【精选】北师大版八年级上册数学 三角形解答题检测题(WORD版含答案)

【精选】北师大版八年级上册数学

三角形解答题检测题（WORD版含答案）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：

(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；

(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；

(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.

【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝

∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1

2

x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得

∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,

则∠DGE=90°+1

2

x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=

1

2

（180°-x），所以

∠CDF+∠HDC=1

2

（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；

（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可

得：∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出

∠BED=90°，完成证明.【详解】

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

设∠HDC＝∠AB H=x

∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E ∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=

1

2

x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE

∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵BE平分∠ABH，

∴∠EB H＝∠AB E=

1

2

x

∴∠DGE=90°+

1

2

x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF=1

2

（180°-x）=90°-

1

2

x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1

2

x+x=90°+

1

2

x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，证明如下：

设∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E

∴∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-1

2

（90°+x）-

1

2

（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE

【点睛】

本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.

2．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究一：如图1．在△ABC 中，已知O

是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过

分析发现1902

BOC A ?

∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，

∴112ABC ∠=∠，122

ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ?????

?∠=-∠+∠=--∠=+∠ ???

（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．

（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？

【答案】（1）12BOC A ∠=

∠，理由见解析；（2）1902BOC A ?∠=-∠． 【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12

∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得

∠OCD =12∠ACD =12

∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；

（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；

【详解】

（1）12

BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线，

∴

1

2

OBD ABC

∠=∠，

1

2

OCD ACD

∠=

∠，

又∵ACD

∠是ABC的一个外角，

∴

11

22

OCD ACD A OBD

∠=∠=∠+∠，

∵OCD

∠是BOC的一个外角，

∴

11

22

BOC OCD OBD A OBD OBD A

∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠

即

1

2

BOC A

∠=∠

（2）∵BO与CO分别是∠CBD与∠BCE的平分线，

∴∠OBC=

1

2

∠CBD，∠OCB=

1

2

∠BCE

又∵∠CBD与∠BCE都是△ABC的外角，

∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，

∴∠OBC=

1

2

∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠ABC），

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

∴

1

90

2

BOC A

?

∠=-∠

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．

3．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；

(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；

②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝

1

3

∠CAB，∠CDP＝1

3

∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】

【分析】

(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+

∠

D=180°﹣∠

BOD，

由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；

(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；

②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到

2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到

∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=1

2

(∠B+∠C)，然后将∠B=100o，∠C=120o代入计算即可；

③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.

【详解】

解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠A+∠C＝∠B+∠D；

(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：

以点O为交点的“8字型”有4个：

②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，

∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，

∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，

∴2∠P＝∠B+∠C，

∵∠B＝100°，∠C＝120°，

∴∠P＝1

2

（∠B+∠C）=1

2

（100°+120°）＝110°；

③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：

∵∠CAP＝1

3

∠CAB，∠CDP＝1

3

∠CDB，

∴∠BAP＝2

3

∠CAB，∠BDP＝2

3

∠CDB，

以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝1

3

（∠CDB﹣∠CAB），

∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝2

3

（∠CDB﹣∠CAB）．

∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，

∴3∠P＝∠B+2∠C．

故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．

4．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°

【解析】

【分析】

（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO 和∠ABO的角平分线得出

1

BAE OAB

2

∠=∠，

1

ABE ABO

2

∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA90

∠+∠=?，故PAB MBA270

∠+∠=?，再由AD、BC分别是∠BAP 和∠ABM的角平分线，可知

1

BAD BAP

2

∠=∠，

1

ABC ABM

2

∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知

CDE DCE112.5

∠+∠=?，进而得出结论；

（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知

1EAO BAO 2∠=

∠,1EOQ BOQ 2

∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

【详解】

（1）∠AEB 的大小不变，

∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，

∴∠AOB=90°，

∴OAB OBA 90∠+∠=?，

∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，

∴1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2

∠=∠， ∴()1BAE ABE OAB ABO 452

∠+∠=

∠+∠=°， ∴∠AEB=135°； （2）∠CED 的大小不变．

如图2，延长AD 、BC 交于点F ．

∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，

∴90∠=AOB °，

∴OAB OBA 90∠+∠=°，

∴PAB MBA 270∠+∠=°，

∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，

∴1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2

∠=∠， ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=

∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°，

∴CDA DCB 225∠+∠=°，

∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，

∴CDE DCB 112.5∠+∠=°，

∴E 67.5∠=°；

（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，

∴

1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2

∠=∠ ， ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22

∠=∠-∠=

∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线， ∴EAF 90∠=°． 在△AEF 中，

∵有一个角是另一个角的3倍，故有：

①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°；

②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；

③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°；

④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°．

∴∠ABO 为60°或45°．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

5．如图，四边形ABCD ，BE 、DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，若∠BAD=α，∠BCD=β

