数学基础

数学基础

许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算。矢量的代数描述及其运算将利用矩阵这个工具。在许多科技著作中并不区分矢量与矩阵的概念。然而，在理论力学中这两种数学量必须加以区分。为此本章简要介绍本课程将要涉及到的有关内容，涉及 (1)几何矢量及其导数，相应的运算；

(2)矢量及其导数代数描述，它们的矩阵表达，相应的运算。 本章内容及学习要求：

要求 必修 必修 节 小节 知识点 1.1矩阵 1.1.1矩阵的定矩阵的基本概念，矩阵的运算 义与运算 1.1.2矩阵的导矩阵导数的定义及其计算 数 1.2矢量 1.2.1矢量,矢几何矢量的概念与运算，矢量基的概念及其矢量列阵的描必量基与基矢量 述，矢量基的运算 修 1.2.2矢量的代矢量(矢径)的分量,坐标阵与坐标方阵的概念，几何矢量的必数描述 运算与坐标阵运算的关系，矢量与矢径的关系 修 1.2.3矢量的导矢量对时间的导数的定义，矢量在某基上对时间导数的定必数 义及其计算，几何矢量导数运算与坐标阵及其导数运算的修 关系 1.3方向余 弦阵 1.4平面矢 量 1.1 矩阵

1.1.1 矩阵的定义与运算 (1)矩阵的基本概念

方向余弦阵的基本概念, 方向余弦阵的性质 必修 平面矢量及其代数描述，平面矢量的运算与坐标阵运算间必的关系，平面问题的方向余弦阵的性质及其运算 修 矩阵(列阵)的定义, 矩阵的转置，矩阵用列阵分块表示。 方阵，单位阵，对称阵与反对称阵。

如果对于 n 阶方阵A ，其元素满足 Aij=Aji (i, j = 1, ? , n)，即有 则称方阵A为对称阵。

如果 Aij=－Aji (i, j = 1, …, n)，即有

则称方阵A为反对称阵。显然，对于反对称阵，有

例如，在如下的方阵中

(i=1, …, n)

(1.1-5) (1.1-4)

，，

方阵A与C为对称阵，B为反对称阵。此外，C也为三阶单位阵，可表为I3。 (2)矩阵的基本运算

两矩阵相等，矩阵与矩阵的相加（减），标量与矩阵的乘积；矩阵与矩阵的乘积。 (3)矩阵运算的性质 矩阵运算的结合律与交换律 (4)矩阵的可逆运算

满秩方阵(非奇异阵)与逆矩阵，正交阵，一些有用的公式 满秩方阵(非奇异阵)与逆矩阵

对于方阵A，如果存在一个同阶的方阵B，两方阵的积为单位阵，即有

则称方阵A为满秩方阵或非奇异阵。 方阵B为方阵A的逆矩阵，记为 A 。即有

可以证明以下等式成立

(1.1-20)

正交阵

(1.1-21) (1.1-19)

-1

满足如下等式的非奇异阵 A 称为正交阵：

对于正交阵，有

例如，矩阵

(1.1-23) (1.1-22)

，

互为逆矩阵，因为一些有用的公式 矩阵与单位阵的运算：矩阵的转置运算：矩阵的可逆运算：

。考虑到

，故它们又是互为正交阵。

矩阵的转置与可逆运算：

1.1.2 矩阵的导数 (1)矩阵对时间的导数

矩阵时间导数的定义，矩阵时间导数的基本运算 矩阵时间导数的定义

矩阵的元素如果为时间t 的函数，记为Aij(t)，该矩阵记为A(t)。它对时间的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数，即

(1.1-24)

为了书写简洁，标量对时间的导数，用该标量的字母上加一点表示，即上式可简写为

(1.1-24')

(1.1-25)

(1.1-26)

(1.1-27)

(2)矩阵对变量的偏导数

多变量函数关于变量偏导数的矩阵表达。

元素为多变量函数的列阵关于变量偏导数的矩阵表达。 元素为多变量函数的列阵关于变量偏导数的矩阵表达

令m 阶列阵?，其元素?i (i=1,…,m)为变量阵q的函数，即有

列阵?对变量阵q的偏导数记为标，定义该偏导数

，或简写为

。用 i 表示行下标，用 j 表示列下

为 m×n 阶矩阵，且：

(1.1-30

)

