2014全国名校数学试题分类解析汇编(3)：D单元 数列

D单元 数列

目录

D单元 数列 ................................................................................................................................... 1 D1 数列的概念与简单表示法 ...................................................................................................... 1 D2 等差数列及等差数列前n项和 .............................................................................................. 3 D3 等比数列及等比数列前n项和 ............................................................................................ 13 D4 数列求和 ................................................................................................................................ 26 D5 单元综合 ................................................................................................................................ 34

D1 数列的概念与简单表示法

【数学理卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D11、若数列

{an}的前n项和Sn?n2?1,则a4? ( )

A.7 B.8 C.9 D.17 【知识点】数列的前n项和

【答案解析】A解析：因为a4?S4?S3?16?1??9?1??7，所以选A

【思路点拨】由数列的前n项和公式求数列的项可利用前n项和的含义进行解答.

【数学理卷·2015届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试（201407）】M3D119. 数列?an?中，

a1?1，且

1an?1?1an（n?N?）. ?2n?1，

(Ⅰ) 求a2,a3,a4;

(Ⅱ) 猜想数列?an?的通项公式并用数学归纳法证明. 【知识点】数列的递推公式;数学归纳法. 【答案解析】(Ⅰ) a2?1111,a3?,a4?；(Ⅱ) an?2 4916n解析 ：解：（Ⅰ）因为a1?1，且

1an?1?1an?2n?1，

∴把n=1,2,3代入求出a2?（Ⅱ）猜想an=111,a3?,a4?； 49161，（n?N?） 2n证明：①当n=1时，左边a1?1，右边为1，猜测成立； ②假设当n=k（n?N?）时有ak=则当n=k+1时，1成立 k211=-+2k+1=-k+2k+1=k+1，

ak+1ak∴ak+1=1(k+1)2．故猜测也成立． 由①②可得对一切n?N?，数列?an?的通项公式为an=1（n?N?） 2n【思路点拨】（Ⅰ）由题意可得，由a1的值，可求得a2，再由a2的值求a3，再由

a3的值求出a4的值．（Ⅱ）猜想an=1，检验n=1时等式成立，假设n=k时命n2题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

【数学理卷·2015届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试（201407）】D111. 观察下列数的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是

A．10 B. 13 C. 14 D.100

【知识点】数列的概念及简单表示法；以及数列的应用.

【答案解析】C解析：解：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，?的特点是1有1个，2有2个，3有3个，?n有n个 则数列一共有n(n+1)n(n+1)<100，解得n￡13， 项，22当n=13时，数列一共有91项，而当n=14时，有14项，则第100项为14

故选C．

【思路点拨】数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，?，的特点是1有1个，2有2个，3有3个，?n有n个，当n=13时，数列一共有91项，而当n=14时有14项，从而得到结论．

【数学文卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值为( )． A．4

B．8

C．15

D．31

【知识点】递推公式的应用.

a4?2?7?1?15【答案解析】C解析 ：解：由已知得a2?2?1?1?3,a3?2?3?1?7,

【思路点拨】利用递推公式依次写出数列的项.

D2 等差数列及等差数列前n项和

【数学（理）卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试（201408）】D2C714．设Sn是各项均为非零实数的等差数列?an?的前n项和，且满足条件a1?a10?4，则S9的最大值

22为 。

【知识点】等差数列的通项公式、性质、前n项和公式；三角换元,三角函数的最值.

q，a10=rsinq，所【答案解析】241解析 ：解：由a1?a10?4，可设a1=rcossinq-rcosq， 以r￡2．设?an?的公差为d，则a10-a1=9d=r所以d=22rsinq-rcosqrsinq-rcosqq-，所以a9=a10-d=rsin，

99rsinq-rcosq9(rcosq+rsinq-)r10cosq+8sinq9(a1+a9)) 9S9===(222?10cosq8sinq=241sin(q+j) 241,

所以S9的最大值为241,故答案为241。

【思路点拨】由a1?a10?4，可设a1=rcosq，a10=rsinq，代入求和公式，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．

【数学（文）卷·2015届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试（201408）】L1D23．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是 ( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【知识点】程序框图，等差数列的前n项和公式.

【答案解析】C解析 ：解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，

执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9；

开始 22p＝1，n＝1 n＝n＋1 p=p+2n?1 p>20 ? 是 输出n 结束 否

判断9＞20不成立，

执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …

由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和， 由p=(1+2n-1)n=n22>20，且n∈N*，得n=5．

故选C．

【思路点拨】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于20时，输出n的值．

【数学（文）卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试（201408）】D212．在等差数列?an?中，a2?6,a5?15,bn?a2n，则数列?bn?的前5项和S5= 。 【知识点】等差数列的通项公式以及前n项和公式.

【答案解析】90解析 ：解：设?an?的公差为d，首项为a1，由题意得

ìì?a1＝3?a1+d＝6，解得；∴an=3n，∴bn=a2n=6n，且b1=6，公差为6， íí15???d＝3?a1+4d＝∴S5=5?65′4?690．故答案为：90 2【思路点拨】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得an，进而得到bn，然后利用前n项和公式求解即可．

2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(本【数学理卷·（201407）】D2D3D421、

题满分12分)

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a3?6,且a1,a2,a4成等比数列，数列{bn}满足

bn?1?2bn?1,n?N*，且b1?3 （1）求数列{an}和{bn}的通项公式

（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，且cn?【知识点】等差数列、等比数列、数列求和 【答案解析】（1）an?2n,bn?2n?1?1；（2）略

11，证明：Sn?

2an?log2(bn?1)??a1?2?a1?2d?6解析：(1)设等差数列的公差为d，由已知得?，解得?，所以2d?2a?d?aa?3d?1?1?????1

an?2??n?1??2?2n；由bn?1?2bn?1,n?N*得bn?1?1?2?bn?1?，又

b1?1?4，所以bn?1?4?2n?1,bn?2n?1?1；

(2)因为cn?11?11?1=????，则

an?log2(bn?1)2n?n?1?2?nn?1?1?111Sn??1????2?22311?1?1?1???1?????2. nn?1?2?n?1?【思路点拨】由递推公式求数列的通项公式可考虑构造特殊数列-等比数列或等差数列求解；证明与和有关的不等式能求和的可先求和再进行证明.

【数学理卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D27、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1??11,a4?a6??6，则当Sn取最小值时，n等于（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【知识点】等差数列

【答案解析】A解析：由a4?a6?2a5??6得a5??3，则公差为

?3?11?2，所以由5?1an??11??n?1??2?2n?13?0得n?6，所以前6项和最小，选A.

【思路点拨】判断等差数列的前n项和的最值，若已知通项公式可利用通项公式找出正项与负项的分界线判断，若已知前n项和公式，可利用二次函数的图象和性质进行判断.

【数学理卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D213．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________. 【知识点】等差数列的前n项和公式.

【答案解析】10 解析 ：解：∵等差数列{an}前9项的和等于前4项的和 ∴9+36d=4+6d,∴d=-121,又∵ak+a4=0 6∴1+k-1d+1+3d=0∴k=10,故答案为：10.

