2014年 深圳 高二下学期期中考试（数学理科）

高二下学期期中考试数学（理科）

命题人：甘超

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．把正确答案填涂在答题卡上 1．设复数z1?1?i,z2?3?i，则z?z1在复平面内对应的点在（ ） z2A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2． 函数y?sin(x?A.[?4)在下列区间为的单调递减的是（ ） 3??,] C. [0,?] D. [??,0] 44?5?4,4] B. [?3． 函数y?f(x)的图象如图所示，则f?(x)的图象最有可能是（ ）

4．若?为三角形的内角，且sin?cos???，那么sin??cos?的值为（ ） 18A.?3355 B. C. ? D. 2222n5． 用数学归纳法证明(n?1)(n?2)?(n?n)?2?1?3???(2n?1)(n?N*)，从“k到k+1”，左端需要乘的代数式为（ ） A.2k+1 B.2(2k+1) C. 2k?12k?3 D. k?1k?16．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线方程为( ) A.x?16y B.y?16x C.x?8y D.y?8x

2222(x?7．已知命题p:函数f(x)?sin2?6)满足f(?3?x)?f(?3?x)；命题q:函数

g(x)?sin2(x??)可能是奇函数（θ为常数），则复合命题“p?q”，“p?q”“?q”

中为真命题的个数为( )

A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3个 8． 若f(x)??12x?bln(x?2)在(?1,??)上是减函数，则b的取值范围是（ ） 2第 1 页 共 12 页

A．[?1,??) B．(?1,??) C．(??,?1] D．(??,?1)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答卷上．

9．已知f(x)??2x2?8x?6，则y?f(x)图像与x轴围成的面积为______________. 10．已知sin(???)?1,则cos(2???)?_____ . 62009311．电视台某节目的现场观众来自四个单位，分别在图中四个区域内坐定，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色不受限制，那么不同着装的方法有_______________种（用数字作答）.

12．某班新联欢晚会原定5个节目已安排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入到原节目单中，那么不同插法种数是__________（用数字作答） 13．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此下去，得图（3）??，

试用n表示第n个图形的边数an=______________. 14．三位同学在研究函数f(x)?x(x?R)时，分别给出下面三个结论： 1?|x| ①函数f(x)的值域为（－1，1）； ②若x1?x2，则一定有f(x1)?f(x2)； ③若规定f1(x)?f(x),fn?1(x)?f[fn(x)]，则fn(x)?x对任意n?N*恒成

1?n|x|立，你认为上述三个结论中正确有_________（填写命题符号） 三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分12分） 证明下列问题

(1)求证：2?11?3?10

(2)设a,b,c,为均大于1的数，且ab?10； 求证：logac?logbc?4lgc 16（本小题满分12分）

如图，函数y?2sin(?x??)(x?R,0????2)的图象

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与y轴交于点(0,3),且在该点处切线的斜率为2． （1）求?和?的值；

（2）若将y?2sin(?x??)图像向右平移m(m?0)个单位得到函数图像关于y轴对称，求m的最小值。

17．（本小题满分14分）

如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB,CB//DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M 是EC的中点。 （1） 求证：DM⊥EB; （2） 求二面角M-BD-A的余弦值。 .

18．（本小题满分14分） 已知三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)在x??1处取得极大值，且f(x)?2是奇函数. (1)若函数f(x)的图像在x=0处的切线与直线l：x?3y?1?0垂直，求f(x)的解析式； （2）当x?[?1,1]时，不等式f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围； 19. （本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知点A（2，0）、B（－2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB的斜率之积为?3. 4 (1)求动点P的轨迹C的方程； （2）过点（1，0）作直线 l与轨迹 C交于 E、F两点．线EF的中点为M，求直线MA的2斜率k的取值范围．

20（本小题满分14分）.

x2设函数f(x)?给定数列{an}，其中a1?a?1,an?1?f(an)(n?N*).