1.2 矢量

1.2.1 矢量、矢量基与基矢量 (1)几何矢量定义

矢量 是一个具有方向与大小的量。它的大小称为模，记为量称为单位矢量。模为0的矢量称为零矢量，记为。

，或简写为a。模为 1的矢

矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模，箭头在某一空间的指向为它的方向。利用这种方式描述的矢量又称为几何矢量。 (2) 几何矢量的运算 矢量的和(平行四边形法则)

(a)

图1-1 几何矢量运算

(b)

两矢量 与 的和为一个矢量，记为 ，即

(1.2-3)

它与两矢量 与 的关系遵循如图1-1a的平行四边形法则 矢量的点积(标积)

两矢量 与 的点积(或称为标积)为一个标量，记为?，它的大小为

(1.2-6)

其中? 为两矢量与 的夹角。如果已知两矢量的点积，可以由上式计算两矢量夹角，即

特殊情况，简写为

。

，此时? =0，有，即矢量自身的点积为其模的平方。有时也

矢量的叉积(矢积)

两矢量 与 的叉积(或称为矢积)为一个矢量，记为 ，即

(1.2-8)

它的方向垂直于两矢量 与 构成的平面，且三矢量 、、 的正向依次遵循右手法则(见图1-1b)。定义矢量 的模为

(1.2-9)

其中? 为两矢量 与 的夹角。

(3)几何矢量的运算性质 加法运算遵循结合律与交换律

矢量的和运算遵循结合律与交换律，即有

结合律：交换律：

(1.2-4) (1.2-5)

矢量的点积的交换律 矢量的点积有交换律，即

(1.2-7)

矢量的叉积无交换律 矢量的叉积无交换律，但有

矢量的点积与叉积的分配律 矢量的点积与叉积有分配律，即

(1.2-10)

(4)一些有用的公式

由矢量的基本运算可以得到如下常用的较复杂的运算关系式：

(1.2-11) (1.2-12)

(1.2-13) (1.2-14)

式(1.2-13)左边称为三矢量的两重叉积，式(1.2-14)左边称为三矢量的混合积。 (5)矢量基(简称基)

矢量基的定义与基矢量的右旋正交性

图1-2 矢量基与基矢量

矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采用比较多的是矢量的代数表达方法。为此首先需要构成一个参考空间，即用过点O 的三个正交的单位矢量

依次按右手法则(见图

1-2)构成一个坐标系，称之为矢量基(简称基)。点O 称为该矢量基的基点。这三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量。根据三个基矢量的正交性，有如下的关系式

其中，??? 称为克罗内克(L. Kronecker )符号，即

(1.2-15) (1.2-16)

(1.2-17)

(?, ?=1,2,3)

而 ???? 称为李奇 (Ricci) 符号，即

(?, ?, ? =1, 2, 3，且 )

(1.2-18)

基的矢量列阵的表达，矢量列阵的运算

将基矢量 构成一个矢量列阵，即

（1.2-19）

它来表示这个矢量基。对于不同的基，在上加上标进行区分。例，基基b与基r，即

与基分别表示

,

矢量列阵是标量列阵的拓展。矢量阵运算的定义在形式上与一般的矩阵运算定义一致，只是在运算中将一个矢量作为一个标量元素处理。例如对于矢量阵与矢量，以下算式成立： 矢量与矢量阵的点积运算：

（1.2-20）

，

矢量与矢量阵的叉积运算：

（1.2-21）

矢量阵与矢量阵的点积运算：

（1.2-22）

矢量阵与矢量阵的叉积运算：

（1.2-23）

需要注意的是以上的算式中点积与叉积的运算符不能遗漏，对于叉积运算的次序不能交换。 考虑到3个基矢量的归一性和右旋正交性，（1.2-22）与（1.2-23）分别可化简为

（1.2-24）

（1.2-25）

1.2.2 矢量的代数描述

(1) 矢量在某基下的代数表达、坐标阵与坐标方阵

图1-3 矢量在基上的分矢量与坐标

在某个矢量基上，根据矢量和的定义，任意矢量可通过如图1-3所示三个矢量的和表示，其矢量运算表达式为

其中

、

与

（1.2-26）

分别为与基矢量方向一致的三个矢量，称它们为矢量在相应基矢量

上的三个分矢量，或简称为分量。三个标量系数 a1, a2, a3 分别称为矢量在三个基矢量上的坐标。它们分别为三个分矢量的模。这三个坐标构成一个标量列阵称为矢量在该矢量基上的坐标阵，记为