【思路点拨】先根据“等差数列{an}前9项的和等于前4项的和”求得公差，再由

()ak+a4=0求得结果．

【数学理卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D23．已知x?0、

2?a?b?则的最小值是( y?0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，

cd )

A．0 B．1 C．2 D．4 【知识点】等差数列和等比数列的性质;均值不等式.

【答案解析】D解析 ：解：∵x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列， 根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，

(a+b)∴cd2x+y)=(xy22xy)(?xy24.当且仅当x=y时取“=”，故选D．

【思路点拨】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可．

【数学理卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】C2D2D32．已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC是( ) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【知识点】三角形的形状判断;余弦定理;等差数列与等比数列的概念及其应用. 【答案解析】A解析 ：解：∵△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，

00∴A+C=2B，又A+B+C=180，∴B=60．

2又a，b，c成等比数列，∴b=ac，

222220在△ABC中，由余弦定理得：b=a+c-2accosB=a+c-2accos60， 220∴a+c-2accos60=ac，∴a-c()2=0，∴a=c，

0∴A=C，又B=60，∴△ABC为等边三角形．故选A．

0222【思路点拨】依题意，可知B=60，利用余弦定理b=a+c-2accosB结合边a，

b，c依次成等比数列即可判断△ABC的形状．

【数学理卷·2015届河北省唐山一中高二下学期期末考试（201407）】D2C418．（本小题满

分12分）已知等差列{an}的前n项和为Sn,a1?1,S3?9 （1）求数列 {an}的通项公式：

（2）若函数f(x)?Asin(2x??)(A?0,0????)在x?

为a2，求函数f(x)的解析式。

?6

处取得最大值，且最大值

【知识点】等差数列的通项公式; y=Asin(2x+j)的解析式的求法. 【答案解析】(1) an?2n?1（2）f?x??3sin?2x?????? 6?a1?1?解析 ：解：（1）设等差数列的公差为d,依题意知? 解得d=2, …3分

s?a?3d?91?3所以an?2n?1。………5分

（2）由（1）知，最大值a2?3，所以A=3，………7分 因为在x??6处取得最大值，所以2??6????2?2k?,k?Z，………9分

又0????,所以???6。……… 10分

所以函数的解析式为f?x??3sin?2x??????。……12分 6?【思路点拨】(1) 设出等差数列的公差d，然后由a1=1,S3=9列式求解d，则数列{an}的通项公式可求；（2）求出a2的值，即A的值，再由在x?

?6处取得最大值结合j的范围求j，则函数f(x)的解析式可求．

【数学理卷·2014届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试（201405）】D26. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4?18?a5,则S8= （ ） A．18 B．36 C．54 D．72 【知识点】等差数列的性质．

\\a4+a5=18， 【答案解析】D解析 ：解：在等差数列{an}中，∵a4=18﹣a5，=4（a4+a5）=72,故选：A 则S8=4（a1+a8）【思路点拨】根据已知中a4=18﹣a5，我们易得a4+a5=18，根据等差数列前n项和公式，我们易得S8=4（a1+a8），结合等差数列的性质即可得到答案．

【数学文卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D26、已知等

差数列{an}的前n项和为Sn，若a1??11,a4?a6??6，则当Sn取最小值时，n等于（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【知识点】等差数列

【答案解析】A解析：由a4?a6?2a5??6得a5??3，则公差为

?3?11?2，所以由5?1an??11??n?1??2?2n?13?0得n?6，所以前6项和最小，选A.

【思路点拨】判断等差数列的前n项和的最值，若已知通项公式可利用通项公式找出正项与负项的分界线判断，若已知前n项和公式，可利用二次函数的图象和性质进行判断.

【数学文卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D4D219.(此题8分) 设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知a1??2,S7?7，

（1）求数列?an?的通项公式； （2）Tn为数列?12?Sn??的前n项和，求Tn． n??129n-n 4412【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【答案解析】（1）an=n-3（2）Tn=解析 ：解：（1）设等差数列?an?的公差为d，则Sn=na1+nn-1d，∵S7=7，

()（2）+∴7=7?7′6d，解得d=1 2∴an=-2+n-1?1n-3， ∴数列{an}的通项公式为an=n-3

()Sn11n-5=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=， n222SS1∵ n+1-n=， n+1n2（2）∴数列?1?Sn?是等差数列，其首项为-2，公差为， ?2?n?∴Tn=n?(2)+n(n-1)1?22129n-n． 44【思路点拨】（1）由{an}为等差数列，a1??2,S7?7可求得其公差，从而可得数列?an?的通项公式；（2）由（1）知an=n-3，于是可求得Snn-5=，利用等差n2

数列的定义易证明数列?前n项和Tn．

1?Sn??是等差数列，其首项为-2，公差为，从而可求其2?n?【数学文卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D21．在等差数列3，7，11，?中，第5项为( )．

A．15

B．18

C．19

D．23

【知识点】等差数列定义及通项公式.

【答案解析】C解析 ：解：因为公差d=4，首项为3，所以通项an?4n?1，所以a5?19 【思路点拨】根据等差数列定义及通项公式求得第5项.

【数学文卷·2015届河北省唐山一中高二下学期期末考试（201407）】D2D319.（本小题满分12分）

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55. (1)求an和bn；

(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

【知识点】等差数列与等比数列的综合;列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

2－

【答案解析】(1) an＝n，bn＝2n1. (2) P＝ 9

解析 ：解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得

10×9

S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8， ……………………2分

2

解得d＝1，q＝2， ……………………………4分

－

所以an＝n，bn＝2n1. ……………………………6分

(2)分别从{an}，{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个： (1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．………8分 符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． ……………10分

2

故所求的概率P＝. ………………………………12分

9

【思路点拨】】(1)先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；

(2)先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论．

【数学文卷·2015届河北省唐山一中高二下学期期末考试（201407）】D2D35.已知数列?an?为等差数列，a1?1,公差d?0，a1、a2、a5成等比，则a2014的值为（ ）

A．4023 B．4025 C．4027 D．4029

【知识点】等差数列与等比数列的通项公式.

【答案解析】C解析 ：解：∵a1、a2、a5成等比，∴a2＝a1a5， ∴1+d2()2=1垂(1+4d)，d0．解得d=2．

∴a2014=a1+2013d=1+2013?24027，故选：C．

【思路点拨】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

【数学文卷·2015届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试（201407）】D27．已知数列

?an?中，a3?2，a7?1，若??A．0

B．1??为等差数列，则a19=( a?1?n?

C． )

1 22 3 D．2

【知识点】等差数列的通项公式.

?1?【答案解析】A解析 ：解：因为??为等差数列，设其公差为d，根据等差数列的

a?1?n?通项公式有

111；同时 =+4d，把a3?2，a7?1代入解得d=24a7+1a3+11111=+12d=+=1，解得a19=0，故选A. a19+1a7+122【思路点拨】先利用a3?2，a7?1求出等差数列的公差为d，然后再次利用通项公式可求出结果.

【数学卷·2016届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试（201407）】D213. 如果等差数列?an?中，a4?4，那么a1?a2???a7? . 【知识点】等差数列的性质应用. 【答案解析】28解析 ：解：a1?a2?=7a4?28

【思路点拨】利用等差数列的性质：当m?n?2p,(m,n,p?N)时am?an?2ap 把所求用a4表示.