2(x?1)(1) 若{an}为常数列，求a的值；

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(2) 判断an与2的大小，并证明你的结论；

?1?(3) 当2?a?3时，求证：an＜2+???2?n?1 2008-2009学年度下学期高二期中考试 数学（理科）试题评分标准 一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1.D 2.A 3.C 4. D 5.B 6.A 7.C 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 81n?1 10. ?；11. 84 ； 12.42； 13. 3?4；14.①②③ 320092311.解法一：分三类：仅有两种服装，有A4=12种种法；仅有三种服装，有2A4=48种种法； 2344仅有四种服装，有A4=24种种法.共有A4?2A4?A4?84. 解法二：按区域1?2?3?4顺序着装，可分A、C同色与不同色有

4?3?(1?3?2?2)?84 解法三：列出树状图如下：假设着装颜色分为A，B，C，D，四种，按区域1?2?3?4顺序着装 BACDACDABDABCBCDBDBCBCDcDBcBCDCDDBBABCCDBADBACD

ACDADACACDcDAcACDCDDA

第一区着装为A颜色时，有21种 第一区着装为B颜色时，有21种

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ABDADBAABDBDBDBDADABDACBDCBDCADABCADBC DBCDABABDABCACBCABCcBAcBCABABC

第一区着装为C颜色时，有21种； 第一区着装为D颜色时，有21种 共有4?21?84种 12.解法一：分两类第一类：两个节目相邻时，把两个节目插入原来5个节目所产生的6个

112空档中有：A6=6种方法，另外这两个节目本身互换有A2?2种，故有A6?A2?12 2第二类：两个节目不相邻时，是把两个节目插入原来5个节目所产生的6个空档中有A6?302种， 122故有A6+A6?A2?42种。 解法二：先把两个节目中的一个插入原来5个节目所产生的6个空档中有6种方法，再把剩下的一个节目插到6个节目所产生的7个空挡中有7种方法，故共有6?7?42种方法。 三.解答题：本大题共6小题，共80分． 15（满分12分）. （1）证明：要证2?11?3?10， 需要证?2?11???23?10 1分 ?2需证：13?222?13?230 3分 需证22?30 5分 因为22<30 所以22?30,

故2?11?3?10. 6分 （2）证明： 要证logac?logbc?4lgc 需证

lgclgb??4lgc 7分 lgalgc第 5 页 共 12 页

由于c>1,只需要证

11??4 8分 lgalgb

即证

lga?lgb1?4需证?4

lgalgblgalgb1 9分 4需证0?lgalgb?由于ab=10, 则lgab=1即lga+lgb=1 而a,b均为大于1 的数，即lga>0

且lgb>0,则lga+lgb≥2lgalgb 0?lgalgb?1 11分 4故logac?logbc?4lgc 12分 16（满分12分）解：（1）将x?0， y?3代入函数y?2sin(?x??)得 sin????3，因为0≤?≤，所以??． 3分 232又因为y??2?cos(?x??)，y?x?0?2，???3，所以2?cos(??0??3)?2 即??2， 6分 （2），由（1）知y?2sin(2x?由五点法作图知，即当x??（8分） 由于y?2sin(2x??3)． 5????5?时，当sin(2x?)??1，取2x???，得x??1233212?3)周期为?即把y?2sin(2x??3)图像向右平移k??2?5?(k?Z)12单位时，得到函数的图像都关于y轴对称。 5?(k?Z) 10分 2125?由于m>0,故m的最小值为 12分

12即m=k???

17（满分14分）.

（1）证法一：取BE中点N，连MN，AN，则MN为三角形BCE中位线，所以

MN//BC，又∵AD//BC，

∴MN//AD，故D、M、N、A共面， 2分 又AD⊥平面ABE，∴MN⊥平面ABE，

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又∵BE?平面ABE，∴MN⊥BE 3分

又∵AE=AB，所以AN为等要直角三角形BAE底边BE上的高，即AN⊥BE 又∵AD∩NM=N

∴BE⊥平面ANMD 4分 又DM?平面ANMD

∴BE⊥DM。 5分

证法二：建立如图所示的空间直角坐标系并设EA=DA=AB=2CB=2 则D（0，0，2）、C（0，2，1）， B(0，2，0)，E(2，0，0)，M(1，1，(1) DM=(1，1，-

