高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(3)_向量、解

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第五章 平面向量、解三角形

第二节 解三角形

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

1.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c

若a c ==且75A ∠=o ，则b =

( ) A.2 B ．4

＋．4

—

答案 A

解析

0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2

B =

由正弦定理得1sin 2sin 2

a b B A =?==,故选A 2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5

A =-，则cos A = ( ) A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213

- 答案 D

解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125

-

知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由13

12cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和. 3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ?中，12cot 5

A =-， 则cos A = ( ) A. 1213 B.513 C.513- D. 1213- 答案 D

解析 已知ABC ?中，12cot 5A =-，(,)2

A ππ∴∈.

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12cos 13

A ===- 故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ?中，1,2,BC

B A ==则cos A

C A

的值等于 ， AC 的取值范围为 .

答案 2)3,2(

解析 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得

,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ

=∴=?= 由锐角ABC ?得0290045θθ<

又01803903060θθ<-

，故23045cos 2

θθ<

<<， 2cos AC θ∴=∈

5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、

c ，已知22

2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理

有:2222223,22a b c b c a a c ab bc

+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22

2a c b -=,0b ≠.

所以2cos 2b c A =+ ① 又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

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sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C = 由正弦定理得sin sin b B C c =，故4cos b c A = ②

由①，②解得4b =.

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满

足cos 2A =，3AB AC ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

解 （1）

因为cos 2A =，234cos 2cos 1,sin 255

A A A ∴=-==，又由3A

B A

C ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22

ABC S bc A ?∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得

2222cos 20a b c bc A =+-=

，a ∴=

7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满

足cos 25

A =，3A

B A

C ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）5

31)552(212cos 2cos 22=-?=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=

-=A A

，而353cos .===bc A ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：25

4521sin 21=??=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=?-+=-+=A bc c b a

8.（2009北京理） 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π

=

，

4cos ,5

A b ==。

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（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）求ABC ?的面积.

【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．

解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π=

=， ∴23,sin 35

C A A π=-=，

∴21sin sin sin 32C A A A π??=-=+= ???.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin ,sin 5A C =

=，

又∵,3

B b π

==ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5

b A a B ==. ∴△ABC

的面积116sin 225S ab C ==?=. 9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+

3π)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2) 设A,B,C 为?ABC 的三个内角，若cosB=

31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解 （1）f(x)=cos(2x+3

π)+sin 2

x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 23322x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)

的最大值为

12+,最小正周期π. （2）()2c

f

=122C -=－4

1,

所以sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3C π

=,

又因为在?ABC 中, cosB=31, 所以

sin B =所以

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11sin sin()sin cos cos sin 23A B C B C B C =+=+=

+=. 10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2π???

<<-+x x x 在π=x 处取最小值.

（1）求?.的值;

（2）在?ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1=

=b a 23)(=A f , 求角C.

解 （1）1cos ()2sin cos sin sin 2

f x x x x ??+=?+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+

因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为0?π<<,所以2π?=

.所以()sin()cos 2f x x x π=+= （2）因为23)(=

A f ,

所以cos A =,因为角A 为?ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a b A B

=,

也就是sin 1sin 22

b A B a ===, 因为b a >,所以4π=B 或4

3π=

B . 当4π=B 时,76412

C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、

c ，2

3cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数

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值的制约，并利用正弦定理得到sinB=

23(负值舍掉)，从而求出B=3π。 解：由 cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=32

， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32

, sinAsinC=34

. 又由2

b =a

c 及正弦定理得 2sin sin sin ,B A C =

故 23sin 4

B =，

sin B =

或

sin B =（舍去）， 于是 B=3π 或 B=23

π. 又由 2

b a

c =知a b ≤或c b ≤ 所以 B =3

π。 11.（2009安徽卷理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=

13. （I ）求sinA 的值；

(II)设

，求?ABC 的面积.

解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42

B A π=-

，∴sin sin()sin )4222

B B B A π=-=-， ∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >

，∴sin 3A = （Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC B A = A B

C

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∴sin 31sin 3

AC A

BC B

=

=

=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

133=

+=

∴11sin 22ABC S AC BC C ?=

??== 12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在

ABC 中，C-A=， sinB=。

（I ）求sinA 的值；(II)设AC=

，求

ABC 的面积。

【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sin A 的式子，这之中要运用到倍角公式； （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S . 解（1）∵2

c A c A B π

π-=+=-且∴4

2

B A π

=

-

∴sin sin(

)sin )4

222

B B B A π

=-

=- ∴22111sin (cos

sin )(1sin )2

2223

B B A B =-=-= 又sin 0A >

∴cos A =

（2）如图，由正弦定理得sin sin AC BC

BC B A

=

=

∴sin 31

sin 3

AC A BC B ===?

sin sin()sin cos cos sin 13C A B A B A B =+=+=+?=?又

∴11sin 22S ABC AC BC C =

==?? 13.（

2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6

A π

=

，

(12c b +=．

（1）求C ；

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（2

）若1CB CA ?=+a ,b ，c ．

解：（1

）由(12c b += 得

1sin 2sin b B c C

== 则有 55sin()sin cos cos sin 6

66sin sin C C C C C

ππππ-

--=

=11cot 2222C +=+ 得cot 1C = 即4C π

=.

（2）

由1CB CA ?=+推出

cos 1ab C =；而4C π

=,

即得132

ab =+, 则有

12(12sin sin ab c b a c A C =??+=???=??

解得

12a b c ?=??=??=??

