DVD在线租赁策划模型

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

DVD在线租赁策划模型

柳麟肖辉龙彭密肴

【摘要】本问题是DVD在线租赁的策划问题，涉及到网站对DVD流通的预测与运筹，其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题，以提高客户服务系统中会员的满意度指数。根据强大数定理与优化理论，针对题中三个实际问题，分别建立了线性整数规划模型、0-1整数规划模型和多目标整数规划模型。运用软件LINGO8.0分别编程进行计算，得到了相关问题的主要结果：

问题一：50%以上的会员在一个月内能看到该DVD(DVD1—DVD5)至少准备的数量6250 3125 1563 782 313

95%以上的会员在三个月内能看到该DVD(DVD1—DVD5)至少准备的数量 3960 1980 990 495 200

问题二：在线会员最大满意度为 151.2444

问题三: 20种DVD(D001—D020)的购买量分别为

10 5 10 7 7 6 9 13 12 7 9 8 11 9 13 7 10 9 13 5

并对网站市场经营管理中的实际问题进一步分析，根据会员流量密度将系统动态化处理，提出了一些具体的改进方案。

【关键词】策划运筹模型

1

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

一、问题重述

随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。各种在线服务层出不穷，其中DVD在线租赁就是具有代表性的一个。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD，并通过对1000个会员的问卷调查，得到了愿意观看这些DVD的人数和根据历史情况掌握了每月租赁不同类会员之间的比例。若现有10万会员，应该如何购置DVD才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？

2）根据会员在线订单，应如何对DVD进行分发，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。

3）假设表2中DVD的现有数量全部为0，应如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分发，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

二、基本假设及符号说明

2.1符号说明

x----------第j种DVD对第i个会员的分发情况(0表示没有分发，1表示分发) ij

z----------第i个会员对第j种DVD的偏爱程度

ij

s----------第i个会员对第j种DVD的满意度

ij

b----------第j种DVD的购买量

j

c----------第j种DVD现存数量

j

A--------- 对第m种DVD观看的人数

m

V----------对m种DVD的购买量

m

M----------调查的会员人数

N----------总会员人数

K----------DVD的现存种类

R----------在线订单人数

2

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

3 (i =1,2,…,100；j =1,2,…,20；m =1,2,3,4,5)

2.2基本假设

1. 会员获得的DVD 均在他的在线订单中；

2. 每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次为3张不同DVD ；

3. 每个月租赁一次的会员为Ⅰ类会员，以30天为一个租赁周期；

4. 每个月租赁两次的会员为Ⅱ类会员，以15天为一个租赁周期；

5. 租赁时会员需将所租DVD 返还网站后，方可进行下一次租赁；

6. 网站允许用户租赁的时间最长只能为一月。

三、模型的分析与建立

3.1问题一的模型

基于网络市场实际与题中信息，可以认为每个会员每个月至少提交一次租赁定单，且60%的会员一个月内有两次租赁，40%的会员一个月只有一次租赁要求。租赁时会员需将所租DVD 返还网站后，方可进行下一次租赁，而网站对会员所租DVD 的服务期无严格限制，具体分发时网站将根据现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。因此，根据上述分析，我们作出了2.2的基本假设。

3.1.1模型一

由上述分析与基本假设，每月租赁一次与两次的会员分别以15天和30天为租赁周期，其DVD 分发网络如图1所示：

即DVD1在月初进行分发时分成11P ，12P 两部分。11P 表示第Ⅰ类会员中获得DVD1的会员的数量，同样12P 就是在第Ⅱ类会员中获得DVD1的会员的数量。当然，11P 与12P 之和也就是我们应购买的DVD1数量；于是我们首先得到目标函数

12111min P P V += (1)

在经过15天后，12P 张DVD 就可返还回来，紧接着又作第二次分发，将这12P 张DVD 分发给在第一次分发中未能得到DVD 的会员，其中分发到第Ⅰ类会员与第Ⅱ类会员的DVD 数量分别为13P ，14P ，于是有

141312P P P += (2)

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4 那么目标函数就可转化为

1413111min P P P V ++= (3) 这里应该注意到的是，第Ⅰ类会员与第Ⅱ类会员的具体会员事先是不确定的，那么不能主观地认为某些编号的会员就是属于第Ⅰ类会员或第Ⅱ类会员。根据随机分布的有关原理，这里相对稳定且可预测的就是此两类会员的人数比，它是稳定在已知频率之比的一个极小邻域内，于是有

