微积分解决的经济问题

用微积分知识解决的经济问题 第 一 章 常见经济函数

1. 需求函数与供给函数

需求量是指在特定时间内,消费者打算并能够购买的某种商品的数量,用Qd表示.影响需求的因素很多,主要有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,?,Pn,个人的收入M,消费者对未来商品价格的预期pe,个人的偏好h等等.

若除商品的价格P外,影响需求的其他因素不变,则Qd是P的一元函数

Q d = f (P)

它通常是一个单调减函数,常见的需求函数有

Qd?a?bP(a,b?0)

?b Qd?aP(a,b?0)

?1P?f(Qd)称为需求函 有时,也把Qd = f (P)的反函数

数.

如果影响需求的各种因素均变化,则Qd是各因素的多元函数

Qd?f(P；P1,P2,?,Pn；pe；M；h)

供给量是指在特定时间内,厂商愿意并且能够出售的某种商品的数量,用Qs表示.影响供给的主要因素有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,?,Pn,厂商对未来商品价格的预期Pe,生产投入的的要素成本C及厂商的技术状况ρ等.

若除了商品的价格P外,影响供给的其他因素均不变,则Qs是P的一元函数

Q s = g (P)

它通常是一个单调增函数,常见的供给函数有 P Qs??a?bP(a,b?0)

PQdQs0QQbQ?aPs

如果影响供给的各种因素均变化,则

Qs是各因素的多元函数

Qs?g(P；P1,P2,?,Pn；Pe；C；ρ) 图1—1

当Qd=Qs时,市场的供需处于平衡状态,此时的价格P称为均衡价格,需求(或供给)量称为均衡数量(如图1—1所示).

当商品由某厂商独家生产时,厂商是价格的制定者,它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产,其产量即需求量,价格与产量(需求量)的关系由需求函数确定,称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时,各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态,此后商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为(改变产量或需求量)不再影响市场均衡,称该商品市场为完全竞争市场.

例1 洗衣机厂生产一种型号的洗衣机,当价格为每台1500元时,需求量为6500台,价格每降低1元,则可多卖出10台.求需求量Q与价格P之间的函数关系. 解 由题意知,需求量Q与价格P之间为线性函数关系

Q?6500?10(1500?P) ?21500?10P

例2 已知某商品的需求函数和供给函数分别为 Qd?14?1.5P,Qs??5?4P 求该商品的均衡价格和均衡量. 解 由供需平衡条件有 14?1.5P??5?4P 解得均衡价格为

P?195.5?3.45(a,b?0)

将均衡价格代入需求函数,得均衡量为

2. 总成本函数、总收入函数和总利润函数

在生产和经营活动中,如果投入的各要素价格不变,则成本C是产量或销售量Q的函数C=C(Q),称为总成本函数.一般地,总成本由固定成本C0和可变成本C1两部分组成

C (Q)= C0+ C1(Q)

其中固定成本与产量无关,如厂房、设备的折旧费、企业管理费等,可变成本随产量的增加而增加,如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数有 C (Q)= C0+aQ (a>0) 以总成本除以产量,得平均成本函数

11Q?97?8.82

C0(Q)?C0C(Q)?C(Q)Q?C0Q?C1(Q)Q?C0(Q)?C1(Q)

Q与Q分别称为平均固定成本与平其中

均可变成本.

厂商销售Q单位的商品所得收入为R=R(Q),称为总收入(益)函数.设商品的价格为P,则总收入函数为

R (Q)=PQ

?1P?f(Q),且产销均衡,则总收若商品的需求函数为

入函数为

?1 R(Q)=PQ=Qf(Q)

总利润L是总收入R与总成本C之差, 故总利润函数为

L(Q)?R(Q)?C(Q)

例3 生产某产品的固定成本为1万元,可变成本与产量(单位:吨)的立方成正比,已知产量为20吨时,总成本为1.004万元.求总成本函数和平均成本函数.

C1(Q)?C1(Q) 解 总成本函数

3 C(Q) = C0+ C1(Q)?1?kQ 将C(20)=1.004代入上式,得k =5?10?7,则总成本函数为

C(Q)?1?5?10?7Q3

平均成本函数为

QQ

例4 某工厂生产某产品,年产量为Q台,每台售价为250元,当年产量在600台以内时,可以全部售出.经广告宣传后又可再多售出200台,每台平均广告费20元.若再多生产,本年就销不出去了.试建立本年的销售总收入R与年产量Q之间的函数关系. 解 (1)当0?Q?600时,R(Q)?250Q； (2)当600?Q?800时,R(Q)?250?600?(250?20)(Q?600)=230Q+12000； (3)当Q?800时,R(Q)?250?600?230?200?196000. 则所求函数关系为

C(Q)?C(Q)?1?5?10?7Q2250Q,??R(Q)??230Q?12000,??196000,

例5 里昂混凝土公司是阿肯色州北部唯一的供应

混凝土的垄断企业.企业的混凝土需求函数为P?110?4Q,公司的固定成本为400,每生产一个单位的混凝土需增加10个单位的成本,该公司的最大生产能力为18,给出其总利润函数并计算盈亏平衡点处的产量及价格.

