2013年北京市各区中考二模数学试题分类汇编：综合题

2013年初三二模分类试题—综合题

西城、解答题

1．在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数1

1:(0)k C y x x

=>的图象上，

其中10k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1． (1) 若1k =2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ；

(2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且11k >，当AO =AB 时，求1k 的值；

(3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22:(0)k C y x x

=>的图象分别与线段BE ， BD 交于点M ，N ，其中210k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为2S ，若12S S S =-，求S 与2k 的函数关系式以及S

2．在△ABC 中，AB =AC ，AD ，CE 分别平分∠

BAC 和∠ACB ，且AD 与CE 交于点M ．点N

在射线AD 上，且NA =NC

．过点N 作NF ⊥CE 于点G ，且与AC 交于点F ，再过点F 作FH ∥CE ，且与AB 交于点H ．

(1) 如图1，当∠BAC =60°

时，点M ，N ，G 重合．

①请根据题目要求在图1中补全图形；

②连结EF ，HM

，则EF 与HM 的数量关系是__________；

(2) 如图2，当∠BAC =120°时，求证：AF =EH ；

(3) 当∠BAC =36°时，我们称△ABC 为“黄金三角形”，此时

2BC AC =若EH =4，

直接写出GM 的长．

图1 图2 备用图

3．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 和抛物线W 交于A ，

B 两点，其中点A 是抛物线W 的顶点．当点A 在直线l 上运动

时，抛物线W 随点A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线

段AB 的长度保持不变．

应用上面的结论，解决下列问题：

如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线

1:2l y x =-．点A 是直线1l 上的一个动点，且点A 的横坐标为t ．以A 为顶点的抛物

线21:C y x bx c =-++与直线1l 的另一个交点为点B ．

(1) 当0t =时，求抛物线1C 的解析式和AB 的长；

(2) 当点B 到直线OA 的距离达到最大时，直接写出此时点A 的坐标；

(3) 过点A 作垂直于y 轴的直线交直线21:2l y x =于点C ．以C 为顶点的抛物线22:C y x mx n =++与直线2l 的另一个交点为点D ．

①当AC ⊥BD 时，求t 的值；

②若以A ，B ，C ，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t 的取值范围．

海淀4．已知：抛物线2

(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线2(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．

①求m 的取值范围；

②若点()2,N m k y +也在图象G 上，

且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ． 图2 备用图

5．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，ABC α∠=. 过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ．

图1 图2

（1）求证：AC AD =； （2）点G 为线段CD 延长线上一点，将射线GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E ．

①若βα=，2GD AD =，如图2所示，求证：2DEG BCD S S ??=；

②若2βα=,GD kAD =，请直接写出

DEG BCD S S ??的值（用含k 的代数式表示）．

6. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是0,2()，过点A 作直线l 垂直y 轴，点B 是直线l 上异于点A 的一点，且DOBA =a .过点B 作直线l 的垂线m ，点C 在直线m 上，且在直线l 的下方，DOCB =2a .设点C 的坐标为x ,y ().

（1） 判断△OBC 的形状，并加以证明；

（2） 直接写出y 与x 的函数关系式（不要求写自变量

的取值范围）；

（3） 延长CO 交（2）中所求函数的图象于点D .求证：

CD =CO ×DO .

东城7. 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）.

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）求证：抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；

（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的

整数根时，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

8. 在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过

点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N .

（1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；

（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系

式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）连结AC ，当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段DN 的长.

9．定义：P ，Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段b 的距离. 已知O (0，0)，A (4，0)，B (m ，n )，C (m +4，n )是平面直角坐标系中的四点.

（1）根据上述定义，当m =2，n =2时，如图1，线段BC 与线段OA 的距离是_____； 当m =5，n =2时，如图2，线段BC 与线段OA 的距离是______ .

（2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，求线段BC 与线段OA 的距离d .

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终

为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段

BC运动所形成的图形的周长.