（1.2-27）

三个坐标还可定义一个反对称方阵，记为

（1.2-28）

称此方阵为矢量在该矢量基上的坐标方阵。不难验证，此坐标方阵成立

（1.2-29）

(2) 矢量坐标阵的矩阵表达形式 利用矩阵乘的运算形式，有

据此，表达式

可写成矢量 的坐标阵与基的矩阵积，即

不难验证矢量的坐标阵a有如下的表达式

(1.2-30)

(1.2-31)

因此，矢量的坐标阵a可简写为

(1.2-31')

应该指出，根据定义矢量在几何上是一客观存在的量，与矢量基的选取无关。而矢量的坐标阵与矢量基有关。例如，有两个不同的矢量基记为

与

(见图1-5)。有

与

。矢量在这两个基上的坐标阵分别

图1-5 同一个矢量在不同基上的坐标阵

或

(3) 矢径的定义；矢量与矢径间的关系

(1.2-32') (1.2-32)

图1-4 矢径的分量与坐标

起点在基点O指向空间点P的矢量，称为点P的矢径，记为个坐标分别为r1, r2, r3，由图1-4可知，矢径标，即

。如果空间点P在基上的三

坐标阵的三个元素就是空间点P的三个坐

特殊情况，基矢量、与在其的基下的坐标阵分别为

，，

(4)几何矢量的运算与在同一个基下的坐标阵运算间的关系。

首先令矢量、与在基下的坐标阵分别记为a，b与c。由矢量的矩阵表达式，有

则由两矢量相等得到

(1.2-33) (1.2-34) (1.2-35)

可见相等的两矢量 与 的在同一个基上的坐标阵相等，即 a = b ；反之亦然。 将矢量的矩阵表达式分别代入矢量的数乘公式、矢量相加公式、矢量点积公式和矢量叉积公式，得到相应的矩阵运算公式

，

即

，

上述各表达式的左边为一些矢量的基本运算，各表达式的最右边为这些基本运算在同一基下对应的坐标阵运算式。现列于表1.2-1中。根据表1.2-1读者可很容易写出较复杂的矢量运算对应的坐标阵运算式。

矢量运算式

1.2.3 矢量的导数

(1) 矢量对时间导数的定义，矢量在某基下对时间导数的定义

坐标阵运算式

图1-6 矢量对时间的导数

上节已经提到，矢量是一与参考基无关的数学量，故它随时间的变化也与参考基无关。如图1-6所示，在时刻t，该矢量的大小与方向为

，到时刻t+?t，该矢量的大小与方向为

，且

，定义矢量在时刻t对时间的导数是另一个矢量，记为

(1.2-36)

从几何上考察或进行矢量导数的运算极不方便。下面将讨论矢量导数与其坐标阵导数的关系。

尽管矢量对时间的导数与参考基无关，但在不同的参考基上考察同一个矢量的变化，其结果将不同。现在某一参考基的导数。 在基

上考察一个矢量。定义

为矢量在参考基

上对时间

上考察它自身的三个基矢量(i=1,2,3)，显然在该基上它们不随时间变化，有

(i=1,2,3)

(1.2-37)

将矩阵对时间导数的表达式推广到矢量阵，故上式可简写为如下矩阵表达式：

(1.2-37')

由矢量的矩阵表达式，有

同理，

(1.2-38

)

(1.2-38')