解 收入函数与成本函数分别为

R(Q)?PQ?110Q?4Q2 C(Q)?400?10Q

该公司的利润函数为

L(Q)?R(Q)?C(Q)

??4Q2?100Q?400 (0?Q?18)

令L(Q)=0,得盈亏平衡时的产量Q=5(Q=20舍去),

0?Q?600600?Q?800Q?800

此时价格P=90.

当厂商生产多种不同的产品时, 成本、收入和利润均为各产品产量的多元函数.

例6 某企业生产A,B两种产品,产量分别为Q1,Q2,该企业的总成本函数为

22C?2Q?QQ?2Q?200 1122

在下列各种情形下,求该企业的总利润函数：

(1) A,B两种产品为不同品牌的同类产品,其总需求函数为Q?60?P,其中P为两产品共同的价格,Q为两产品的总需求,Q=Q1+Q2；

(2) A,B两种产品为不同类型的产品,有各自的市场,需求函数分别为

Q1?50?0.5P1,Q2?75?P2 其中P1,P2分别为两产品的价格；

(3) A,B两种产品为在市场上相互关联的产品,需求函数分别为

Q1?28?0.4P1?0.2P2,Q2?26?0.6P2?0.2P1 其中P1,P2分别为两产品的价格.

解 (1) 由Q?60?P得P?60?Q?60?(Q1?Q2),则总利润函数为

L(Q1,Q2)?R(Q1,Q2)?C(Q1,Q2)

?P(Q1?Q2)?C(Q1,Q2)2?(60?Q1?Q2)(Q1?Q2)?(2Q12?Q1Q2?2Q2?200)2?60Q1?60Q2?3Q12?3Q1Q2?3Q2?200 (2) 从两产品的需求函数分别解得

P1?100?2Q1,P2?75?Q2 故得总利润函数为

L(Q1,Q2)?R(Q1,Q2)?C(Q1,Q2)

?P1Q1?P2Q2?C(Q1,Q2)2?(100?2Q1)Q1?(75?Q2)Q2?(2Q12?Q1Q2?2Q2?200)2?100Q1?75Q2?4Q12?Q1Q2?3Q2?200

(3) 联立两产品的需求函数

?Q1?28?0.4P1?0.2P2?Q?26?0.6P?0.2P21?2解得

?P1?110?3Q1?Q2? ?P2?80?2Q2?Q1

则总利润函数为

L(Q1,Q2)?R(Q1,Q2)?C(Q1,Q2)

?P1Q1?P2Q2?C(Q1,Q2)2?(110?3Q1?Q2)Q1?(80?2Q2?Q1)Q2?(2Q12?Q1Q2?2Q2?200)2?110Q1?80Q2?5Q12?3Q1Q2?4Q2?200

例7 某电脑公司销售某品牌的电脑,一周内需求

量x(台)和上周末的进货量y(台)均在[50,80]内变化.每销出一台电脑,可获利200元,若供不应求,可向其他公司调剂,每台仍可获利50元,若供过于求,通过降价仍可全部售出,但每台要亏损100元.试将该公司一周内销售该品牌电脑获取的利润z表示成需求量x与进货量y的函数.

由题意知,50?x,y?80.

当商品供不应求时, 50?y?x?80,利润z?200y?50(x?y);

当商品供过于求时, 50?x?y?80,利润z?200x?100(y?x). 利润函数为

?50x?150y,z?f(x,y)???300x?100y,

50?y?x?8050?x?y?80

例8 已知生产Q对汽车挡泥板的成本为

C(Q)=10+(美元),每对挡泥板的售价为5美元. 销售Q对挡泥板的收入与利润分别为R(Q)、L(Q).求：

(1)

Q???1?Q2lim[C(Q?1)?C(Q)]及

Q???lim[L(Q?1)?L(Q)]；

(2) Q???limC(Q)?limC(Q)QQ???.

解 (1)

Q???lim[C(Q?1)?C(Q)]

?lim Q???[Q????lim[10?1?(Q?1)2?(10?1?Q2)]1?(Q?1)2?1?Q2]2Q?1

?limQ???1?(Q?1)2?1?Q2

2?1?(1?1Q1Q)2?1Q2

?limQ???Q2?1=1

?lim?[R(Q?1)?C(Q?1)]?[R(Q)?C(Q)]? Q???

?lim?[R(Q?1)?R(Q)]?[C(Q?1)?C(Q)]? Q???

?5?lim[C(Q?1)?C(Q)]Q??? =4

Q???lim[L(Q?1)?L(Q)] (2) Q???limC(Q)?limC(Q)QQ???

10?1?Q2Q10Q?12

?limQ???

?1)?1Q 3. 生产函数

生产函数是指产量Q与各种投入要素之间的函数关系

Q?f(x1,x2,?,xn)

其中x1,x2,?,xn为n种要素的投入量.

