样本观察值,样本方差22=s , (1)求2 σ的置信水平为的置信区间;(2)已知)1(~2 2 2 χσX Y = ,求??? ? ??32σX D 的置信水平为的置信区间;(70.2)9(2975.0=χ,023.19)9(2 025.0=χ) 。 解: (1)2 σ的置信水平为的置信区间为??? ? ??)9(18,)9(182975.02025.0χχ,即为(, ); (2)???? ??32σX D =22 2 2222)]1([11σχσσσ==??? ? ??D X D ; 由于2322σσ=???? ??X D 是2σ的单调减少函数,置信区间为??? ? ??222,2σσ, 即为(,)。 五、(本题10分)设总体X 服从参数为θ的指数分布,其中0>θ未知,n X X ,,1Λ为取自总体X 的样本, 若已知)2(~221n X U n i i χθ∑==,求: (1)θ的置信水平为α-1的单侧置信下限; (2)某种元件的寿命(单位:h )服从上述指数分布,现从中抽得容量为16的样本,测得样本均值为5010(h ),试求元件的平均寿命的置信水平为的单侧置信下限。)585.42)32(,985.44)31((210.0205.0==χχ。 解:(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=?? ????????>∴-=?????? 2(22n X n αχθ=;(2)706.3764585.425010162=??=θ。 六、(本题14分)某工厂正常生产时,排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ,今阶段性抽取10个水样,测得平均浓度为(mg/L ),标准差为(mg/L ),问该工厂生产是否正常 (220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====) 解:(1)检验假设H 0:σ2=1,H 1:σ2≠1; 取统计量:202 2)1(σχs n -=; 拒绝域为:χ2≤)9()1(2975.02 21χχα =--n =或χ2≥2025.022 )1(χχα=-n =, 经计算:96.121 2.19)1(2202 2=?=-=σχs n ,由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2, 故接受H 0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 (2)检验假设101010≠'='μμ:,:H H ; 取统计量:10/10S X t -=~ )9(2 αt ; 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ;1028.210/2.110 8.10=-=t Θ< ,所以接受0 H ', 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L )。 综上,认为工厂生产正常。 七、(本题10分)设4321,,,X X X X 为取自总体)4,(~2μN X 的样本,对假设检验问题 5:,5:10≠=μμH H , (1)在显着性水平下求拒绝域;(2)若μ=6,求上述检验所犯的第二类错误的概率β。 解:(1) 拒绝域为96.12 54/45 025.0=≥-=-=z x x z ; (2)由(1)解得接受域为(,),当μ=6时,接受0H 的概率为 921.02608.12692.8}92.808.1{=?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=<<=X P β。 八、(本题8分)设随机变量X 服从自由度为),(n m 的F 分布,(1)证明:随机变量X 1服从 自由度为),(m n 的F 分布;(2)若n m =,且05.0}{=>αX P ,求}1{α> X P 的值。 证明:因为),(~n m F X ,由F 分布的定义可令n V m U X //= ,其中)(~),(~22n V m U χχ,U 与V 相互独立,所以),(~//1m n F m U n V X =。 当n m =时,X 与X 1服从自由度为),(n n 的F 分布,故有=>}{αX P }1{α >X P , 从而 95.005.01}{1}1{1}1{}1{=-=>-=>-=<=>ααααX P X P X P X P 。
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