??a7??a1?a7???a2?a6???a3?a5??a4

【数学卷·2016届广东省惠州市第一中学（惠州市）高一下学期期末考试（201407）】D26.设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a1?a5?a9=（ ） Ａ．36 Ｂ．24 C．16 D．8 【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和公式. 【答案解析】B解析 ：解：故选B.

【思路点拨】先把S9利用前n项和转化为9a5，解得a5后再利用等差数列的性质求出结果.

【数学卷·2016届四川省成都七中高一下学期期末考试（201407）】D212.如果数列{an}满足

S9=9(a1+a9)=9a5,\\a5=8,则a1?a5?a9?3a5?24,

211-=1，a1=1，则a2014=_________ ．

an+1an【知识点】 等差数列的通项公式；等差数列的定义.

禳1111镲【答案解析】解析 ：解：因为a1=1，-=1，所以数列睚是以1为首项，

2014an+1anan镲铪1为公差的等差数列，则有

111=2014，即 =+(n-1)d=1+(n-1)?1n，所以

a2014ana1a2014=11，故答案为. 20142014禳1镲【思路点拨】由等差数列的定义可得数列睚是等差数列，然后求其通项公式再求结果即

an镲铪可.

【数学卷·2016届四川省成都七中高一下学期期末考试（201407）】D211.已知数列{an}为等差数列，前九项和S9=18，则a5=_________ ． 【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质. 【答案解析】2解析 ：解：

S9=9(a1+a9)=9a5=18,\\a5=2，故答案为：2.

2

【思路点拨】利用等差数列的前n项和以及等差数列的性质找出S9与a5间的关系解之即可.

【数学卷·2016届云南省玉溪一中高一下学期期末考试（201407）】D4D219、（本小题满分12分）

已知数列?an? 的前n项和Sn?2n2?2n。 (Ⅰ)求数列?an?的通项公式；

(Ⅱ) 若数列?bn?满足b1?1，且bn?1?bn?an(n?1)，求bn。 【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【答案解析】(Ⅰ) an=4n (Ⅱ) bn?2n2?2n?1 解析 ：解：(Ⅰ)由于a1?S1?4

当n?2时, an?Sn?Sn?1?(2n2?2n)?[2(n?1)2?2(n?1)]?4n

n?1也适合上式

?an?4n(n?N*) ???6分

(Ⅱ) bn?1?bn?4n，由累加法得bn?2n2?2n?1 ???12分

ìS1(n=1)?【思路点拨】(Ⅰ)利用an=í，能求出数列{an} 的通项公式．

??Sn-Sn-1(n 2)(Ⅱ)由bn?1?bn?4n，利用累加法能求出{bn}的通项公式．

【数学卷·2016届云南省玉溪一中高一下学期期末考试（201407）】D2E616、设a?0,b?0.ab若3是3与3的等比中项，则

14?的最小值为 。 ab【知识点】等比数列的定义和性质,基本不等式的应用. 【答案解析】9 解析 ：解：∵a?0,b?0.故a+b=1．∴3是3a与3b的等比中项，则3a?3b3，

9，

骣1414b4ab4a+=(a+b)琪+=5++?52?琪abababab桫

当且仅当b4a14=时，等号成立，故?的最小值为 9， abab

故答案为 9． 【思路点拨】由条件可得3a?3b骣1414b4a3，故a+b=1，+=(a+b)琪+=5++，琪ababab桫利用基本不等式求出它的最小值．

【数学卷·2016届云南省玉溪一中高一下学期期末考试（201407）】D2C214、已知?an?为等差数列，若a1?a5?a9?8?，则cos(a3?a7)? 。

【知识点】等差数列的性质;诱导公式的应用;特殊角的三角函数值. 1解析 ：解：?an?为等差数列，若a1?a5?a9?8?，则有3a5=8p， 28p16p16pp1=-cos=-, ∴a5=．∴a3+a7=2a5=，∴cos(a3+a7)=cos333321故答案为：-． 28p16p【思路点拨】由条件利用等差数列的性质求得a5=，可得a3+a7=2a5=，

3316p再由cos(a3+a7)=cos，利用诱导公式求得结果． 3【答案解析】?

D3 等比数列及等比数列前n项和

【数学（理）卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试（201408）】D3B7E619．（本小题满分14分）已知数列?an?的前n项和为Sn，Sn?2an?2.

（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?log2an，cn＝

1?，记数列?cn?的前n项和Tn.若对n?N， bnbn?1Tn?k?n?4? 恒成立，求实数k的取值范围．

【知识点】等比数列的通项公式；对数的运算性质；裂项求和；恒成立问题的等价转化；基本不等式的性质.

【答案解析】（1）an=2（2）?,???

解析 ：解：（1）当n?1时，a1?2，当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?2?(2an?1?2) 即：

an?2，?数列?an?为以2为公比的等比数列 ?an?2n an?1n?1?9?? （2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝

1111＝＝－， bnbn?1n?n?1?nn?1Tn＝1－

111111n＋－＋…＋－＝1－＝. 223nn?1n?1n?1∵

nnn＝2≤k(n＋4)，∴k≥＝

n?1(n＋1)(n＋4)n＋5n＋41. 4n＋＋5n∵n＋

444＋5≥2n＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立， nnn∴

111?1?≤，因此k≥，故实数k的取值范围为?,??? 499?9?n＋＋5n【思路点拨】（1）当n?1时，解得a1?2．当n?2时，an=Sn-Sn-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．

（2）利用对数的运算性质可得bn，利用“裂项求和”即可得出：数列?cn?的前n?项和Tn．由于对n?N，Tn?k?n?4?恒成立，可得n≤k(n＋4)，化为k≥n?11 4n＋＋5n，利用基本不等式的性质即可得出．

【数学（文）卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试（201408）】D3B7E619．（本小题满分14分）已知数列?an?的前n项和为Sn，Sn?2an?2.

（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?log2an，cn＝

1?，记数列?cn?的前n项和Tn.若对n?N， bnbn?1Tn?k?n?4? 恒成立，求实数k的取值范围．

【知识点】等比数列的通项公式；对数的运算性质；裂项求和；恒成立问题的等

价转化；基本不等式的性质.

【答案解析】（1）an=2（2）?,???

解析 ：解：（1）当n?1时，a1?2，当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?2?(2an?1?2) 即：

an?2，?数列?an?为以2为公比的等比数列 ?an?2n an?1n?1?9?? （2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝

1111＝＝－， bnbn?1n?n?1?nn?1Tn＝1－

111111n＋－＋…＋－＝1－＝. 223nn?1n?1n?1∵

nnn＝2≤k(n＋4)，∴k≥＝

n?1(n＋1)(n＋4)n＋5n＋41. 4n＋＋5n∵n＋

444＋5≥2n＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立， nnn∴

111?1?≤，因此k≥，故实数k的取值范围为?,??? 499?9?n＋＋5n【思路点拨】（1）当n?1时，解得a1?2．当n?2时，an=Sn-Sn-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．

（2）利用对数的运算性质可得bn，利用“裂项求和”即可得出：数列?cn?的前n?项和Tn．由于对n?N，Tn?k?n?4?恒成立，可得n≤k(n＋4)，化为k≥n?11 4n＋＋5n，利用基本不等式的性质即可得出．

【数学理卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D3D422、(本题满分12分)

已知数列?an?的前n项和是Sn,Sn（2）若数列?bn?满足bn?2an?1?n?N*?.