如果只考虑两种投入要素：资本K和劳动L,则生产函数为

Q=f(K,L)

保持产量为Q0不变,称方程f(K,L)=Q0的曲线为等产量线,

?lim(Q???等产量线上不同的要素投入组合所得产出相同,不同的等产量

线代表不同的产出水平(如图1—2所示). 经济学中讨论的生产函数通常都满足

r f(λK,λL)=λf(K,L) (λ>0) 称为r次齐次函数. r>1时, f(λK,λL)>λ

f(K,L)(λ>1),称为规模报酬递增；r<1时, f(λK,λL)<λf(K,L)(λ>1),称为规模报酬递减；r=1时, f(λK,λL)=λf(K,L),称为规模报酬不变. 常见的生产函数有

(1) 线性生产函数 Q=aK+bL (a,b>0)

___

(2) CobbDouglas生产函数 Q=AKαLβ(A,α,β?0) (3) 常替代弹性生产函数

Q=A(δ1K

例9 经济学中,称函数Q=A[δK?(1?δ)L]ρ为常替代

δ1?δ弹性生产函数,称Q?AKL为Cobb—Douglas生产函数.试证明：ρ?0limQ?Q.?ρ?ρ?1?ρ图 1—2

?δ2L)?ρ?1ρ(A?0,0?δ1,δ2?1,?1?ρ?0)

?ρ 证明 ρ?0limA[δK?(1?δ)L?ρ?ρ?ρ]1ρ?1ρ

?Alimeln[δKρ?0?(1?δ)L]?

?ρ ?Ae?limln[δK?ρ?(1?δ)L]ρ?ρρ?0

?ρ ?AeδlnK?(1?δ)lnL ?Ae

ρ?0limδKlnK?(1?δ)LlnLδK?ρ?(1?δ)L?ρ

?Ae ?AKδL1?δ 4. 效用函数

效用是用来度量消费者消费一定数量的商品组合时所获得的总满足程度的变量,它是消费者所消费的商品数量的函数,称为效用函数.

只考虑一种商品时,效用函数为 U=f(x) y其中U为效用,x为消费的商品数量,效用函数一般为增函数.

考虑两种商品时,二元效用函数为 U=f(x, y) 0其中x, y为两种商品的消费量.

将U视为常数,方程f(x, y) =U的曲线称为无差异曲线,

表示不同的消费组合所得效用相等(如图1—3所示).

常见的二元效用函数有

U?Axαyβ(A?0,0?α,β?1)1?δlnKδLU1U3U2x图 1—3

U?Alnx?Blny(A,B?0)

5．消费函数与储蓄函数

宏观经济学中,用Y表示国民收入,C表示居民的消费支出,S表示居民的储蓄(可支配收入中没有被消费的部分).在不考虑其他因素的前提下,消费C与储蓄S均为国民收入Y的函数C=C(Y),S=S(Y),分别称为消费函数与储蓄函数.显然Y=C+S. 6. 外币兑换中的损失

某人从美国去加拿大度假,他把美元兑换成加拿大元时,币面数值增加12% ,回国后他发现将加拿大元兑换成美元时,币面数值减少了12%.问经过这一来一回的

兑换后,他亏损了吗？

设f1(x)为将x美元兑换成的加拿大元数,f2(x)为将x加拿大元兑换成的美元数,则

f1(x)?x?x?12%=1.12x,x?0 f2(x)?x?x?12%?0.88x,x?0

而f2[f1(x)]?0.88?1.22x?0.9856x?x,故f1,f2不互为反函数,即经过这一来一回的兑换后,他亏损了1.44%.

参 考 文 献

[1] 李兴灿.高等数学应用205例.1997.高等教育出版社

[2] 谢明文.微积分教程.2002.西南财经大学出版社

[3] 张银生 安建业.实用微积分同步教练.2002.中国人民大学出版社

[4] 龚德恩.经济数学基础(第一分册 微积分)(修

订本第2版).1996.四川人民出版社

[5] 厉以宁.西方经济学.2000.高等教育出版社

....

[6] [美]H克雷格彼得森 W克里斯刘易斯.管理

经济学.吴德庆译. 1998.中国人民大学出版社.PRENTICE HALL出版公司

第 二 章 边际函数与弹性 1. 一元经济函数的边际函数

经济学上将函数的导数称为边际函数.以总成本函数C=C(Q)为例,其导数

平均成本函数为

Q

可变成本函数为

C(Q)?C(Q)?25?15Q?3Q2?55Q

C1(Q)?25Q?15Q?3Q

2?L(Q)?6Q?Q 例7 某商品的边际利润函数为,Q为该

商品的销售量,销售此商品的盈亏平衡点为Q=3,求总利润函数.