朝阳10．已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m = 0．

（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m 向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只

有一个公共点时，求b的值．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+bx+4与x轴交于点A(-2，0)、B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0o﹤α﹤90o），

当cosα=3

5

，且旋转后点P的对应点'P恰好落在x轴上时，求点P的坐标．

12. 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得

∠EGB=∠EAB，连接AG.

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；

（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0o﹤α﹤90o），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.

房山13.已知二次函数2

17

=

22

y x kx k

++-．

（1）求证：不论

k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x 的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)

x＋1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋

6 k－4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．

14.（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；

（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF 于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.

求证：①FG+BE

②∠HGF=∠HDF.

图3

图2

F

图1

F

第24题图1

F

B

A

第24题图2

F

B

D

G

E

第21题图3

F

B

G

E

15.已知抛物线()()22-43-2-3m m x m x m y ++=的最低点A 的纵坐标是3，直线b mx y +=经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.

（1）求抛物线与直线AB 的解析式.

（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin ∠BDE 的值.

（3）过B 点作x 轴的平行线BG,点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离

门头沟16． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

224276883m m y x x m m --=-

++-+经过原点O ， 点B (-2,n )在这条抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线2y x =-沿y 轴向下平移b 个单位后得到直线l ， 若直线l 经过B 点，求n 、

b 的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，直线l 与y 轴交于点D ，

且与抛物线的对称轴交于点E .若P 是抛物线上一点，且PB =PE ，求P 点的坐标.

第25题图

17．已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，?=∠=∠90COD AOB ．

（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，

连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (?<

结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与

△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点． 请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．

18． 如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知矩形ABCD 的两个顶点B 、C 的坐标分别是B （1，0）、C （3，0）．直线AC 与y 轴交于点G （0，6）．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点 Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）当t 为何值时，△CQE 的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在

点H ，使得以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形？

图1O M A

B C

D 图2D C B M O 图3

怀柔19． 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.

（1）求C 1的顶点坐标；

（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，

0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；

（3）若.,),2(),,(21

121y y C y Q y n P >且上的两点是直接写出实数n 的取值范围. 解：

20. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）

上任意一点，连结AM 、CM.

（1） 当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；

（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.

解： （1）

21.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角

形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，

抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）b= ,c= ；

（2）点E 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线

交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）b= ， c= ；

（2）

（3）

大兴22．已知：如图，抛物线L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 左侧），

与y 轴交于点C ．

（1）直接写出点A 和抛物线L 1的顶点坐标；

（2）研究二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k ≠0）．

①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会因k 值的变化而

发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．

23．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 3，BC = 4，以点D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转а至DE.

（1）当а=90°时，连结AE ，则△EAD 的面积等于___________（直接写出结果）；

（2）当0°<а< 180°时，连结BE ，请问BE 能否取得最大值，若能，请求出BE 的最大值；若不能，请说明理由；

（3）当0°<а< 180°时，连结CE ，请问а为多少度时，△CDE

24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45

． （1）求过A ．C ．D 三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解

析式为y 2=ax 2+bx+c ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；

（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点

为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，

△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值．

丰台

25．已知关于x 的方程2(2)30x m x m --+-=.

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）设抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关

α

26．在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转．

（1）当点O 为AC 中点时，

①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；

②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，

若14AO AC =，求OE OF

的值．

27．如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=?，32,2OA AB ==，把△OAB 沿x 轴的负方向平移2OA 的长度后得到△DCE .