（1）求数列?an?的通项公式；

?2n?an，求数列?bn?的前n项和Tn；

nn?1（3）若数列?cn?满足cn?3?2??1?使n?N*时，都有cn?1?cn.

【知识点】数列求和、等比数列、不等式

?an（?为非零常数），确定?的取值范围,

【答案解析】(1)an?2n?1；(2)Tn??n?1??2n?1?1；(3)?3???1且??0 2 解析：(1)当n=1时a1?S1?2a1?1,得a1?1，又Sn?1?2an?1?1与原式两边分别相减得an?1?2an?1?2an,得an?1?2an，所以数列?an?是以1为首项，2为公比的等比数列，则

an?2n?1；

(2)因为bn?2nan?n?2，所以

nTn?2?2?22?3?23??Tn?2?2?2?23n?n?2n,2Tn?22?2?23?3?24?n?1?n?2n?1，两式相减得

?2?n?22?2n?1??n?2n?1??1?n??2n?1?1，所以

1?2Tn??n?1??2n?1?1；

(3)∵Cn?3n?2?(?1)n?1?2n?1?3n?(?1)n?1?2n ∴Cn?1?Cn即 3n?1?(?1)n?2n?1?3n?(?1)n?2n 即3n?1?3n?(?1)n?2n?1?(?1)n?1?2n?0

nnn?1即2?3?(?1)λ(2nn?2n)?0

即2?3?(?1)λ3?2?0

n?2?3n3n?1n∴(?1)?? 即?() (?1)??n23?2n333 ∴???

2223当n为奇数时?()n?1??1 ∴????1

2即 ??1 又∵??0

3∴ ????1且??0

2当n为偶数时?()n?1??

【思路点拨】一般遇到数列的前n项和与通项之间的递推关系，通常先转化为单一的通项之间的递推关系再进行解答，对于数列求和问题通常从通项公式特征判断求和思路.

2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(本【数学理卷·（201407）】D2D3D421、

题满分12分)

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a3?6,且a1,a2,a4成等比数列，数列{bn}满足

bn?1?2bn?1,n?N*，且b1?3 （1）求数列{an}和{bn}的通项公式

（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，且cn?【知识点】等差数列、等比数列、数列求和 【答案解析】（1）an?2n,bn?2n?1?1；（2）略

11，证明：Sn?

2an?log2(bn?1)??a1?2?a1?2d?6解析：(1)设等差数列的公差为d，由已知得?，解得?，所以2d?2a?d?aa?3d?1?1?????1an?2??n?1??2?2n；由bn?1?2bn?1,n?N*得bn?1?1?2?bn?1?，又

b1?1?4，所以bn?1?4?2n?1,bn?2n?1?1；

(2)因为cn?11?11?1=????，则

an?log2(bn?1)2n?n?1?2?nn?1?1?111Sn??1????2?22311?1?1?1???1?????2. nn?1?2?n?1?【思路点拨】由递推公式求数列的通项公式可考虑构造特殊数列-等比数列或等差数列求解；证明与和有关的不等式能求和的可先求和再进行证明.

【数学理卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D39、设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，且a2?a5?2am,则m等于 （ ） A 6 B 7 C 8 D 10 【知识点】等比数列

【答案解析】C解析：解：若公比q为1，由S3,S9,S6成等差数列，得18a1=9a1，得a1?0，

不成立，所以

q≠1，则由S3,S9,S6成等差数列，得

2?a1?1?q9?1?q?a1?1?q3?1?q?a1?1?q6?1?q，整理得2q?q?q,得2q?1?q，由

93663a2?a5?2am,得a1q?1?q3??2a1qm?1,得q7?qm?1，得m=8，选C.

【思路点拨】利用等比数列求和公式求和时,应先考虑公比为1时是否满足情况,在计算中注意整体代换的运用.

【数学理卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】B6B7D34．设

a?0，b?0，若3是3a与3b的等比中项，则11?的最小值为( ) ab1 4A．8 B．4 C．1 D．【知识点】指数式和对数式的互化;均值不等式求最值的运用; 等比数列的性质． b【答案解析】B解析 ：解：因为3a3=，所以a+b=1， 3=32骣1111baba+=(a+b)琪+=2++?22?琪abababab桫当且仅当4，

ba1=即a＝b＝时“=”成立，故选B． 2ab11+中，将其变为ab【思路点拨】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入ba2++，利用基本不等式就可得出其最小值. ab

【数学理卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】C2D2D32．已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC是( ) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【知识点】三角形的形状判断;余弦定理;等差数列与等比数列的概念及其应用. 【答案解析】A解析 ：解：∵△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，

00∴A+C=2B，又A+B+C=180，∴B=60．

2又a，b，c成等比数列，∴b=ac，

222220在△ABC中，由余弦定理得：b=a+c-2accosB=a+c-2accos60， 220∴a+c-2accos60=ac，∴a-c()2=0，∴a=c，

0∴A=C，又B=60，∴△ABC为等边三角形．故选A．

0222【思路点拨】依题意，可知B=60，利用余弦定理b=a+c-2accosB结合边a，

b，c依次成等比数列即可判断△ABC的形状．

【数学理卷·2015届河北省唐山一中高二下学期期末考试（201407）】D37.在各项均为正数的等比数列?an?中，若am?1?am?1?2am(m?2)，数列?an?的前n项积为Tn，若

T2m?1?512，则m的值为（ ）

A．4

B．5

C．6 D．7

【知识点】等比数列的性质. 【答案解析】B解析 ：解：等比数列

?an?中，若am?1?am?1?2am(m?2),得a2=2amnm，

解得am=2或am=0，因为等比数列各项均为正数，故am=2，所以Tn=2，则可以由

T2m?1?512得22m-1=512，所以m=5，故选B.

【思路点拨】先通过已知条件解出am，然后利用新定义Tn得到22m-1=512，解之即可.

【数学文卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D4D322、（本题满分12分)

已知数列?an?的前n项和是Sn,Sn?2an?1?n?N*?.

（1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足bn?2n?an，求数列?bn?的前n项和Tn；

nn?1（3）若数列?cn?满足cn?3?2??1?【知识点】数列求和、等比数列、不等式 【答案解析】(1)an?2n?1?an（?为非零常数），确定?的取值范围,

使n?N*时， 都有cn?1?cn.

；(2)Tn??n?1??2n?1?1；(3)?3???1且??0 2 解析：(1)当n=1时a1?S1?2a1?1,得a1?1，又Sn?1?2an?1?1与原式两边分别相减得an?1?2an?1?2an,得an?1?2an，所以数列?an?是以1为首项，2为公比的等比数列，则

an?2n?1；

(3)因为bn?2nan?n?2，所以

nTn?2?2?22?3?23??Tn?2?2?2?23n?n?2n,2Tn?22?2?23?3?24?n?1?n?2n?1，两式相减得

?2?n?22?2n?1??n?2n?1??1?n??2n?1?1，所以

1?2Tn??n?1??2n?1?1；

(3)∵Cn?3n?2?(?1)n?1?2n?1?3n?(?1)n?1?2n

∴Cn?1?Cn即 3n?1?(?1)n?2n?1?3n?(?1)n?2n 即3n?1?3n?(?1)n?2n?1?(?1)n?1?2n?0

nnn?1即2?3?(?1)λ(2nn?2n)?0

即2?3?(?1)λ3?2?0

n?2?3n3n?1n∴(?1)?? 即?() (?1)??23?2nn333 ∴???