解

因商品的盈亏平衡点为Q=3,则L(3)=0,代入上式可得c??18,故总利润函数为

3L(Q)?23?L?(Q)dQ??(6Q?Q2)dQ?3Q?2Q3?c

设总量函数P(x)在区间I上可导,其边际函数为P?(x),[a,x]∈I,则有总量函数

3a

当x从a变到b时,P(x)的改变量为

L(Q)?3Q?2Q3?18P(x)??P?(u)du?P(a)xa

将x改为产量Q且a=0时,将P(x)代之以总成本C(Q),总收入R(Q),总利润L(Q),可得

?P?P(b)?P(a)??P?(x)dxb

C(Q)??C?(x)dx?C(0)0QQ

为可变成本.

其中C(0)即为固定成本, ?0

R(Q)??R?(x)dx0QC?(x)dxQ (因R(0)=0)

0

例8 已知某公司独家生产并销售某产品,销售Q单位商品时,边际收益函数为

L(Q)??L?(t)dt?C(0)

R?(Q)?ab(Q?b)2?c(元/单位)

求：(1)求公司的总收益函数；(2)该产品的需求函数. 解 (1)总收益函数为

R(Q)??0QR?(x)dx??Q??ab?c?dx?0(x?b2)????

Qab?ab?????cx??a??cQx?bQ?b?0 ?

(2) 设产品的价格为P,则R=PQ=函数为

P?aQ?abQ(Q?b)?c?aQ?b?ca?abQ?b?cQ,得需求

例9 某企业生产Q单位的某种产品边际成本为C?(Q)?350?60Q?3Q2元/单位,固定成本为300元,边际收益为R?(Q)?410?3Q元/单位,求：

(1)产量为5单位时的总成本； (2)该企业的最大利润.

解 (1) 产量为5单位时的总成本为

C(5)??(350?60Q?3Q2)dQ?30005

=1425(元) (2)边际利润函数为

令

L?(Q)?0,?(350Q?30Q2?Q3)50+300

解得Q=20(?1不合题意应舍去),因

L??(Q)??6Q?57,故L??(20)??63?0,则在生产20单位时,总利润最大,最大利润为

L(20)??(?3Q2?57Q?60)?300020L?(Q)?R?(Q)?C?(Q)??3Q2?57Q?60

?(?Q3?572Q2?60Q)20?3000=4300(元)

当经济总量y为时间t的函数y=?(t)时,其导数??(t)为时刻t处y的变化速度,即在时刻t单位时间内经济总量的变化值.类似于前面的讨论,由变化速度??(t)?f(t)可利用不定积分或定积分求函数y=?(t),或其改变量?y

?(t)??f(t)dt

其中的积分常数由给定的某时刻的总量函数值(常为初始值)确定.或者

?(t)??f(τ)dτ??(0)0tt

其中?(0)为y的初始值,?0f(τ)dτ为[0,t]这段时间内y的增加值.

?y??(T2)??(T1)??f(t)dt1T2T

例10 设资本总量K是时间t的函数K?K(t),称为资本函数,其导数I(t)?K?(t)为投资者在t时刻单位时间内的净投资.设净投资函数I(t)?10t(百万元/年),t=0时,初始资本为100(百万元),试求： (1)资本函数K?K(t)；

(2)从第4年末到第9年末期间的追加投资量.

解 (1)

K(t)??I(?)d??K(0)0t

??10?d??1000t20=

934t3/2?100(百万元)

2 (2)

?K??I(t)dt?K(9)?K(4)280?160?22633(百万元) =

例11 某公司投资20百万元建一条生产线,投产后其追加成本和追加收入(成本和收入对时间t的变化

2/3G(t)?5?2t率,类似于边际函数的概念)分别为(百万

2/3E(t)?17?t元),(百万元).试确定该生产线使用多长时

间停产,可使公司获得最大利润,最大利润是多少？ 解 公司总利润为

L(t)?R(t)?C(t)?C0

其中R(t),C(t)为生产线后投产t年内的总收入和总成本,C0为生产线的投资成本.总利润的变化速度为 L?(t)?R?(t)?C?(t)?E(t)?G(t)?12?3t

令L?(t)?0,得t=8(此时追加收入等于追加成本),又L??(8)??2t?1/3t?8??1?0,所以当t=8时总利润达到最大值,即

应于投产8年后停产. 最大总利润为

L(8)??2/3?0L?(t)dt?L(0)?0(12?3t82/38)dt?20?38.4?20?18.4(百万元)

3. 多元经济函数的边际函数

与一元经济函数的边际函数类似,多元经济函数的偏导数有其相应的经济意义.

设需求函数为Q=f(P,P1,M),这里Q为商品的需求量,P为该商品的价格,P1为与此商品有关的另一商品的价格,M分别称为价格P的边际需求、相关价格P1的边际需求和收入M的边际

?Q?Q?Q?Q,,?P?P1?M为消费者的收入.偏导数

需求.在全微分中,令

dP?1,dP1?dM?0,即相关价格和收入不变,商品自身价格

dQ??P?P1?MdP??QdP1??QdM上涨1单位,则

?Q?dQ??Q?P,即在相关价格和收入不变,商

??Q?P品自身价格上涨1单位时,需求量近似减少

?Q?P?0单位(因

),对

?Q?Q,?P1?M?Q有类似解释.如果

?P1?0,说明两商品是

?Q相互竞争的(也称相关商品为替代品),如果

?P1?0,说明

?Q?0两商品是相辅的(也称相关商品为互补品).如果,说明需求量与收入同方向变化,商品为正常品, 如果

?M?Q?M,说明需求量与收入反方向变化,收入增加后需求量反而减少,说明商品为劣质品.