由此可得到如下结论，矢量在基量在基

上对时间的导数为一矢量，它在该基的坐标阵等于矢

的坐标阵对时间的导数。

显然，对于标量?，对时间求导的左上标 r 无意义，即果所定义的参考基

。对于矢量求导，如

为公认或在约定的情况下，为了书写方便有时矢量求导的表达式也作

如下的简写，即。应该注意识别。

(2) 在某基下矢量导数的运算与其坐标阵导数运算间的关系

由矢量对时间导数的定义与矩阵对时间导数的公式，不难得到一些矢量运算在某基下对时间导数的矢量运算式，现列于表1.2-2的左列。根据矢量在某基下对时间的导数式，

表1.2-2 矢量对时间导数运算与同一基下坐标阵运算的关系

矢量运算式 坐标阵运算式 或

表1.2-2左列的矢量运算式对应的坐标运算式为表1.2-2右列所示。例如，对于表1.2-2第一行的左列，其左边可表为

其右边为

将以上两式代入表1.2-2第一行的左列，考虑到同一基下坐标阵相等，可得到相应的矩阵式如表1.2-2第一行的右列。读者不难类似推导表中后3行的对应关系。表中最后一行的推导，用到了如下关系式，读者不难给予证明。

（1.2-39）

对于例1.2-5 的矢量，可以理解为三个矢量相加，该例也可

利用表1.2-2的第二行的关系求解。即直接对矢量求导，有

1.3 方向余弦阵

1.3.1两矢量基方向余弦阵的定义

如前所述，矢量的坐标阵与矢量基有关。对于两个不同的矢量基

rb与，同一个矢量分

别有两个坐标阵a与a，它们之间应存在一定的关系。在讨论此关系前，需先引入方向余弦阵的概念。

对于两个不同的矢量基与，即

(1.3-1)

定义以下 3×3 方阵为基相对于基的方向余弦阵：

(1.3-2)

如果所定义的参考基

b为公认或在约定的情况下，基相对于基的方向余弦阵A有时可

rb简写为A或A。展开式(1.3-2)有

(1.3-3

)

可见方向余弦阵的元素为两个基的基矢量的点积，又由矢量的点积公式，这些点积为单位矢

rb量夹角的余弦，这也就是将矩阵A称为方向余弦阵的原因。 1.3.2方向余弦阵元素与两矢量基基矢量坐标阵间的关系 根据矢量坐标阵公式

由式

不难看出，方向余弦阵的三行构成的列阵量

(i=1,2,3)在

的坐标阵。即有

(i=1,2,3)依次为基的基矢

(1.3-4)

(i=1,2,3)

式(1.3-4)的3个关系可用如下矩阵式表示：

对照方向余弦阵的定义，得到

(1.3-4')

同理，方向余弦阵的其三列(j=1,2,3)在

上的坐标阵。有

(j=1,2,3)依次为基的基矢量

(1.3-5)

(i=1,2,3)

上式可简写为

rb(1.3-5')

方向余弦A的上述关系可用图1-7所示的表来理解。在已知某基的基矢量在另一基的坐标阵的情况下，可直接按图写出两基的方向余弦阵。

图1-7 方向余弦阵A元素的几何意义

1.3.3方向余弦阵元素间几何约束方程

rb既然

得到如下15个关系式：

(j=1,2,3)为基矢量在上的坐标阵，则由基矢量的性质，可

(j=1,2,3)

(1.3-6) (1.3-7a

) (1.3-7b

) (1.3-7c

) (1.3-8a

)

(1.3-8b

)

(1.3-8c

)

由于式(1.3-7)的3个方程描述三个基矢量正交，式(1.3-8) 的9个方程表示三个基矢量依次右旋正交。后9个方程可由前3个方程得到，故这12个式子只有3个独立，加上(1.3-6)的3个方程，这样方向余弦阵中的9个量需满足6个独立的方程，称为方向余弦阵元素的几何约束方程。由此可知，9个方向余弦矩阵的元素中只有3个是独立的。 1.3.4方向余弦阵的一些性质 方向余弦阵有如下一些性质：

(1) 基相对于基的方向余弦阵A和基

rb相对于基的方向余弦阵A互为转置。

br

(1.3-9)

(2) 当两个基的基矢量的两两方向一致，则它们的方向余弦阵为三阶单位阵。

(1.3-10)

(3) 若有三个基、与，其中 相对于 和相对于 的方向余弦阵分别为

Ars 与 Asb ，有

(1.3-11)

事实上，由矢量基的变换公式，有

读者可根据上标的排列记住上述关系。此关系可推广到有限个基的方向余弦阵转换。 (4) 方向余弦阵是一正交阵。

事实上，作为式(1.3-11)特殊情况，考虑到式(1.3-9)与(1.3-10)，有

故有本性质，即

(1.3-12)