12114.06.0P P = (4) 根据强大数定理，当样本空间充分大时，事件发生的频率稳定于概率，当月在进行第二次分发时，可理解为

14134.06.0P P = (5) 由于希望看到DVD1的会员中获得过DVD1的会员数至少有50%，因此，有 N M

A P P P P 114131211%50≥+++ (6) 综上所述，我们得到了关于解决DVD1购置问题的模型

1413111min P P P V ++=

141312P P P +=

12114.06.0P P = 14134.06.0P P = (7) N M

A P P P P 114131211%50≥+++ 为非负整数14131211,,,P P P P

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5

3.1.2 模型二

根据模型一的分析，我们得知一个月内一部分DVD 将流通一次，而另一部分DVD 将

(图2) 第一次分发每种DVD 的情况为21k k P P +,而要使DVD 得到充分利用，则第一个月租出的DVD 的数量为DVD 的购买量，那么目标函数为

min 21k k k P P V += (9) 观察图2,不难得出约束条件，即

10

9856

54112111078

7634

32k k k k k k k k k k k k k k k k k k k P P P P P P P p P P P P P P P P P P P +=++=++=++=++= (10)

当样本空间充分大时，根据马氏链的平稳性，在以后每次分发中，仍然可以认为两类会员的比率保持稳定，于是有

12

91110

798

576

354

312

14.0)(6.04.0)(6.04.0)(6.04.0)(6.04.0)(6.04.06.0k k k k k k k k k k k k k k k k k P P P P P P P P P P P P p P P P P =+=+=+=+=+= (11)

且 N M

A P k n kn %

95121≥∑=， 为非负整数kn P (12) 3.2 问题二的模型(模型三)

由于网络市场在线DVD 租赁时，顾客缴纳一定数量的月费就成为会员，订购DVD 租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，会员提交的订单包括多张DVD ，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。因此，我们认为当会员得到自己最偏爱的DVD 时，其满意度是最高的，并随着会员的偏爱程度的序号增大而递减。又因会员所偏爱的DVD 有所不同，网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发，并通过快递的方

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

6 式尽可能满足要求。因此，满意度ij s (其中ij s 它表示第i 位会员希望获得第j 种DVD 产生

的满意度)与偏爱程度ij z （其中ij z 为题中表2的常数矩阵，它表示第i 位会员对第j 种DVD 的偏爱程度）之间的关系可合理的表示为

引入0-1变量ij x ，当0=ij x 时，表示第j 种DVD 不分发给第i 位会员;当1=ij x 时，表示第j 种DVD 分发给了第i 位会员。于是本问题的目标函数为

max S =∑∑==R i K

j ij ij x s 11)*( (R 为在线订单会员数，K 为DVD 的种类) (14)

这里在线订单会员数R =100，DVD 种类K =20。考虑到总的DVD 库存数量∑=K

j j C 1的限

制和在线订单会员人数的实际，每次分发时，当DVD 全部分发出去后，本次可能有部分会员不能获得想看的DVD 。因此，会员得到该DVD 的情况有两种

31=∑=K j ij x

或01=∑=K

j ij x (15) 为了方便，引入i y (0-1变量),上式即每个会员所获得的DVD 数量可表示为 31=∑=K

j ij x i y (i=1,2,……R ) (16)

约束条件的确定，每种DVD 租赁不能超出该DVD 的库存数量，有

j R

i ij c x ≤∑=1 (j =1,2,……k )

即该模型为

∑∑===R i K

j ij ij x s S 11)*(max (17) j R

i ij c x ≤∑=1 (j =1,2,……K )

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

7 31=∑=K

j ij x i y (i =1,2,……R ) (18)

ij x ，i y =0或1

3.3 问题三的模型(模型四)

本问题为如何决定每种DVD 的购买量，以及如何对这些DVD 进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD ，并且满意度最大？即要求满意度最大且购入DVD 数量最小，因此，该问题是一个多目标规划问题，其目标为

∑==K j j b W Min 1, ∑∑===R i K

j ij ij x s S Max 11)*( (19)

本问题的关键是网站成本及优化流通，由于有60%的会员每月租赁DVD 两次，根据强大数定理，应有60%的DVD 在一个月内将进行两次分配。为了降低成本，又要满足95%的会员看到自己希望要看的DVD ，从这两个角度出发，我们假定在一个月内新购DVD ，每个会员仅租赁一次，综上，得到了新购DVD 分发流通的约束条件 3*100*%95%601111

≥+∑∑∑∑====R i K

j ij R i K j ij x x

i K j ij y x 31

=∑= (10或=i y ) (20)

j R

i ij b x =∑=1

(10或=ij x )

此外，模型为多目标规划，涉及到应如何调整属性的问题。面对属性确定而言，一般情况下，应依据第一步中所了解的“决策人”的喜好来确定，或者是根据该目标函数在“决策群”所起的作用即这个目标函数的重要性来确定，而重要的是，所有目标函数属性的和(设i λ为目标函数i f 的属性)满足 11=∑=n

i i λ。接下来我们考虑到满意度与成本

之间的重要性关系，会员满意度是网站继续发展下去的关键，如果只有很少或没有会员对网站满意，那么网站的失败是必然的，但一味追求会员满意度，而造成成本过高，将使得网站入不敷出，网站也就失去生存意义，我们认为满意度与DVD 的购买量同等重要，即5.021==λλ.因此，可将该多目标模型转化为单目标规划模型