若厂商生产A,B两种产品, 产量分别为Q1,Q2.总成

?C?0本函数为C(Q1,Q2),其偏导数?Q1?Q2分别称为两种产品的边际成本,记作MCA,MCB.其中MCA表示在原有生产规模下,B产品的产量不变,多生产1单位的A产品所增加的成本,MCB有类似意义.称总收入函数R(Q1,Q2)的偏导数

?R,?C为两种产品的边际收入,记为MRA,MRB.分别表示

在另一产品产量不变时,多生产一个单位的产品所引起的收入的改变量.

?Q1?Q2,?R 生产函数Q=f(K,L分别称为资本K的边际产量和劳动L的边际产量,分别记为MPK与MPL,表示在另一投入要素不变时,单位要素对产量的贡献. 效用函数U=f(x, y分别为两商品的边际效用,记为MU,MU表示在另一商品的消费量不变时,多消费一个单位的商品所增加的效用,通常情况下,MU,MU?0.

0.40.6___Q?10KL,求K=8,L=20时例12. CD生产函数为

资本和劳动的边际产量.

解 资本和劳动的边际产量分别为

xyxy?Q?Q,)的偏导数?K?L?U?U,?x?y) 的偏导数

?Q?K??Q4K?0.6L0.6，?K?6K0.4L?0.4

在K=8,L=20时

?Q?K?Q?K(8,20)(8,20)??4(8)?0.6(20)0.6?6.93 6(8)0.4(20)?0.4?4.16

例

P为该商品的价格,P1为另一相关商品的价格,两种商品是何种关系？

?Q?ace?bP?cP1?0?bP?cP1Q?ae(a,b,c?0),其中13. 某商品的需求函数为

解 由?P1知两种商品为竞争商品.

例 14. 设Q=f(K,L)为一次齐次生产函数,即f(λK,λL)?λf(K,L).证明： (1)资本和劳动的边际产量函数；

(2)

Q??Q?KK??Q?LL?Q?Q,?K?LK都是投入比

L的

.

,证明 (1)取

f(??1L则

f(K,L)?KLQL)KL,1)?KL1L

Q?Lf(,1)?L?(K

其中

?(KL)?f(KL,1)为投入比L的函数.故有

?L??( 即

?Q?Q,?K?LK1K)???()?KLLL?QKKKKKK??()?L??()(?)??()???()?LLLLLLL2K?Q

都是投入比L的函数.

Q?L?(KL)???(KKK??K)K???()???()?LLLLL?? (2)

若生产函数Q=f(K,L)为k次齐次生产函数,即f(λK,λL)?λkf(K,L).可以证明

?K?L?Q?L ?K

此公式称为欧拉定理. 4. 要素替代

生产函数为Q=f(K,L),其中K为投入的资本,L为投入的劳动.若Q保持不变,对隐函数f(K,L) =Q求全微分得

?Q??QK??QLK??QL?kf(K,L) ?K(1)

dK??Q?L?dK?QK?dL?dQ?0dL?QK

一般情况下,边际产量

?Q?Q,?K?LK>0,故此时减少一种要素

的投入,必然要增加另一种要素的投入,才能保持产出不变.

在(1)式中,取dL=1,则动,

?QL?个单位的资本且产量保持不变.称 可代替QKdKdL?QL?QKdK???QL?QK0,即用一个单位的劳f(K,L)?QL

为边际替代率,它是等产量线上切线斜率的相反数.若图 2--1 用资本

代替劳动, 边际替代率为

MRTSKL??dLdK?MRTSLK????QK?QL.

例

0.60.4Q?25KL,求等产量曲线15 设生产函数为

25K0.6L0.4?10800上K=243,L=1024处的边际替代率MRTSLK.

?解 QK??10K0.6L?0.6 ?15K?0.4L0.4，QL

MRTSLK??QL?QK?2K3L

224331024?0.158当K=243,L=1024时,.即一单位劳动

可代替0.158单位的资本.

5. 一次齐次生产函数的等斜连线

设生产函数为Q=f(K,L),不同的等产量曲线上边际替代率相等的点的轨迹称为等斜连线.设每条等产量曲线上不同点处的边际替代率均不同,若f(K,L)为一次齐次生产函数,证明其任一条等斜连线为从原点出发的射线(见图2-2).