（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC 的度数；

（2）如图，若BE 与DF 相交于点G ，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式； （3）如图，若α=β，判断BE 、DF 的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）120°； （2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用四边形的内角和求出∠ABC 与∠ADC 的和，利用角平分线的定义以及

α+β=120°推导即可；

（2）由（1）得，∠MBC +∠NDC =α+β，利用角平分线的定义得∠CBG +∠CDG =12

(α+β)，在△BCD 中利用三角形的内角和定理得∠BDC +∠CDB =180°﹣β，在△BDG 中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；

（3）延长BC 交DF 于H ，由（1）得∠MBC +∠NDC =α+β，利用角平分线的定义得

∠

CBE+∠CDH=1

2

(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入

∠CBE+∠CDH=1

2

(α+β)计算即可得出一组内错角相等．

【详解】

（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），

∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°

∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，

∵α+β=120°，

∴∠MBC+∠NDC=120°；

（2）β﹣α=60°

理由：如图1，连接BD，

由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBG=1

2

∠MBC，∠CDG=

1

2

∠NDC，

∴∠CBG+∠CDG=1

2

∠MBC+

1

2

∠NDC=

1

2

(∠MBC+∠NDC)=

1

2

(α+β)，

在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，

∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，

∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，

∴1

2

(α+β)+180°﹣β+30°=180°，

∴β﹣α=60°，

(3)平行，

理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC

+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBE=1

2

∠MBC，∠CDH=

1

2

∠NDC，

∴∠CBE+∠CDH=1

2

∠MBC+

1

2

∠NDC=

1

2

(∠MBC+∠NDC)=

1

2

(α+β)，

∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，

∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，

∴∠CBE+β﹣∠DHB=1

2

(α+β)，

∵α=β，

∴∠CBE+β﹣∠DHB=1

2

(β+β)=β，

∴∠CBE=∠DHB，

∴BE∥DF．

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．

6．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；

(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．

x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；

(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.

【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140

【解析】

【分析】

（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，

判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．

（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据

∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．

b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠

D，然后根据

∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．

c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得

∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得

x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．

（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．

【详解】

(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，

又∵∠BDC＝∠A＋∠B，

∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.

(2)180；180；180

(3)140

【点睛】

（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．

（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

7．ABC中，AD是BAC

∠的平分线，AE BC

⊥，垂足为E，作CF//AD，交直线AE 于点F.设Bα

∠=，ACBβ

∠=．

()1若B30

∠=，ACB70

∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC

∠的度数；()2如图2，若ACB

∠是钝角，求AFC

∠的度数(用含α，β的式子表示)；

()3如图3，若B ACB

∠∠

>，直接写出AFC

∠的度数(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）补图见解析，AFC20

∠=；（2）()

1

AFC180βα

2

∠=--；（3）()

1

AFCαβ

2

∠=-．

【解析】

【分析】

(1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD，即可求出答案；

(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据三角形外角性质求出∠ADC，根据三角形内角和定理求出∠DAE，根据平行线的性质求出即可；

(3)求出∠DAE度数，根据平行线的性质求出即可．

【详解】

解：()1如图1，

B30

∠=，ACB70

∠=，

BAC180B ACB80

∠∠∠

∴=--=，

AD是BAC

∠的平分线，

1

CAD CAB40

2

∠∠

∴==，

AE BC

⊥，

AEC90

∠

∴=，

ACB70

∠=，

EAC180907020

∠

∴=--=，

DAE CAD CAE402020

∠∠∠

∴=-=-=，

CF//AD，

AFC DAE20

∠∠

∴==；

()2如图

2，

ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，

()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+．

()180αβ=-+，

AD 是BAC ∠的平分线，

()11BAD BAC 90αβ22

∠∠∴==-+， ()()11ADE B BAD α90αβ90βα22

∠∠∠∴=+=+-+=--， AE BC ⊥，

DAE ADE 90∠∠∴+=，

()1DAE 90ADE βα2

∠∠∴=-=-， CF//AD ，

DAE AFC 180∠∠∴+=，

()1AFC 180βα2

∠∴=--； ()3如图3，

ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，

()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+，

()180αβ=-+，

AD 是BAC ∠的平分线，

()11CAD

BAC 90αβ22

∠∠∴==-

+， AE BC ⊥，

AEC 90∠∴=，

ACB β∠=，

EAC 18090β90β∠∴=--=-，

()

()()11DAE CAE CAD 90β90αβαβ22∠∠∠??∴=-=----=-????． 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.