∑==K j j b W Min 15.0- ∑∑==R i K

j ij ij x A 11)*(5.0 (21)

i K

j ij y x 31=∑=

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

8

j R

i ij b x =∑=1

(22)

3*100*%95%6011

11

≥+∑∑∑∑====R i K

j ij R i K j ij x x

五、模型的求解

5.1 问题一，其中m A =[200 100 50 25 10];M=1000；通过Lingo8.0编程(程序见附页2program1.lg4和program2.lg4)得到最终结果：

50%以上的会员在一个月内能看到该DVD(DVD1—DVD5)至少准备的数量如下

6250 3125 1563 782 313

95%以上的会员在三个月内能看到该DVD(DVD1—DVD5)至少准备的数量如下 3960 1980 990 495 200 5.2 问题二，其中DVD 的种类为j=20，在线订单人数R=100，在线订单会员对各种DVD 的偏爱程度，现存数量j C = [8, 1, 22, 10, 8, 40, 40, 1, 8, 15, 19,20, 10, 2, 5, 8, 30, 10, 8, 38]；通过Lingo8.0编程（见程序附页2 Program3.lg4）得到如下结果, 表2为各种DVD 的分配情况：最大满意度为：151.2444

5.3问题三，我们利用程序(Program4.lg4)按顺次求解方法,得到每种DVD 的购买量

j B =10 ,5, 10, 7, 7, 6, 9, 13, 12 ,7 ,9, 8, 11, 9, 13, 7, 10, 9, 13, 5 一共180张DVD ，分配方案如下：首先将180张DVD 分配给60个会员，在这60个会员当中，有24人左右应是一个月租赁一次DVD 的会员，另外约有36人是一月租赁两次DVD

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

的会员，在当月中旬之前第Ⅱ类会员将返回108张DVD进行第二次分发。其最大满意度为：183.3333(本问题的分配方案不唯一)

DVD分配方案见附页1

六、结果分析

1．根据计算结果，虽然对每种特定的DVD会员，所想要看的DVD有些不同，且租赁周期也所不同，但在分发过程中，我们所购买的DVD在第一次分发时均应被全部分发。在一定周期内，能找到合理的分发方案，满足会员满意度最大且网站购入DVD数量最小的双重指标。

2．在DVD的分发过程中，由于模型要求考虑会员整体的满意度的最大化，因此，在分发过程中，部分会员有可能在短期内不能获得到DVD，只得在下次的配发过程中再将他所想要的DVD配发给这些会员。本问题提出的情况是一些特殊情形，事实上，网站每天将分批次处理大量DVD租赁定单，为提高DVD流通速度，网站管理中心将会尽量缩短DVD在中心的存储时间，可理解为随时分发返回DVD，这样即使要等到下一批次的配发，会员也不会觉察到时间上的差异。

3．综合考虑成本以及会员满意度的关系，认为二者同等重要，通过本问题的实施，结果与表中实际数据基本稳合。因此，兼顾商家的经济效益与社会声誉不矛盾。

七、模型的评价、改进及推广

根据已知模型与现实的情况，若使分发次数增长，即在DVD的流通量不变的前提下，使得流通速度不断增加，则可使得以较少的DVD来尽可能满足绝大多数会员，则若已知有哪些会员每个月租赁次数为两次，则可先将DVD分发给他们，即只要等到本月中旬，就可再次分发，像这样每月皆优先考虑第Ⅱ类会员，那么便于增大了DVD流通的速度，在较短的时间内绝大多数会员都能被满足，这样还有一个好处就是，因为第二会员返还DVD速度快，那么长此以往，每天返还的DVD与每天发出的DVD形成一个连续流动的平衡态，这样还可忽略了等待某种DVD所需要的时间，使得在网络各个分发中心周围的会员基本上不须要等待已租出的DVD，而分发中心也无需进行整日整月的分发，只须根据某日流回的DVD以及随之而到的订单便可随时进行再次分发，使得分发过程连续不断。

此外，对于问题一的第二问，本文从转移的情况，认为第Ⅰ类与第Ⅱ类人的比例在下一个月中仍然保持恒定，从马尔柯夫链平稳分布是可行的。但是如果对历史数据的分析中也可以考虑另一种假设，认为从一个状态开始，随第一次分发的进行，部分会员将退出DVD流通系统，根据会员流量密度将系统动态化处理，思考了一些具体的改进方案，但通过实际program5.lg4，其误差相对较小。因此，本模型在网络市场上及其它动态流通系统中均有一定的推广价值。

