高考专业精品文档(1922)

勾股定理初步

知识巩固

1．勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2。

2．勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

3．常用勾股数

⑴整数边：(3，4，5)；(6，8，10)；(5，12，13)；(7，24，25)；(8，15，17)；

(9，40，41)等

∶3∶2和。 ⑵含特殊角：(30°，60°，90°)和(45°，45°，90°)的三角形三边之比分别为11∶∶12 ⑶如果(a，b，c)是一组勾股数，那么(ak，bk，ck)也 是一组勾股数(k为正数)。

重点题与易错题

【例1】

图1和图2中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_____，该定理的结论其数学表达是_____ 。其中图1是中国数学史上有名的______(数学家的名字)弦图，又叫勾股圆方图。请简单写出两个图的证明过程。

【例2】

勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的(如图所示)，同学们，如果直角三角形ABC的三边长为a，b，c(c为斜边)，试利用此图证明a2＋b2＝c2 。

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【例3】 已知，两个正方形如下图并列排列，要求剪两刀(剪的为直线哦)，使之拼成一个新的正方形。 ⑴如图，若正方形边长分别为1、2，请在图中画出剪切线。

⑵如图，若正方形边长分别为a、b(a＞b)，请画出剪切线并标出各边的长度。

【例4】

⑴如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7m，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，请你计算一下， 此时梯子底端应再远离墙_____m。

⑵如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为______。

⑶已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为_________。

【例5】

⑴把图1的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处 (如图2)，已知∠MPN＝90°，PM＝5，PN＝12，那么矩形纸片ABCD的面积为____。

⑵如图，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将它折叠，使点D与点B重合，求折叠后BE的长和折痕EF的长分别是( ) A．5cm，10cm

B．5cm，3cm C．6cm，10cm

D．5cm，4cm

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竞赛题与压轴题

【例6】

如图，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB且AD＝3，过B作BE⊥AB且BE＝1，连结DC、EC，若AB＝5，设AC＝x。

⑴DC＋EC的长为____________(用含x的式子表示，不必化简)；

⑵当点C的位置满足_________时，DC＋EC的长最小，最小值是________； ⑶根据以上结论，你能通过构图求出x2?4?图，适当加以说明并求出此最小值。

?4?x?2?25的最小值吗？请画出你的示意总结与拓展

1．掌握勾股定理及证明过程

2．通过勾股定理去证明三角形是直角三角形

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