1)。 23)，EB =(-2，2，0) （3分） 2因为DM?EB=0从而得DM?EB (5分) (2) 解法一：设n1=（x，y，z）是平面BDM的法向量。 则由n1?DM, n1? DB及DM=（1，1，-3）， 2DB=(0，2，-2) ?3?n1?DM?0?x?y?z?0?得：? ??2???n1? DB?0?y?z?0可以取x=1，则n1=（1，2，2）。 （10分） 显然，n2=（1，0，0）为平面BDM的法向量。 （12分） 设二面角M-BD-A的平面角为?，则此二面角余弦值 cos?=cosn1,n2=n1?n2n1?n2=1 3（14分） 解法二：取AB中点F，取BD中点H，连NF,FH 由于FH为三角形DAB的中位线，所以FH//AD 所以HF⊥平面ABE，结合MN⊥平面ABE 则FH//MN 6分 又NF为三角形BAE的中位线，所以NF//AE 容易证明：EA⊥平面ABD

NF⊥平面ABD 7分 过M作MG⊥平面ABD，则BD⊥GM，

且垂足必然在FH上，过G作GP⊥BD交于P点 又∵MG?GP=G ∴BD⊥平面MGP ，MP?平面MGP

∴BD⊥MP∠GPM为二面角M-BD-A的平面角。 9分

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不妨设EA=DA=AB=2CB=4

由以上证明可知道NMGF为矩形，所以MG=NF=MN为三角形BCE中位线，所以MN=由于FH=

1AE=2， 21BC=1，即FG=NM=1 10分 21AD?2=BC且HF⊥AB，BC⊥AB，所以BCHF为正方形，则FC⊥BH 2FG=1=

1//1122FH，所以G为FH中点，则GPFC= 12分 2?22?2一442∴tan?MPG?MG2??22， GO22∴cos?MPG?分

11 14?21?tan?MPG318（满分14分）．解：（1）?f（x）-2是奇函数，? f（-x）-2= -?f(x)?2?， ?f（x）=ax3+bx2+cx+d,∴-ax3+bx2-cx+d-2=-ax3-bx2-cx-d+2, ∴bx2+d-2=0, ?x?R, ∴b=0,d=2, (2分) ∴f（x）=ax3+cx+2，∴f’(x)=3ax2+c ? f（x）在x= -1处取得极大值， ∴f’(-1)=0，∴3a+c=0, ∴c=-3a 3分 又?直线l：x-3y+1=0的斜率为1 ，f（x）的图像在原点处的切线与直线l垂直。 3∴f’(0)= -3，c= -3 ∴a=1， 5分 ∴ f’(x)=3x2-3=3（x-1）（x+1）， ?当x＜-1时，f（x）=x3-3x+2。f’(x)＞0，当-1＜x＜1时，f’(x) ＜0， ∴f（x）在x= -1处取得极大值，符合题意。 ∴f(x)?x?3x?2 7分

(2)由（1）知f（x）=ax3-3ax+2，f’(x)=3ax2-3a=3a（x-1）（x+1）， 8分 令f’(x)=0，得x=1或x= -1。

? f（x）在x= -1处取得极大值， 9分

∴当x＜ -1时，f’(x)＞0.当-1＜a＜1时，f’(x)＜0，

∴a＞0. 10分

当x???1,1?时，不等式f（x）?0恒成立等价于f（x）min?0， 11分

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3

， 12? f（x）在??1,1?上是减函数，∴ f（x）的最小值为f（1）

分

∴f（1）?0，∴ 2-2a?0，∴ a?1。 13分

综上所述，a的取值范围是0＜a?1。 14分

19（满分14分）．解：（1）设P(x,y),依题意，有 kpa?kpb=

yy3???（x??2） （2分） 2?xx?24x2y2??1(x??2)，这就是动点P的轨迹C的方程 （5分） 化简得43说明：没写x??2扣1分。 （2）解法一:依题意，可设M(x，y)、E(x+m，y+n)、F（x-m，y-n）， ?(x?m)2(y?n)2??1??43则有? （6分） 22?(x?m)?(y?n)?1?3?44mx4nyn3xy?0?=0 得到kEF==?=， （8分） 143m4yx?222由此得点M的轨迹方程为6x+8y-3x=0（x?0） （10分） 1设直线MA：x=qy+2（其中q=）， k两式相减，得则??x?qy?222?6x?8y?3x?0得到（6q2+8）y2+21qy+18=0 （12分） 故由??(21q)?72(6q?8)?0得出q?8,即221?8， k解之得k的取值范围是???11?,? 。 （14分） ?88?11x2y2??1相交的两点EF中点显解法二：当过点(,0)垂直于x轴的直线x?，与椭圆