参考文献：

[1] 韩中庚数学建模方法及其应用(第一版),信息工程大学,高等教育出版社，2005年

[2].胡运权.运筹学基础及应用(第三版),哈尔滨,哈尔滨工业大学出版社，2000年

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本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

附页1(第三问DVD的分配方案)

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本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

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本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

附页2(程序)：

1、Program1.lg4

model:

sets:

i5/1..5/:x,r,a;

endsets

min=@sum(i5:x);

@for(i5:@gin(x));

@for(i5(i):0.6*x(i)+x(i)=r(i));

@for(i5(i):r(i)/(100*a(i))>=0.5);

data:

a= 200 100 50 25 10;

enddata

end

2、Program2.lg4

sets:

i5/1..5/:;

j6/1..6/:;

k2/1..2/:;

link(i5,j6,k2):x;

endsets

min=x(1,1,1)+x(1,1,2);

@for(link:@gin(x));

0.6*x(1,1,1)=0.4*x(1,1,2);

0.6*(x(1,3,1)+x(1,2,1))=0.4*x(1,3,2);

0.6*(x(1,4,1)+x(1,3,1))=0.4*x(1,4,2);

0.6*(x(1,2,1)+x(1,1,1))=0.4*x(1,2,2);

0.6*(x(1,6,1)+x(1,5,1))=0.4*x(1,6,2);

0.6*(x(1,5,1)+x(1,4,1))=0.4*x(1,5,2);

x(1,1,2)=x(1,2,1)+x(1,2,2);

x(1,2,1)+x(1,3,2)=x(1,4,1)+x(1,4,2);

x(1,4,1)+x(1,5,2)=x(1,6,1)+x(1,6,2);

x(1,1,1)+x(1,2,2)=x(1,3,1)+x(1,3,2);

x(1,3,1)+x(1,4,2)=x(1,5,1)+x(1,5,2);

@sum(link(i,j,k)|i#eq#1:x(i,j,k))>=0.95*20000; end

3、Program3.lg4

model:

sets:

12

本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

i100/1..100/:k;

j20/1..20/:b;

link(i100,j20):a,x,w,y;

endsets

max=@sum(link(i,j):x(i,j)*w(i,j));

@for(link(i,j):@bin(x));

@for(i100:@bin(k));

@for(link:@free(y));

@for(link(i,j):y(i,j)=@if(a(i,j)#eq#0,-1,a(i,j)));

@for(link(i,j):w(i,j)=@if(y(i,j)#eq#-1,0,1/y(i,j)));

@for(i100(i):@sum(j20(j):x(i,j))=3*k(i));

@for(j20(j):@sum(i100(i):x(i,j))<=b(j));

data:

a=D2005Table2

b=8 1 22 10 8 40 40 1 8 15 19 20 10 2 5 8 30 10 8 38; enddata

end

4、Program4.lg4

model:

sets:

i100/1..100/:k,k1;

j20/1..20/:b;

link(i100,j20):a,x,x2,q,y;

endsets

min=0.5*@sum(j20:b)-0.5*@sum(link:x*q)-x4;

xhl=@sum(link:x *q);

x1=@sum(j20:b);

!ab=@sum(link:q*@if(k(i)#eq#1,0,x(i,j)));

@for(link(i,j):@bin(x));

@for(link(i,j):@bin(x2));

@for(j20:@gin(b));

@for(i100:@bin(k));

@for(i100:@bin(k1));

@for(link:@free(y));

@for(link(i,j):y(i,j)=@if(a(i,j)#eq#0,-1,a(i,j)));

@for(link(i,j):q(i,j)=@if(y(i,j)#eq#-1,0,1/y(i,j)));

@for(i100(i):@sum(j20(j):x(i,j))=3*k(i));

@for(j20(j):@sum(i100(i):x(i,j))=b(j));

@sum(link:x)+0.6*@sum(link:x)>=285;

@for(i100(i)|i#gt#60:k1(i)=1);

x4=@sum(link(i,j)|i#gt#60:x2(i,j)*q(i,j));

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本问题是DVD在线租赁的策划问题,涉及到网站对DVD流通的预测与运筹,其关键问题是市场运行管理中怎样预测DVD最小购买量与如何健全租赁体制的问题,以提高客户服务系统中会员的满意度指数。

@for(i100(i)|i#gt#60:@sum(j20(j):x2(i,j))=3*k1(i));

data:

data=data2005Table

enddata

end

5、program5.lg4

model:

min=x;

!@gin(x/4);

@gin(x);

0.6*(x*0.75/12000+(1-x*0.75/12000)*(x*0.75/(12000-x*0.75)))+0.25*x/8000*0.4 >=0.5;

end

14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1zp4.html