2223当n为奇数时?()n?1??1 ∴????1

2即 ??1 又∵??0

3∴ ????1且??0

2当n为偶数时?()n?1??

【思路点拨】一般遇到数列的前n项和与通项之间的递推关系，通常先转化为单一的通项之间的递推关系再进行解答，对于数列求和问题通常从通项公式特征判断求和思路.

【数学文卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D38、在等比数列{an}中，a1?3,an?96,前n项和Sn?189,则n等于（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【知识点】等比数列的通项公式及前n项和 【答案解析】A解析：因为Sn?a1?anq3?96q??189，得q=2，又an?3?2n?1?96，

1?q1?q得n=6，选A.

【思路点拨】对于等比数列中的计算，可结合其通项公式及前n项和公式建立方程求解.

【数学文卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D3B714．正项等比数列{an}其中a2?a5?10，则lga3?lga4?_______ 【知识点】等比数列的性质，对数运算及性质. 【答案解析】1解析 ：解：因为a2?a5?a3?a4?10， 所以lga3?lga4?lg?a3?a4??lg10?1

【思路点拨】由等比数列的性质得a2?a5?a3?a4?10，

所以lga3?lga4?lg?a3?a4??lg10?1.

【数学文卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D33．在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an等于( )

A．3 B．4 C．3·4【知识点】等比数列通项公式.

【答案解析】D解析 ：解：由等比数列通项公式an?a1q【思路点拨】利用等比数列通项公式获得结论.

【数学文卷·2015届河北省唐山一中高二下学期期末考试（201407）】D2D319.（本小题满分12分）

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55. (1)求an和bn；

(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

【知识点】等差数列与等比数列的综合;列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

2－

【答案解析】(1) an＝n，bn＝2n1. (2) P＝ 9

解析 ：解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得

10×9

S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8， ……………………2分

2

解得d＝1，q＝2， ……………………………4分

－

所以an＝n，bn＝2n1. ……………………………6分

(2)分别从{an}，{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个： (1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．………8分 符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． ……………10分

2

故所求的概率P＝. ………………………………12分

9

【思路点拨】】(1)先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；

(2)先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论．

【数学文卷·2015届河北省唐山一中高二下学期期末考试（201407）】D2D35.已知数列?an?为等差数列，a1?1,公差d?0，a1、a2、a5成等比，则a2014的值为（ ） A．4023 B．4025 C．4027 D．4029 【知识点】等差数列与等比数列的通项公式.

【答案解析】C解析 ：解：∵a1、a2、a5成等比，∴a2＝a1a5，

2nnn－1

D．4·3

n－1

n?1得an?4?3n?1

∴1+d()2=1垂(1+4d)，d0．解得d=2．

∴a2014=a1+2013d=1+2013?24027，故选：C．

【思路点拨】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

【数学文卷·2014届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试（201405）】D36、在等比数列?an?中，a1?8,a4?64,则q?（ ）

A. ?3 B. 3 C. 2 D. ?2 【知识点】等比数列的通项公式．

【答案解析】C解析 ：解：∵在等比数列?an?中，a1?8,a4?64,∴8q=64，解得q=2．

3

故选：C．

【思路点拨】利用等比数列的性质求解．

【数学卷·2016届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试（201407）】D31. 设等比数列?an?的公比q?2，前n项和为Sn，则

S4? a21517 D． 22A．2 B．4 C．

【知识点】等比数列的前n项和公式及通项公式。 【答案解析】C解析 ：解：S4?4S4a1?2?1?15???. a22a12a1?1?q4?1?q?a1?1?24?1?2?a1?24?1?，a2?a1q?a1?2

【思路点拨】根据等比数列的前n项和公式求得S4,利用通项公式求得a2，从而求出

S415? 2a2【数学卷·2016届广东省惠州市第一中学（惠州市）高一下学期期末考试（201407）】D31．在等比数列{an}中，若a3??9，a7??1，则a5的值为（ ）

A．?3 Ｂ．3 C．6 D．?6

【知识点】等比数列的性质.

【答案解析】A解析 ：解：因为等比数列{an}中，若a3??9，a7??1，所以q4=

?1211,q=.a5=-9×=-3，故选A. ?9332【思路点拨】由等比数列的定义和性质可由a3??9，a7??1得q，由此求得a5的值．

【数学卷·2016届四川省成都七中高一下学期期末考试（201407）】D314.在等比数列{an}中，

a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=3，则该数列的前9项的和等于_____ ．

【知识点】等比数列的性质.

【答案解析】13解析 ：解： 因为a4+a5+a6=q以q=3，而a7+a8+a9=q333(a+a12+a3)=3，a1+a2+a3=1,所

(a4+a5+a6)=3?39，所以该数列的前9项的和

S9=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)=1+3+9=13，故答案为:13.

【思路点拨】利用已知条件先求得a7+a8+a9，再求该数列的前9项的和即可.

【数学卷·2016届云南省玉溪一中高一下学期期末考试（201407）】D4D321、（本小题满分12分）

等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6。 （1）求数列?an?的通项公式； （2）设

bn?log3a1?log3a2?......?log3an，求数列??的前n项和Tn。

12n?（Ⅱ ） nn?131。 9?1??bn?【知识点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【答案解析】（Ⅰ）an?2232解析 ：解：（Ⅰ）设数列?an?的公比为q，由a3所以q??9a2a6得a3?9a4由条件可知an?0,故q?1。 31。 3由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?

1。 ?????5分 3nn(n+1)（Ⅱ ）bn=log3a1+log3a2+...+log3an=-(1+2++n)=- 2故数列?an?的通项式为an?故

1211????2(?) ?????8分 bnn(n?1)nn?1111111112n ??...???2((1?)?(?)?...?(?))??b1b2bn223nn?1n?1所以数列{2n1 ?????12分 }的前n项和为?n?1bn【思路点拨】（Ⅰ）设数列?an?的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列?an?的通项公式；（Ⅱ把?an?的通项公式代入到bn中即可求出bn以及

1，然bn后利用裂项相消法即可求出数列{

1}的前n项和为. bn【数学卷·2014届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试（201405）】D320．（本小题满分16分）设等比数列?an?的首项为a1?2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与

3a5的等差中项；数列?bn?满足2n2?(t?bn)n?bn?0（t?R,n?N*）.

2（1）求数列?an?的通项公式；

（2）试确定t的值，使得数列?bn?为等差数列；

（3）当?bn?为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak?1之间插入bk个2，得到一

个新数列?cn?. 设Tn是数列?cn? 的前n项和，试求满足Tm?2cm?1的所有正整

数m.