证明 因为f(K,L)为一次齐次生产函数,则f(λK,λL)=λf(K,L).两边对K求偏导数得 λf1?(λK,λL)?λf1?(K,L) 即

f1?(?K,?L)?f1?(K,L)MRTSLK?(1) 同理

f2?(?K,?L)?(2)

(2)与(1)相比得 即

f2?(K,L)

f2?(?K,?L)f?(K,L)?2f1?(?K,?L)f1?(K,L)

MRTSLK(λK,λL)?MRTSLK(K,L)

所以等产量曲线 f (K,L)=Q上的点(K,L)与等产量曲线f(K,L)=λQ上的点(λK,λL)处的边际替代率相等. 又因为每条等产量曲线上不同点处的边际替代率均不同,则对不同的产量水平λQ,这些点的连线为从原点出发的射线.

KKQ3Q2Q2Q30Q10Q1L图 2-2 L 例如,C-D生产函数f(K,L)=AK?L1??,边际替代率为

MRTSLK为常数k0MRTSLK??QL?QK?1??K?L

K??1??设,等斜连线方程为,是从原点出

发的射线.

6. C-D生产函数的扩张路线方程

生产函数为Q=f(K,L),其中K为投入的资本,L为投入的劳动,其价格分别为r与w.在不同的成本投入下,最优生产方式下各最优投入点的连线称为扩张路线

在两要素价格一定时,最优生产方式为两要素的边际产量之比(即边际替代率)

wMRTSLK??QL?QKk0L为两要素的价格

比r.故扩张路线是一条特殊的等斜连线.

例16 对C-D生产函数f(K,L)=100K0.5L0.5,若资本和劳动的价格分别为1和2求其扩张路线方程并计算在Q=1000时两要素的最优投入量.

解 由 可知,等斜连线方程为 KQ3Q2Q1

K?0.5kL?kL图 2-3

0 1?0.50

其中k0为给定的边际替代率.在最优生产方式下

则所求扩张路线方程为 K=2L 将扩张路线方程代入生产函数得

Q=f(K,L)=1002L

令Q=1000,解得L?52?7.07,K?2L?102?14.14. 7. 效用的边际替代率及其唯一性

设消费者消费A,B两种商品的效用函数为U=U(x, y), x, y分别为两商品的消费量.若减少一种商品的消费量,要保持效用为U0不变,则需增加另一种商品的消费量,即不同的商品之间对同一消费者而言可相互替代.函数U(x, y) =U0两边求全微分得

?QKrk0?MRTSLK??QL?w?2 U?xdx?U?ydy?dU0?0

边际效用U?x,U?y>0,故此时减少一种商品的消费,必然要增加另一种商品的消费,才能保持效用不变. 取dx=1,则

U?xU?ydy??U?xU?y,即用一个单位的商品A,可代替

个单位的商品B.称

MRSxy??dydx?U?xU?y

QdP12?0.5P

收入的价格弹性为

EP?PdQ?P(?0.5)?PP?24

ER EPEREP?1?EP?1??23?0.67PP?24?2P?24P?24

P?6

?P?2%P=6时,价格上涨2%,即P

?RP?6

说明收入将增加1.34%.

R?EREP?PP?0.67?2%?1.34%

EREPP?18

P=18时,价格上涨2%

P?18

说明收入将减少4%.

??2?RR?EREP?PP??2?2%??4%

令,得P=12,则在价格为12时,总收入最大.

10. 由需求价格弹性确定商品价格

需求函数Q=f(P)反映了消费者对商品的需求量与价格之间的内在联系,若商品定价过高,会减少需求量,使企业失去市场;若定价过低,又会减少企业的利润.因此,合适的定价,是使企业获利的关键所在.

一、需求价格弹性和预测销售量已知时的价格制定 设基期商品价格为P,销售量为Q,需求价格弹性为EP,已知预测期销售量为Q1,要确定预测期价格P1.

记?P?P1?P,?Q?Q1?Q.当|?P|?|P1?P|较小时

P?24EP?P??1?Q/QdQ/Q??EP?P/PdP/P ?Q?P?P?QEP

P1?P?(Q1?Q)?PQEP

由此得

此方法适用于需求函数未知且产量变化不大时产品的定价.

例21 某产品本月售价为85元/件,销售量为4000件,经测定需求弹性为-1.3,预计下月产量为4250件,下月价格应定为多少？

QEPQEPP1?P?(Q1?Q)P?P(1?Q1?Q)解

P1?P(1?Q1?QQEP)

(元/件)

二、需求价格弹性变化较小时价格的制定 当需求弹性变化较小时,可以假设需求函数为

E Q?KP(K,E0为常数,E0<0) 需求弹性为

0??85?1????85?1??4250?4000??4000?(?1.5)?4250?4000???814000?(?1.3)?EQdPKP

由需求函数可得

?1E01E0EP?PdQ?P0E0KPE0?1?E0

?1E01E0 P?KQ?K0Q(其中K0?K为常数)

例22 根据以往资料,某产品的需求价格弹性变化较小.当单价500元时,每月可销售8000件,此时价格弹性为-2.现有10000件存货,若要当月销完,价格应定为多少？

解 计算常数K0.由500?K080002得

1?1 K0?500?80002?44720

则销售量为10000件时,单价为

1E0 P?K0Q?44720?100002?447.2(元/件)

三、需求函数为线性函数时价格的制定

设需求函数为线性函数Q?a?bP(a,b?0),价格为P0时,销售量为Q0,需求价格弹性为EP,要确定销售量为Q1时的价格P1.