(5) 不同基下矢量坐标阵间的关系式为

(1.3-13)

事实上，对于矢量 a ，由式

有

根据方向余弦矩阵定义即可得式(1.3-13)。 (6) 不同基下矢量坐标方阵间的关系式为

(1.3-14)

请读者注意坐标阵与坐标方阵变换式(1.3-13)与(1.3-14)的差别。事实上，如果引入任意矢量，考虑到表1.2-1与上式，矢量式

在基

与

下的坐标式分别可表为

，

由式(1.3-13)，，将以上两式代入，经整理有

考虑到矢量的任意性，两边乘A，考虑到性质(4)即可得式(1.3-14)。

rb(7) 方向余弦阵的行列式等于1，即

(1.3-15)

事实上，考虑到与表1.2-1， 有

(j=1,2,3)为基矢量在上的坐标阵，由行列式定义

由行列式定义

由表1.2-1，上式可表为

又考虑到

1.4 平面矢量

，代入上式可得(1.3-15)。

1.4.1二维矢量基与平面矢量的定义

在理论力学中经常遇到这样一类问题，即矢量及其变化过程均在某一参考平面内。为了表达简洁起见，引入平面矢量的概念。

图1-8 平面矢量

定义一参考平面，用一个二维的矢量基描述，即，其中与为基矢量，基点为

O(见图1-8)。该参考平面的法线方向记为。参考平面内任意矢量和任意点P的矢径均

为该平面内的矢量，称为平面矢量。

1.4.2平面矢量的坐标阵，平面矢量运算与坐标阵运算间的关系

平面矢量可认为是空间矢量的特殊情况，即平面矢量的z分量始终为零。定义平面矢量在二维参考基的坐标阵

，任意矢量可表示为

(1.4-1)

任意点P矢径在参考基的二维坐标阵为坐标。基矢量与的坐标阵分别为

与

。其元素点P在二维的矢量基上的。

令任意两个平面矢量与，它们的坐标阵分别为a =(ax ay)与b =(bx by)，如下平面矢量运算和对应的同一基下的二阶矩阵的运算成立：

(1.4-2) (1.4-3) (1.4-4)

TT

其中? 为一标量，为平面矢量。

根据式(1.4-3)，任意一个平面矢量与矢径和的关系可表为

1.4.3两平面矢量的叉积和平面法矢量与平面矢量叉积的特殊性

然而，对于任意两个平面矢量与叉积，按定义（见图1.1b），它始终是一个垂直参考平面的矢量，即有

其模为。引入一个特殊的符号

(1.4-5)

矢量的模可表为

(1.4-6)

这样任意两个平面矢量与叉积可表为

(1.4-7)

图1-9 矢量与的关系

考虑法矢量与平面矢量的叉积，记为模与矢量相同，方向垂直于矢量，故有

(见图1-9)。按定义它是一平面矢量，其

(1.4-8) (1.4-9)

考虑到式(1.4-1)与基矢量的正交性，矢量也可表为

将矢量的模记为，利用式(1.4-5)，可得矢量与的坐标阵间的关系为

1.4.4二维矢量基间的方向余弦阵

(1.4-10)

图1-10 两平面基的关系

如图1-10所示，如果在参考平面上有两个基

，

相对于基

的方向

基点分别为O与C。两基的第三个基矢量均为平面的法单位矢量。基余弦阵可用一个2×2的标量阵来描述

其中列阵a1=(A11 A21)与a2=(A12 A22)分别为基矢量转置b1=(A11 A12)与b2=(A21 A22)分别为基矢量图1-11来记忆。如果定义角?为参考基

T

T

T

T

与在参考基的坐标阵。而行阵的

与在参考基与基

的坐标阵。上述关系可用

的夹角，且以绕

的基矢量的基矢量

的正向转动为正(见图1-10)，则两基的方向余弦阵为

图1-11 方向余弦阵Arb元素的几何意义

(1.4-12)

上式对时间求导，利用式(1.4-5)，有

(1.4-13)

1.4.5方阵的应用

由以上的公式推导可见，2×2阶矩阵在描述平面运动的矩阵表达式中很有用。不难验证，此矩阵有如下性质

读者不难验证，方阵与方向余弦阵的乘积有如下的性质

(1.4-11)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1zv6.html