8．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C 为x 轴正半轴上一点，且AC 平分∠OAB ．

(1)求证：∠OAC ＝∠OCA ；

(2)如图②，若分别作∠AOC 的三等分线及∠OCA 的外角的三等分线交于点P ，即满足∠POC ＝13∠AOC，∠PCE＝13

∠ACE，求∠P 的大小； (3)如图③，在(2)中，若射线OP 、CP 满足∠POC＝

1n ∠AOC，∠PCE＝1n ∠ACE，猜想∠OPC 的大小，并证明你的结论(用含n 的式子表示)．

【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）

45n

【解析】 试题分析：（1）根据AB 坐标可以求得∠OAB 大小，根据角平分线性质可求得∠OAC 大小，即可解题；

（2）根据题干中给出的∠POC=

13∠AOC、∠PCE=13

∠ACE 可以求得∠PCE 和∠POC 的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题； （3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=

1n ∠AOC、∠PCE=1n

∠ACE 可以求得∠PCE 和∠POC 的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．

试题解析：(1)证明：∵A (0，1)，B (4，1)，∴AB ∥CO ，∴∠OAB ＝180°－∠AOC ＝90°. ∵AC 平分∠OAB ，∴∠OAC ＝45°，∴∠OCA ＝90°－45°＝45°，∴∠OAC ＝∠OCA .

(2)解：∵∠POC ＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE ＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.

(3)解：∠OPC ＝.

证明如下：∵∠POC ＝∠AOC ，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE ＝∠ACE，∴∠PCE ＝

(180°－45°)＝.

∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，

∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.

点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了

三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC

的大小是解题的关键．

9．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．

（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；

（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=1

3

∠ABC，∠ACO=

1

3

∠ACB，且BO、CO相交于点O，

请直接写出∠BOC与∠A的关系式为_．【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；

（2）∠BOC=90°+1

2

∠A．理由见解析；

（3）∠BOC=60°+2

3

∠A．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；

（2

）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+1

2

∠A；

（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+2

3

∠A．

【详解】

解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．

理由：

如图1，连接AO，延长AO到H．

∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，

∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）∠BOC=90°+1

2

∠A．

理由：

如图2，

∵OB，OC是△ABC的角平分线，

∴∠OBC=1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，

∴∠BOC=180°-1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，

∴∠BOC=90°+1

2

∠A；

（3）∠BOC=60°+2

3

∠A．

理由：

∵∠ABO=1

3

∠ABC，∠ACO=

1

3

∠ACB，

∴∠BOC=180°

-2

3

（∠ABC+∠ACB）=180°-

2

3

（180°-∠A）=60°+

2

3

∠A．

故答案为：∠BOC=60°+2

3

∠A．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．

10．动手操作，探究：

探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．

已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由．

探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．

探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P 与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系．

【答案】探究一： 90°+1

2

∠A；探究二：

1

2

（∠A+∠B）；探究三：

∠P=1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．

【解析】试题分析：

探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，然后根据三角

形内角和定理列式整理即可得解.

探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.试题解析：

探究一：∵DP、CP分别平分∠AD C和∠ACD，

∴∠PDC=1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-1

2

∠ADC-

1

2

∠ACD，

= 180°-1

2

（∠ADC+∠ACD），

=180°-1

2

（180°-∠A），

=90°+1

2

∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=1

2

∠ADC，∠PCD=

1

2

∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-1

2

∠ADC-

1

2

∠BCD，

=180°-1

2

（∠ADC+∠BCD），

=180°-1

2

（360°-∠A-∠B），

=1

2

（∠A+∠B）；

探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，

∴∠PDC=1

2

∠EDC，∠PCD=

1

2

∠BCD，

∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-1

2

∠EDC-

1

2

∠BCD，

=180°-1

2

（∠EDC+∠BCD），

=180°-1

2

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），

=1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，

即∠P=1

2

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

点睛：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，在此类题目中根据同一个解答思路求解是解题的关键.

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