需求弹性为

0?1EP?PdQQdP??bPQ则有 于是

EP0??bP0Q0

，a?Q0?bP0?Q0?Q0EP

0b??Q0EP0P0

例23 某企业计划年度预计生产并销售某产品25000件.上年每件销售价格为385元,销量为18500件,价格弹性为-3.8.经测定该产品的需求函数为线性函数,问计划期产品价格应定为多少较为合理? 解

P1?P0(1?Q0?Q1Q0EP0)P1?a?Q1b?P0(1?Q0?Q1Q0EP0)

(元/件)

四、需求函数为线性函数时制定价格使总收益最大 设需求函数为线性函数Q?a?bP(a,b?0),价格为P0时,销售量为Q0,需求价格弹性为EP,要确定价格P使总收益最大.

需求弹性为

0?25000?18500??385?1???349.418500?(?3.8)??EP?PdQQdP??bPa?bP 则有 于是

EP0??bP0a?bP0

a?bP0(EP0?1)EP0

时,总收益最大,得最优价格为

EP02b?P0?P0(EP0?1)2EP0 当

EP??bPa?bP??1bP0(EP0?1)P?a2b?

P0(EP0?1)2EP0? 当EP0??1时,应降价.降价幅度为

0P0(EP0?1)2EP 当?1?EP?0时,应提价.提价幅度为

例24 某产品的需求函数为线性函数,其现行价格为每件38元,年平均销售量为80000件,经测定此时需求价格弹性为-1.6,问价格定为多少,可使总收益最大？

解 P0=38,Q0=80000,EP=-1.6.

00P?P0?P0(EP0?1)2EP038(?1.6?1)2?(?1.6)?38? ?30.875(元/件)

即当价格定为每件30.875元时,总收益达到最大. 11. 偏弹性

设需求函数为Q=f(P,P1,M),这里Q为商品的需求量,P为该商品的价格,P1为与此商品有关的另一商品的价格,M为消费者的收入.定义下列需求的偏弹性：

(1)需求的直接价格偏弹性

EP表示相关价格和收入不变时,需求量随商品自身价格变化的相对幅度的大小.

(2)需求的交叉价格偏弹性

EPQ?P?lnPEP1Q?P1?lnP1

EP表示在商品自身价格和收入不变时,需求量随相关价格变化的相对幅度的大小.如果EP?0,说明两商品是相

11EP?EQ?P?Q??lnQEP1?EQ?P1?Q??lnQ互竞争的；如果EP?0,说明两商品是相辅的；如果EP接近于0,说明两商品之间几乎不相关. (2)需求的收入偏弹性

11

EM表示在商品自身价格和相关价格不变时, 需求量随收入变化的相对幅度的大小. 例25. 设某商品的需求函数为

EMQ?M?lnMEM?EQ?M?Q??lnQ 200

计算需求的各偏弹性并说明两种商品间的关系. 解 将需求函数取对数得 于是有

lnQ??ln200?34lnP?38lnP1?14lnMQ?1P?34P1M?3814

?lnP4

说明相关商品的价格及收入不变时,商品自身价格上涨1%,需求量约减少0.75%,易见该商品是非弹性需求,应为生活必需品.

EP??lnQ??3??0.75

在商品自身价格及收入不变时,相关商品的价格上涨1%,此商品的需求量约减少0.375%,因EP<0,两商品之间是

?lnP181EP1??lnQ??3??0.375

相辅的,且两商品的相关程度较高.

在商品自身价格及相关商品的价格不变时,如收入增加1%,需求量将只增加0.25%,说明此商品的市场已达到一定的饱和度.

12. 常替代弹性生产函数的替代弹性

生产函数为Q=f(K,L),其中K为投入的资本,L为投入的劳动,其价格分别为r与w.最优生产方式为两要素的边际替代率MRTSLK等于价格比wr.在最优生产方式下价格比的变化会引起两要素投入比KL的变化.称

?lnM4dKLEM??lnQ?1?0.25dKLKL??d

为替代弹性,用来反映最优生产方式下两要素投入比对两要素价格比的相对变化率,测度投入比对价格比反应的敏感性.当价格比改变1%时,两要素投入比将改变?%.

下面证明常替代弹性生产函数

wrLKwr?KLdMRTS?dlnKLLKMRTSdlnMRTSLK Q=A(?1K1????2L??)?1?(A?0,0??1,?2?1,?1???0)

的替代弹性为1??.

证明 两要素边际产量

?Q ?K?Q??A?(?1K????2L??1??1)?(??1?K???1)

1??1 ?A?1K ?K??A???1(?1K????2L??)1??1?