2243然为(,0)，∴kAM?0，说明0是所求范围内的一个值。 （6分）

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11当直线过点(,0)不垂直x轴时设直线AEFM方程为y?u(x?)，

22

x2y2??1并整理得 代入43(3?4u2)x2?4u2x?u2?12?0 （*）

由于过椭圆内一点作直线与椭圆必然相交，所以??0，设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x,y) 那么x1,x2是方程（*）的两根，由韦达定理得 x4u2x1?x21?x2?3?4u2则x?2?2u23?4u2 ① 又y?y1?y2x?x213u2?u(12?2)??2(3?4u2) ② （ 8分） ①÷②得到:u??3x4y,又∵u?y?02yx?1?2x?1 （ 9分） 2∴?3x4y?2y2x?1 由此得点M的轨迹方程为6x2+8y2-3x=0（x?0） （10分） 以下解法同解法一. 2解

法三：由解法二知道：x?x1?x22u2?3?4u2y?y1?y22?u(x1?x213u2?2)??2(3?4u2) ?3u那么kMA?y?02(3?4u2)?3u2u1x?2x?2u2??6?6u2?4?4u2?1 3?4u2?24(u?u)当u>0时，

11u?u?2kMA??1?1

4(14?28u?u)当u<0时，∵

1(?u)?(?u)?2,∴1u?u??2k1MA???1 4(1u?u)8第 10 页 共 12 页

；

11故：??kMA?

88说明：(1)本题第(2)小问解法一利用点差法时,设E(x1,y1),F(x2,y2)代入椭圆方程，求EF中点(x,y)的轨迹方程请给出相应分数

(2) 第(2)小问解法中,若没有讨论直线斜率不存在而直接设直线MA方程为

1y?k(x?)求解，扣1分.

2

20（满分14分）．解析：（1）若?an?为常数列，则an=a由an+1=f（an）， 得：a=f（a） （1分）

x2a2，?a?， ?f(x)?2(x?1)2(a?1)，解得：a=2 （4分） ? a＞1，?a=2（a-1）（2）当a=2时，有（1）知an=2； （5分）

22aana1当a?2时，?a1=a，an+1=f(an)=，∴ a2==， 2(a1?1)2(a?1)2(an?1)2∴a2-2=a22(a?1)2-2=a?4a?4(a?2)22(a?1)=22(a?1)＞0，∴ a2＞2， (6分)

(a2?2)2a2-2=＞0，?a3＞2，猜想当n?2时，an＞2。 （ 7分） ?a3-2=2(a2?1)2(a2?1)下面用数学归纳法证明： 1°当n=2时，a2＞2，故猜想成立; 2°假设当n=k（k?2）时，猜想成立，即ak＞2，即当n=k+1时， （8分）

akak?4ak?4(ak?2)2ak+1=f（ak）=，∴ak+1 - 2＞= 2(ak?1)2(ak?1)2(ak?1)22 （9分）

由1°2°可知，对于一切不小于2的正整数n都有an＞2. 综上所述，当a=2时，an=2； 当1＜a＜2时，a1＜2，an＞2（n?2） 当a＞2时，an＞2. （10分）

1a?1?11an1 (3)由an+1==×n=(an+1+)

2an?12(an?1)2an?122?当a＞2时，an＞2，?1＜1， an?1第 11 页 共 12 页

∴

11111（an+1+）＜（an+1+1）= an+1，∴ an+1＜ an+1 （11分） 2222an?11a-21（ an-2），∴0＜n?1＜， （12分） 22an?2

∴0 ＜an+1-2＜

∴an-2=

11an-2a-2×?×2×（a1-2）＜（a1-2）（）n-1=（a-2）（）n-1

22an?1?2a1?21n-1

），（13分）21 ?2＜a＜3，? an＜2+（）n-1 ， （14分）

2∴an＜2+（a-2）（

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