（1）若过原点的抛物线2+y ax bx c =+经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；

（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，

连结OP .若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；

（3）若点M (-4，n ) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M ′，点B 的

对应点为B ′．

当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

C O B A O E 图1 F B A O C E F A B C E F 图2

图3

y x

O

石景山28．如图，抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0），其对称轴与x 轴

的交点为C , 反比例函数k

y x

=

（x >0，k 是常数）的图象经过抛物线的顶点D ． （1）求抛物线和反比例函数的解析式．

（2）在线段DC 上任取一点E ，过点E 作x 轴平行线，交y 轴于点F 、交双曲线于点G ，

联结DF 、DG 、FC 、GC ． ①若△DFG 的面积为4，求点G 的坐标；

②判断直线FC 和DG 的位置关系，请说明理由； ③当DF =GC 时，求直线DG 的函数解析式．

解：

29．如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．

（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __；

（2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出

1

1

CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是

______________,请借助图3证明你的猜想．

B

B

B

图1 图2 图3

解：

30．（1）如图1，把抛物线2y x =-平移后得到抛物线1C ，抛物线1C 经过点(4,0)A -和原

点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线2y x =-交于点Q ，则抛物线1C 的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．

（2）若点C 为抛物线1C 上的动点，我们把90ACO ∠= 时的△ACO 称为抛物线1C 的内接直角三角形.过点(1,0)B 做x 轴的垂线l ，抛物线1C 的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC 、CO 与直线l 分别交于M 、N 两点，以MN 为直径的⊙D 与x 轴交于E 、F 两点,如图2.请问：当点C 在抛物线1C 上运动时，线段EF 的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．

解：

昌平31. 已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线21

1

22y x x =-上.

（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；

（2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果

存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.

32．（1）如图1，以AC 为斜边的Rt △ABC 和矩形HEFG 摆放在直线l 上（点B 、C 、E 、F 在直线l 上），已知BC =EF =1，AB =HE =2. △ABC 沿着直线l 向右平移，设CE =x ，△ABC 与矩形HEFG 重叠部分的面积为y （y ≠0）. 当x =35

时，求出y 的值； （2）在（1）的条件下，如图2，将Rt △ABC 绕AC 的中点旋转180°后与Rt △ABC 形图1 图

2

成一个新的矩形ABCD ，当点C 在点E 的左侧，且x =2时，将矩形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将矩形HEFG 绕着点E 逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D 、H 重合时，连接AG ，求点D 到AG 的距离；

（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD 与GH 交于点M ，CD 与HE 交于点N ，求证：四边形MHND 为正方形.

M N

图3

H

G l

F

E

C

B A D

l

A

B

C

E

F

G

H

图1图2D G

l

F

E

C

B

A

(H )

33. 如图，已知半径为1的1O e 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O e 的切线，切点为M ，

圆心1O 的坐标为(2

0)，，二次函数2

y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．

（1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式；

（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

密云34．已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2

=--+-x m x m （m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；

（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2

=--+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的 解析式．

35．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边 上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．

（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ；

②当AB=4，AD=时，求线段BG 的长．

36．概念：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与

线段b 的距离． 已知O （0，0），A （4，0），B （m ，n ），C （m+4，n ）是平面直角坐

标系中四点．

（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC 与线段OA 的距离是 ；

当m=5，n=2时，如图2，线段BC 与线段OA 的距离（即线段AB 长）为 ；

（2）图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，线段BC 与线段OA 的距离记为d ， 求d 关于m 的函数解析式．

（3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，线段BC 的中点为M ， ①求出点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长；

②点D 的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN ⊥x 轴，垂足为H ，是否存在m 的值 使以A 、M 、H 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出m 的值；若不存在 请 说明理由．

（不包括-1、43

）时，求m 的值． （3）在(2）的条件下，将抛物线232y x mx =+-在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的

其余部分保持不变，得到一个新图象G ，再将图象G 向上平移n 个单位，若图象G 与过点（0，3）且与x 轴平行的直线有4个交点，直接写出n 的取值范围是 ．

38．如图，直线MN 与线段AB 相交于点O , 点C 和点D 在直线MN 上，且

45ACN BDN ∠=∠=?.