?(?1K????2L??)???1?(??2?L???1)

1??1 ?A?2L边际替代率为

(?1K????2L??)?

从而替代弹性

MRTSLK??K??2?????1?L?QKdlnKL?QL??1

dlnKL??dlnMRTSLK?

?dln??2dln????11KL??2dln????1??1???K?L??

KLKL???dln???dln??K??1L(??1)dln ??1 13. 生产力弹性与成本弹性

生产函数为Q=f(K,L),其中K为投入的资本,L为投入的劳动,其价格分别为r与w.成本函数为C=C(Q)=rK+wL,设生产要素的投入量按同一比例?变化,即

dK? KL

定义函数系数(或称生产力弹性)

dQ?dL???

函数系数μ是指在技术水平和要素价格不变的前提下,所有投入要素按同一比例变动时,产量的相对变动.若各要素均增加1%,则产量增加μ%.由此可见,它可用来判断规模报酬,若μ>1, 规模报酬递增;若μ<1,规模报酬递减;若μ=1,规模报酬不变.

成本弹性为

??Q CdQ

由弹性的意义可知,当产量增加1%时,成本将增加k%.

下面证明：μ?1k.

证明 由dC?d(rK?wL)?rdK?wdL得

k?QdCCdQ?QrK?wLrdK?wdLdQk?QdC

又因为dK??K,dL??L,则

k?QrK?wLr?K?w?LdQ??QdQ??dQ?1?Q

由μ与k的关系,若μ>1,则k<1,在要素价格不变的前提下,规模报酬递增时,产量增长1%,所需成本的增加少于1%;同理可知若μ<1,则k>1的经济原理.若规模报酬不变,要素增加1%,成本和产量都增加1%. 14. 生产力弹性与偏弹性

生产函数为Q=f(K,L), 其生产力弹性为

dQ

其中λ为资本K与劳动L共同的增长率

?dK??Q KL

证明 μ?EK?EL,这里EK,EL分别为产量对资本K与劳动L的偏弹性.

证明 由全微分公式

dQ??Q?KdK??Q?LdL?dL??得

dQ

Q??QdK?KQ??QdL?LQ?

??QKdK?KQK?QLdL?LQL?EK??EL?则有

dQ

此结论的意义为：EK表示投入的劳动L不变时,投入的资本K增加1%,则产量增加EK%, EL表示投入的资本K不变时,投入的劳动L增加1%,则产量增加EL%.当资本和

???Q?EK?EL劳动都增加1%时,产量增加(EK+EL)%=μ%,与生产力弹性的定义相符.

参 考 文 献

[1] 李兴灿.高等数学应用205例.1997.高等教育出版社

[2] 董洗印 杨静懿.微积分.1991.对外经济贸易大学出版社

[3] 谢明文.微积分教程.2002.西南财经大学出版社 [4] 龚德恩.经济数学基础(第一分册 微积分)(修订

本第2版).1996.四川人民出版社

[5] [美]E.T.道林.数理金融引论.荣喜民等译.2002.

科学出版社. McGraw-Hill Inc

[6] 杨小凯.数理经济学基础.1985.国防工业出版社 [7] 黎诣远.西方经济学,上册.1987.清华大学出版社

[8] 厉以宁.西方经济学.2000.高等教育出版社 [9] 孙茂竹 文光伟 杨万贵.管理会计学(第二版).2002.中国人民大学出版社

第 三 章 简单的经济优化

1. 最小平均成本

,求平均成本最

小时的产量、边际成本及最小平均成本. 解 平均成本函数为

C(Q)?C(Q)Q?9000Q?40?0.001Q2C(Q)?9000?40Q?0.001Q设成本函数为

令C?(Q)?0,得唯一驻点Q?3000(?3000不合题意,舍去),又因为

则在Q?3000时,平均成本最小,最小平均成本为

边际成本函数为

C(300)?90003000?40?0.001?3000?46C??(Q)?18000Q3?0C?(Q)??9000Q2?0.001

C?(Q)?40?0.002Q

在Q?3000时,C?(3000)?40?0.002?3000?46.

一般地,若成本函数为C=C(Q),则平均成本函数为 令

C(Q)?C(Q)Q

得C?(Q)?C(Q)?0,故平均成本在Q0处最小的必要条件为Q0处的平均成本等于边际成本 C?(Q0)?C(Q0) 又因为

C??(Q)?QC?(Q)?C(Q)?d???2??dQ?Q?1?C??(Q)?2C?(Q)Q??C(Q)?QC?(Q)?C(Q)?C?(Q)????Q?Q2??1?C?(Q)?C(Q)?0Q??

??

1Q0C??(Q0)在驻点Q0,则C??(Q0)?0等价于C??(Q0)?0,从而平均成本在Q0处最小的充分条件为Q0为唯一正驻点且C??(Q0)?0. 2. 最小成本问题

处,C?(Q0)?0, 则

C??(Q0)?

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