【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用．

【答案解析】（1）an?2n（2）t?3 (3) 满足题意的正整数仅有m?2. 解析 ：解：（1）an?2n2（2）2n?(t?bn)n??????????????????????4分

3bn?0 22n2?tn得bn?，所以b1?2t?4,b2?16?4t,b3?12?2t,

3n?2则由b1?b3?2b2，得t?3????????????????????7分

当t?3时，bn?2n，由bn?bn?1?2，所以数列?bn?为等差数列???9分 （3）因为c1?c2?c3?2，可得m?1不合题意，m?2合题意????11分 当m?3时，若后添入的数2?cm?1，则一定不符合题意，从而cm?1必是数列

?an?中的一项ak?1，则（2+22+????+2k）+(b1?b2?????bn)=2?2k?1

即2k?1?k2?k?2?0????????????????????????13分 记f(k)?2'k?1?k2?k?2

k2则f(k)?2(ln2)2?1?2k，1+2+2+????+2

k?1

2k?1(k?3)， =

2?1k2k?1

所以当k?3时，2=1+2+2+????+2+1>1+2k,又2ln2?ln4?1,

f'(k)?0,故f(k)在（3，??）递增.

m?3都不合题意????15分 则由[f(3)?6?0知f(k)?0在[3,??)无解，即综上可知，满足题意的正整数仅有m?2.????????????????16分 【思路点拨】（1）由3a3是8a1与a5的等差中项得到6a3=8a1+a5，根据首项2和公比q，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值，利用首项和公比即2可得到通项公式；（2）由2n?(t?bn)n?3bn?0解出bn，列举出b1，b2和b3，2要使数列{bn}为等差数列，根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值； （3）显然c1?c2?c3?2，可得m?1不合题意，m?2合题意，然后说明即可.

【数学卷·2014届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试（201405）】D314．数列?an?满足a1?2,an?1?pan?2nn?N*,其中p为常数．若实数p使得数列?an?为等差数列或等比

??的最小正整数n的值为 ． 数列，数列?an?的前n项和为sn，则满足sn?2014【知识点】数列的判定；等比数列的前n项和.

【答案解析】10解析 ：解：a1=2，a2=2p+2，a3=pa2+4=2p2+2p+4

①若数列?an?为等差数列，则得p-p+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p，（3分）

2（2+2p）=2（2p+2p+4）②若数列?an?为等比数列得，解得p=1

22

则an+1=an+2n,由累加法得：an-a1=2+22+?n解得an=2（n 2n-1=2n-2

n,显然，当n=1时也适合，故an=2． 2）（n N*）故存在实数p=1，使得数列?an?为等比数列，其通项公式为an=2n,

故Sn=21-2n1-2()=2n+1-2>2014，解得n>9，

的最小正整数n的值为10，故答案为10. 则满足sn?2014【思路点拨】a1=2，a2=2p+2，a3=pa2+4=2p2+2p+4进行分类考虑：

①若数列?an?为等差数列，则得p-p+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p，（3分）

2（2+2p）=2（2p+2p+4）②若数列?an?为等比数列得，解得p=1

则其通项公式为an=2n,再由故Sn>2014，解得n>9，可得结论.

22D4 数列求和

【数学（文）卷·2015届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试（201408）】D4E819．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2?a3?a4?28，且

a3?2是a2,a4的等差中项.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；(Ⅱ) 若bn?anlog1an，Sn?b1?b2???bn，求使

2Sn?n?2n?1?62成立的正整数n的最小值.

【知识点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和． 【答案解析】(Ⅰ) an?2. (Ⅱ) 6

解析 ：解：(Ⅰ)设等比数列?an?的首项为a1，公比为q.

依题意，有2(a3?2)?a2?a4，代入a2?a3?a4?28，

2??a1q?8,可得a3?8，?a2?a4?20，??3??a1q?a1q?20,

n

?数列?an?的通项公式为an?2. ???????6分

2n (Ⅱ) ?bn?2nlog12n??n?2n，?Sn??(1?2?2?2??n?2)，

n21?q?,?q?2,?解之得? 或?2又数列?an?单调递增，

?a1?2??a1?32. ? q?2，a1?2，

232S??[1?2?2?2?n

2?(n?1)?2n?n?2n?1]，

3两式相减，得Sn?2?2?2??2n?n?2n?1?2n?1?2?n?2n?1.

?Sn?n?2n?1?62即2n?1?2?62，即2n?1?64?26

?n?1?6 ?n?1?6 从而n?5 故正整数n的最小值为6.

?使?Sn?n?2n?1?62成立的正整数n的最小值为6. ???????12分

【思路点拨】（I）由题意，得a2?a3?a4?28，由此能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）结合已知可得数列{bn}的前项和Sn=2

n+1

-2-n?2

n+1

，使Sn?n?2n?1?62成立

的正整数n的最小值．

【数学理卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D3D422、(本题满分12分)

已知数列?an?的前n项和是Sn,Sn（2）若数列?bn?满足bn?2an?1?n?N*?.

（1）求数列?an?的通项公式；

?2n?an，求数列?bn?的前n项和Tn；

nn?1（3）若数列?cn?满足cn?3?2??1?使n?N*时，都有cn?1?cn.

【知识点】数列求和、等比数列、不等式 【答案解析】(1)an?2n?1?an（?为非零常数），确定?的取值范围,

；(2)Tn??n?1??2n?1?1；(3)?3???1且??0 2 解析：(1)当n=1时a1?S1?2a1?1,得a1?1，又Sn?1?2an?1?1与原式两边分别相减得an?1?2an?1?2an,得an?1?2an，所以数列?an?是以1为首项，2为公比的等比数列，则

an?2n?1；

(4)因为bn?2nan?n?2，所以

nTn?2?2?22?3?23??n?2n,2Tn?22?2?23?3?24??n?2n?1，两式相减得

?Tn?2?2?2?23?2?n?2nn?12?2n?1??n?2n?1??1?n??2n?1?1，所以

1?2Tn??n?1??2n?1?1；

(3)∵Cn?3n?2?(?1)n?1?2n?1?3n?(?1)n?1?2n ∴Cn?1?Cn即 3n?1?(?1)n?2n?1?3n?(?1)n?2n 即3n?1?3n?(?1)n?2n?1?(?1)n?1?2n?0

nnn?1即2?3?(?1)λ(2nn?2n)?0

即2?3?(?1)λ3?2?0

n?2?3n3n?1n∴(?1)?? 即?() (?1)??23?2nn333 ∴???

2223当n为奇数时?()n?1??1 ∴????1

2即 ??1 又∵??0

3∴ ????1且??0

2当n为偶数时?()n?1??

【思路点拨】一般遇到数列的前n项和与通项之间的递推关系，通常先转化为单一的通项之间的递推关系再进行解答，对于数列求和问题通常从通项公式特征判断求和思路.

2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(本【数学理卷·（201407）】D2D3D421、

题满分12分)

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a3?6,且a1,a2,a4成等比数列，数列{bn}满足

bn?1?2bn?1,n?N*，且b1?3 （1）求数列{an}和{bn}的通项公式

（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，且cn?【知识点】等差数列、等比数列、数列求和 【答案解析】（1）an?2n,bn?2n?1?1；（2）略

11，证明：Sn?