(1) 如图1所示，当点C 与点O 重合时 ，且AO OB =，请写出AC 与BD 的数量关系和

位置关系；

（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转到如图2所示的位置，AO OB =，（1）中的AC

与BD 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到如图3，求

AC BD

的值．

39． 已知抛物线214

y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，连结AC BC ，，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连结BF ．若8O B C S ?=，AC BC =．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：BF AB ⊥；

（3）求FBE ∠的度数；

（4）当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E 也随着运动，则点E 所走过的路线长 是 ．

综合题答案

1．解：(1) AO

△BOD 的面积为 1； ………………………… 2分

(2) ∵A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x

=

>的图象上，

∴点A ，B 的坐标分别为1(1,)k ，1(,1)k . ………………… 3分 ∵AO =AB ，

由勾股定理得2211+=AO k ，22211(1)(1)=--+AB k k ， ∴2221111(1)(1)+=--+k k k .

解得12k =

12k = …………………………………………… 4分 ∵11k >，

∴12k = ………………… 5分 (3) ∵OC =4， ∴点A 的坐标为(1,4).

∴14k =.

设点B 的坐标为4

(,m m

，

∵BE ⊥y 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴四边形ODBE 为矩形，且=4ODBE S 四边形，

点M 的纵坐标为

4m

，点N 的横坐标为m .

∵点M ，N 在函数22:(0)k C y x x

=>的图象上，

∴点M 的坐标为24(,4mk m ，点N 的坐标为2(,)k

m m

. ∴2=2

=

OME OND k S S ??. ∴222114=

()(2

2

4

mk k S BM BN m m

m

?=--

2

2(4)

8

k -=

.

∴12=S S S -222=(4)k S S ---22=42k S --.

∴2

2

2222(4)

1428

4

k S k k k -=--?

=-+， ………………………… 6分

其中204k <<.

∵22

22211(2)144S k k k =-+=--+，而104

-<，

∴当22k =时，S 的最大值为1. …………………………………… 7分

2．解：(1)补全图形见图1， ………1分

EF 与HM 的数量关系是EF =HM ； ………2分 (2)连接MF （如图2）.

∵AD ，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB ，

且∠BAC =120°，

∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4. ∵AB =AC ， ∴AD ⊥BC . ∵NG ⊥EC ，

∴∠MDC =∠NGM =90°. ∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.

∴∠4=∠5.

∴∠3=∠5.

∵NA =NC ，∠2=60°，

∴△ANC 是等边三角形. ∴AN =AC .

在△AFN 和△AMC 中，

53,,22,∠=∠??

=??∠=∠?

AN AC

∴△AFN ≌△AMC. …………………………………………… 3分 ∴AF =AM . ∴△AMF 是等边三角形. ∴AF =FM ，∠7=60°.

∴∠7=∠1. ∴FM ∥AE . ∵FH ∥CE ， ∴四边形FHEM 是平行四边形. ……………………………………… 4分 ∴EH =FM . ∴AF =EH . …………………………………………… 5分

(3) GM

1. …………………………………………… 7分 3．解：(1) ∵点A 在直线1:2l y x =-上，且点A 的横坐标为0，

A B

C

E

M F

H

图1

76

5

4

321G

A

B

C

D

E

H

F M 图2

∴点A 的坐标为(0,2)-.

∴抛物线1C 的解析式为22y x =--. …………………………… 1分 ∵点B 在直线1:2l y x =-上， ∴设点B 的坐标为(,2)x x -. ∵点B 在抛物线1C :22y x =--上， ∴2

22x x -=--.

解得0x =或1x =-. ∵点A 与点B 不重合， ∴点B 的坐标为(1,3)--. …………………………… 2分

∴由勾股定理得AB

=

…………………… 3分

(2) 点A 的坐标为(1,1)-. …………………………… 4分

(3) ①方法一：设AC ，BD 交于点E ，直线1:2l y x =-分别与x 轴、y 轴交于点P

和Q （如图1）.则点P 和点Q 的坐标分别为(2,0)，(0,2)- . ∴OP =OQ =2. ∴∠OPQ =45°. ∵AC ⊥y 轴， ∴AC ∥x 轴.