2an?log2(bn?1)??a1?2?a1?2d?6解析：(1)设等差数列的公差为d，由已知得?，解得，所以?2?d?2???a1?d??a1?a1?3d?

an?2??n?1??2?2n；由bn?1?2bn?1,n?N*得bn?1?1?2?bn?1?，又

b1?1?4，所以bn?1?4?2n?1,bn?2n?1?1；

(2)因为cn?11?11?1=????，则

an?log2(bn?1)2n?n?1?2?nn?1?1?111Sn??1????2?22311?1?1?1???1?????2. nn?1?2?n?1?【思路点拨】由递推公式求数列的通项公式可考虑构造特殊数列-等比数列或等差数列求解；证明与和有关的不等式能求和的可先求和再进行证明.

【数学文卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D4D322、（本题满分12分)

已知数列?an?的前n项和是Sn,Sn?2an?1?n?N*?.

（1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足bn?2n?an，求数列?bn?的前n项和Tn；

nn?1（3）若数列?cn?满足cn?3?2??1?【知识点】数列求和、等比数列、不等式 【答案解析】(1)an?2n?1?an（?为非零常数），确定?的取值范围,

使n?N*时， 都有cn?1?cn.

；(2)Tn??n?1??2n?1?1；(3)?3???1且??0 2 解析：(1)当n=1时a1?S1?2a1?1,得a1?1，又Sn?1?2an?1?1与原式两边分别相减得an?1?2an?1?2an,得an?1?2an，所以数列?an?是以1为首项，2为公比的等比数列，则

an?2n?1；

(5)因为bn?2nan?n?2，所以

nTn?2?2?22?3?23??Tn?2?2?2?23n?n?2n,2Tn?22?2?23?3?24?n?1?n?2n?1，两式相减得

?2?n?22?2n?1??n?2n?1??1?n??2n?1?1，所以

1?2Tn??n?1??2n?1?1；

(3)∵Cn?3n?2?(?1)n?1?2n?1?3n?(?1)n?1?2n

∴Cn?1?Cn即 3n?1?(?1)n?2n?1?3n?(?1)n?2n 即3n?1?3n?(?1)n?2n?1?(?1)n?1?2n?0

nnn?1即2?3?(?1)λ(2nn?2n)?0

即2?3?(?1)λ3?2?0

n?2?3n3n?1n∴(?1)?? 即?() (?1)??23?2nn333 ∴???

2223当n为奇数时?()n?1??1 ∴????1

2即 ??1 又∵??0

3∴ ????1且??0

2当n为偶数时?()n?1??

【思路点拨】一般遇到数列的前n项和与通项之间的递推关系，通常先转化为单一的通项之间的递推关系再进行解答，对于数列求和问题通常从通项公式特征判断求和思路.

【数学文卷·2016届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试（201407）】D421、（本题满分12分)

已知数列{an},其中a1?2,an?an?1?2n?1(n?2,n?N?), (1)求{an}的通项公式;

(2)若数列bn?2log2an?1,记数列{92成立的最小正}的前n项和为Sn,求使Sn?bnbn?110整数n的值.

【知识点】数列的通项公式、数列求和 【答案解析】(1)an?2；(2)5

解析：(1)由已知得a2?a1?2,a3?a2?2,a4?a3?2,23n,an?an?1?2n?1，上述式子两边

2?2n?2n?2，所以an?2n，显然n=1时也成立，则{an}的通分别相加得an?a1?1?2项公式为an?2；

n

(2)由(1)得bn?2n?1,则211??，所以bnbn?12n?12n?1191111119?，得Sn?1???????1?，若Sn?，得1?2n?1103352n?12n?12n?11099n?，所以使Sn?成立的最小正整数n的值为5.

210

【思路点拨】若一数列每一项与前一项的差构成一个能求和的数列，可用累加求和法求其通项公式，再解决与数列的和有关的不等式问题时，能求和的可以先求数列的和再进行解答.

【数学文卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D4D219.(此题8分) 设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知a1??2,S7?7，

（1）求数列?an?的通项公式； （2）Tn为数列??Sn??的前n项和，求Tn． n??129n-n 4412【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【答案解析】（1）an=n-3（2）Tn=解析 ：解：（1）设等差数列?an?的公差为d，则Sn=na1+nn-1d，∵S7=7，

()（2）+∴7=7?7′6d，解得d=1 2∴an=-2+n-1?1n-3， ∴数列{an}的通项公式为an=n-3

()Sn11n-5=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=， n222SS1∵ n+1-n=， n+1n2（2）∴数列?1?Sn?是等差数列，其首项为-2，公差为， ?2?n?∴Tn=n?(2)+n(n-1)1?22129n-n． 44【思路点拨】（1）由{an}为等差数列，a1??2,S7?7可求得其公差，从而可得数列?an?的通项公式；（2）由（1）知an=n-3，于是可求得Snn-5=，利用等差n2

数列的定义易证明数列?前n项和Tn．

1?Sn??是等差数列，其首项为-2，公差为，从而可求其2?n?【数学卷·2016届云南省玉溪一中高一下学期期末考试（201407）】D4D321、（本小题满分

12分）

等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6。 （1）求数列?an?的通项公式；

（2）设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an，求数列??的前n项和Tn。 【知识点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【答案解析】（Ⅰ）an??1??bn?12n?（Ⅱ ） n?13n1。 92232解析 ：解：（Ⅰ）设数列?an?的公比为q，由a3所以q??9a2a6得a3?9a4由条件可知an?0,故q?1。 31。 3由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?故数列?an?的通项式为an?1。 ?????5分 3nn(n+1)（Ⅱ ）bn=log3a1+log3a2+...+log3an=-(1+2++n)=- 2故

1211????2(?) ?????8分 bnn(n?1)nn?1111111112n ??...???2((1?)?(?)?...?(?))??b1b2bn223nn?1n?1所以数列{2n1 ?????12分 }的前n项和为?n?1bn【思路点拨】（Ⅰ）设数列?an?的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列?an?的通项公式；（Ⅱ把?an?的通项公式代入到bn中即可求出bn以及

1，然bn

后利用裂项相消法即可求出数列{

1}的前n项和为. bn【数学卷·2016届云南省玉溪一中高一下学期期末考试（201407）】D4D219、（本小题满分12分）

已知数列?an? 的前n项和Sn?2n2?2n。 (Ⅰ)求数列?an?的通项公式；

(Ⅱ) 若数列?bn?满足b1?1，且bn?1?bn?an(n?1)，求bn。 【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【答案解析】(Ⅰ) an=4n (Ⅱ) bn?2n2?2n?1 解析 ：解：(Ⅰ)由于a1?S1?4

当n?2时, an?Sn?Sn?1?(2n2?2n)?[2(n?1)2?2(n?1)]?4n

n?1也适合上式

?an?4n(n?N*) ???6分

(Ⅱ) bn?1?bn?4n，由累加法得bn?2n2?2n?1 ???12分

ìS1(n=1)?【思路点拨】(Ⅰ)利用an=í，能求出数列{an} 的通项公式．

??Sn-Sn-1(n 2)(Ⅱ)由bn?1?bn?4n，利用累加法能求出{bn}的通项公式．

【数学(理)卷·2015届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试（201408）】D418．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{an}满足：Sn为数列{an}的前n项和，且 2，an，Sn成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

1bnbn2a?()c?(2) 若n，n 求数列{cn}的前n项和.

an2【知识点】利用递推公式求通项；错位相减法. 【答案解析】（1）an?2n.（2）Tn=n+2-4 n-12

解析 ：解：（1）∵2an=Sn+2, ∴n=1,a1=2, n?2,an∴ 通项公式为an?2n.（2）bn=-2n,\\cn=

…………………6分

Sn-Sn-1 ,∴an=2an-1 (n≥2)

-n, 2n-1234n-Tn=1++2+3+...+n-1,①

22221123n-Tn=+2+3+...+n② 2222211111n-②①得-Tn=1++2+3+...+n-1-n

222222n+2\\Tn=n-1-4………………………………12分

2【思路点拨】（1）借助于递推公式an=Sn-Sn-1即可；（2）利用bn求出cn后，再利用错位相减法即可求.

D5 单元综合

【数学理卷·2016届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试（201407）】D518．(本小题满分10分)

等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

1

(Ⅱ) 设bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an，求数列{}的前n项和．

bn

【知识点】等比数列的通项公式化简求值;对数的运算性质;等差数列的前n项和的公式;数列的求和. 【答案解析】(Ⅰ) an＝12n- (Ⅱ) . n3n+1222解析 ：解：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q.由a3＝9a2a6，得a3＝9a4，所以q2＝.由条件

191得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝故数列{an}的通项公式可知q>0，故q＝.由2a1＋3a2＝为an＝13131.---------5分 3n(Ⅱ) bn＝log3a1＋log3a2＋技＋log3an＝－(1＋2＋＋n)＝－

n(n+1). 2

故

1211＝-＝-2(-)，

bnn(n+1)nn+1111111112n1＋＋?＋＝－2[(1)＋(-)＋?＋()]＝-.所以数列{}的前

bnb1b2bn223nn+1n+1n项和为-2n.------------------10分 n+12【思路点拨】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a3＝9a2a6，利用等比数列的通项

公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意

q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1＋3a2＝1，把求出的q的值代入

即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；

＋loga＋a（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a132?＋log3n，

利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为1的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各bn1}的前n项和． bn项，抵消后即可得到数列{

【数学卷·2016届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试（201407）】D520．（本大题12分）

等差数列?an?首项为a1?2，公差不为0，且a1、a3、a7成等比数列，数列?bn?的

2前n项和为Tn，且Tn?an. （Ⅰ）求数列?bn?的通项公式；

（Ⅱ）若cn?2n?1?bn?1?，求数列?cn?的前n项和Sn． 【知识点】数列的有关知识.

?4,n?1【答案解析】(1) bn??；由(2) Sn??n?1??2n?1?3．

?2n?1,n?22解析 ：解：（1）设等差数列的公差d，则由a3?a1a7得d2?d，因为d?0，所以d=1

所以an?2??n?1??1?n?1，从而Tn??n?1?，所以b1?T1?4,

2?4,n?1n?2时bn?Tn?Tn?1?2n?1，所以bn???2n?1,n?2

（2）由（1）得cn???3,n?1n?n?2,n?2所以

Sn?3?2?22?3?23?2Sn?6?2?23?3?24??n?1??2n?1?n?2n ?n?1??2n?n?2n?1

2n?n?2n?1=?1?n?2n?1?3

上述两式相减得:?Sn?5?23?24?所以Sn??n?1?2n?1?3

【思路点拨】（1）先根据等差数列通项公式及等比数列定义，求得an?n?1，从而

Tn??n?1?，再用 通项与前n项和关系求通项；（2）错位相减法求前n项和；

【数学卷·2016届广东省惠州市第一中学（惠州市）高一下学期期末考试（201407）】D520.（本题满分14分）

等比数列?an?的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N?，点(n,Sn)均在函数

2y?bx?r?b?0?且b?1,b,r均为常数)的图像上.

（1）求r的值； （2）当b?2时，记bn?n?1n?N?? 求数列?bn?的前n项和Tn． ?4an3n+3-

22n+1x【知识点】数列与函数的综合运用;数列的通项与前n项和间的关系;错位相减法. 【答案解析】（1）r??1（2）Tn=解析 ：解：（1）解:因为对任意的n?N?,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn?bn?r, ?????????1分 当n?1时,a1?S1?b?r, ?????????2分

当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1, ??????3分 又因为{an}为等比数列, b-1=b-r所以r??1, ?????????4分 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 ?????????5分 (2).当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, ?????????6分 bn?n?1n?1n?1 ?????????7分 ??4an4?2n?12n?1

234n?1 ?????????8分 ????2223242n?11234nn?1 ?????????9分 Tn??????345n?1n?2222222121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5??n?1?n?2 ?????????11分

2222222则Tn?11?(1?)n?1123n?131n?12 ??n?2??n?1?n?2 ?????????12分

1224221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1 ?????????14分

22222【思路点拨】（1）由“对任意的n?N?,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上”可得到Sn?bn?r，由等比数列的性质可得答案． （2）结合（1）可知an?(b?1)bn?1?2n?1，从而bn?xn?1n?1n?1，符合??n?1n?14an4?22一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可．

【数学卷·2016届四川省成都七中高一下学期期末考试（201407）】D521.已知数列{an}的

n前项n和Sn=2an-3?24n N*.

()（1）求证数列睚n是等差数列； n（2）设Tn是数列{Sn-4}的前项n和，求Tn； （3）设cn禳a镲镲2铪3n+5)2=(anan+1n-1，数列{cn}的前项n和为Qn，求证

2?Qn51. 2【知识点】构造新数列；错位相减法；数列的单调性.

【答案解析】（1）见解析（2）Tn?14?(14?6n)2n（3）见解析 解析 ：解：(1)证明： Sn?2an?3?2n?4 ① 当n?2时，Sn?1?2an?1?3?2n?1?4 ②

①-②得：an?2an?2an?1?3?2n?1即an?2an?1?3?2n?1，等式两边同除2

n

anan?13an,数列???{}是等差数列 …4分

2n2n?122naa133n?1（2）S1?2a1?3?21?4，?a1?2,由（1）n= ??(n?1)n122223n?1n ?an??2,?Sn?4?(3n?4)2n …6分

2得：

Tn?(S1?4)?(S2?4)?...?(Sn?4)=(3?1?4)21?(3?2?4)22?...?(3?n?4)2n

错位相减易求Tn?14?(14?6n)2n …8分

(3n?5)2n?1(3n?5)（3）Cn?= …9分

3n?1n3n?2n?1(3n?1)?(3n?2)?2n?2??222=

2(3n?2)?(3n?1) n(3n?1)?(3n?2)?211 …12分 ?(3n?1)2n?1(3n?2)2n11 ?0n(3?1?1)2(3n?2)2=

易求Qn?=

11 …13分 ?2(3n?2)2n1121>0，,即…14分 ?Q?Q??Q?1nnn252(3n?2)2显然{Qn}单增，又

【思路点拨】（1）由已知得到Sn?1?2an?1?3?2n?1?4，两式相减构造新数列即可证明；（2）利用错位相减法求和即可；（3）利用函数的单调性即可证明.

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