∴∠EAB =∠OPQ =45°.

∵∠DEA =∠AEB =90°，AB

∴EA =EB =1.

∵点A 在直线1:2l y x =-上，且点A

∴点A 的坐标为(,2)t t -. ∴点B 的坐标为(1,3)t t --. ∵AC ∥x 轴，

∴点C 的纵坐标为2t -.

∵点C 在直线21

:2l y x =上，

∴点C 的坐标为(24,2)t t --.

∴抛物线2C 的解析式为2

[(24)](2)y x t t =--+-.

∵BD ⊥AC ，

∴点D 的横坐标为1t -.

∵点D 在直线21

:2l y x =上，

∴点D 的坐标为1

(1,2t t --. …………………………………………… 5分 ∵点D 在抛物线2C ：2

[(24)](2)y x t t =--+-上，

图1

∴21

[(1)(24)](2)2t t t t -=---+-. 解得52

t =或3t =.

∵当3t =时，点C 与点D 重合， ∴52t =. …………………………………………… 6分 方法二：设直线1:2l y x =-与x 轴交于点P ，过点A 作y 轴的平行线，过点B

作x 轴的平行线，交于点N .（如图2）

则∠ANB =90°，∠ABN =∠OPB.

在△ABN 中，BN =AB cos ∠ABN ，AN =AB sin ∠ABN .

∵在抛物线1C 随顶点A 平移的过程中，

AB 的长度不变，∠ABN 的大小不变，

∴BN 和AN 的长度也不变，即点A 与点B

的差以及纵坐标的差都保持不变.

同理，点C 与点D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.

由(1)知当点A 的坐标为(0,2)-时，点B 的坐标为(1,3)--，

∴当点A 的坐标为(,2)t t -时，点B 的坐标为(1,3)t t --.

∵AC ∥x 轴，

∴点C 的纵坐标为2t -.

∵点C 在直线21:2

l y x =上， ∴点C 的坐标为(24,2)t t --.

令2t =，则点C 的坐标为(0,0).

∴抛物线2C 的解析式为2y x =.

∵点D 在直线21:2

l y x =上， ∴设点D 的坐标为(,2

x x . ∵点D 在抛物线2C ：2y x =上，

∴22

x x =. 解得12

x =或0x =. ∵点C 与点D 不重合，

∴点D 的坐标为11(,24

. ∴当点C 的坐标为(0,0)时，点D 的坐标为11(,)24. ∴当点C 的坐标为(24,2)t t --时，点D 的坐标为77(2,24

t t --. …… 5分 图2

∵BD ⊥AC ， ∴7122

t t -=-. ∴52

t =. …………………………………………… 6分 ②t 的取值范围是154

t . ………………………………… 8分 说明：设直线1l 与2l 交于点M .随着点A 从左向右运动，从点D 与点M 重合，

到点B 与点M 重合的过程中，以A ，B ，C ，D 为顶点构成的图形不是

4解：（过点(3,

A

∴9分

（2）①当0y =时，220x x --=．

∴1x =-或2.

∴抛物线与x 轴交于点(1,0)A -，(2,0)B .-----3分

当2y =-时，222x x --=-．

∴0x =或1．

∴抛物线与直线2y =-交于点(0,2)C -, (1,2)D -.

∴C ,D 关于直线1y =-的对称点'(0,0)C ，'(1,0)D .----4分

∴根据图象可得1-≤m ≤0或1≤m ≤2．----------------5分 ②k 的取值范围为k ≥4或k ≤4-．----------------7分

5．解:(1) ∵BD 平分ABC ∠，

∴12∠=∠．

∵AD ∥BC ，

∴23∠=∠．

∴13∠=∠．---------------1分

∴AB AD =．

∵AB AC =，

∴AC AD =．---------------2分

（2）①证明：过A 作AH BC ⊥于点H ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1ztl.html