14.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

sin sin tan cos cos A B C A B

+=+,sin()cos B A C -=. （1）求,A C ；

（2

）若3ABC S ?=,求,a c .

解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B

+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，

即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，

得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).

即 2C A B =+, 得3C π

=，所以.23

B A π+= 又因为1sin()cos 2B A

C -==，则6B A π-=，或56

B A π-=（舍去）

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得5,412

A B π

π==

(2)1sin 32ABC S ac B ?===+ 又sin sin a c A C =, 即

2=，

得a c ==

15.（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===

（Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)42sin(π

-A 的值。

（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，

A BC C A

B sin sin =，于是522sin sin ===B

C A

BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC

AB BC AC AB A ?-+=2cos 2

22 于是A A 2cos 1sin -==5

5， 从而5

3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A 10

24sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=-=-π

π

π

A A A 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

16.（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，

且sin 510

A B == （I ）求A B +的值；

（II

）若1a b -=，求a b c 、、的值。

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解（I ）∵A B 、

为锐角，sin A B == ∴

cos A B ====

cos()cos cos sin sin 5105102A B A B A B +=-=

-= ∵ 0A B π<+<

∴ 4A B π

+=

（II ）由（I ）知34C π=

，∴

sin 2C = 由sin sin sin a b c A B C

==得

==

，即,a c ==

又∵

1a b -=

∴

1b -=

∴ 1b = ∴

a c ==17.（2009全国卷Ⅱ理）设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、

b 、

c ，

3cos()cos 2

A C

B -+=

，2b ac =，求B 分析：由3cos()cos 2A C B -+=，易想到先将()B A C π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=。

然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4

A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2sin sin sin

B A

C =，

进而得sin 2B =

.故233B ππ=或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=时，由1cos cos()2

B A

C =-+=-，进而得3cos()cos()212

A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。

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也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23

B π=

。不过这种方法学生不易想到。 评析：本小题考生得分易，但得满分难。 18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平

面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得

B 点和D 点的仰角分别为075，0

30，于水面C 处测得B 点和D

点的仰角均为060，AC ＝0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外

哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km

，≈1.414

≈2.449）

解：在ACD ?中，DAC ∠＝30°，ADC ∠＝60°－DAC ∠＝30°，

所以CD ＝AC ＝0.1

又BCD ∠＝180°－60°－60°＝60°，

故CB 是CAD ?底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA 5分

在ABC ?中，ABC

AC BCA AB ∠=∠sin sin ， 即AB ＝20

62351sin 60sin +=??AC 因此，km 33.020623≈+=

BD 故B 、D 的距离约为0.33km 。 12分

19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的

两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，0

30，于水面

C 处测得B 点和

D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两

点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km

≈1.414

≈2.449）

解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，

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在△ABC 中，,ABC sin C BCA sin ∠=∠A AB

即AB=,20

62315sin ACsin60+= 因此，BD=。km 33.020

623≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。

20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水

平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，

N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） .

②第一步：计算AM . 由正弦定理212sin sin()

d AM ααα=+ ； 第二步：计算AN . 由正弦定理221sin sin()

d AN βββ=- ； 第三步：计算MN.

由余弦定理MN =

方案二：①需要测量的数据有： A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）.

11,αβ

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②第一步：计算BM . 由正弦定理112sin sin()

d BM ααα=+ ； 第二步：计算BN . 由正弦定理121sin sin()

d BN βββ=- ； 第三步：计算MN .

由余弦定理MN =21.（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，

且sin 510

A B == （I ）求A B +的值；

（II

）若1a b -=，求a b c 、、的值。

解（I ）∵A B 、

为锐角，sin 510A B =

= ∴

cos 510

A B ====

cos()cos cos sin sin 2A B A B A B +=-=

= ∵ 0A B π<+<

∴ 4A B π

+=

（II ）由（I ）知34C π=

，∴

sin 2C = 由sin sin sin a b c A B C

==得

==

，即,a c ==

又∵

1a b -=

∴

1b -=

∴ 1b = ∴

a c ==22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC 中，a 、

b 、

c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=

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(Ⅰ)确定角C 的大小：

（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为23

3,求a ＋b 的值。

解（1

2sin c A =

及正弦定理得，sin sin a A c C ==

sin 0,sin 2A C ≠∴=Q ABC ?Q 是锐角三角形，3C π

∴=

（2）解法1

：.3c C π

==Q 由面积公式得

1

sin ,6232ab ab π

==即　　　　　　　　①

由余弦定理得

2222

2cos 7,73a b ab a b ab π+-=+-=即　　　　②

由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故

解法2：前同解法1，联立①、②得

2222766a b ab a b ab ab ??+-=+???==??＝１３

消去b 并整理得4213360a a -+=解得2249a a ==或

所以2332

a a

b b ==??

??==??或故5a b +=

23.（2009宁夏海南卷文）如图，为了解某海域海底构造，

在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =， 120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深

200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

解：作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．

DF ==

130DE ===，

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150EF ==．

在DEF ?中，由余弦定理，

2222221301501029816cos 2213015065

DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???. 24.(2009湖南卷理). 在ABC ?，已知

2233AB AC AB AC BC ?=?=，求角A ，B ，C 的大小.

解 设,,BC a AC b AB c === 由23AB AC AB AC ?

=?得2

cos bc A =，所以cos A =

又(0,),A π∈因此

6A π= 23AB AC

BC ?=

得2bc =

，于是2sin sin C B

A ?=- 所以5sin sin()6C C

π?-=

，1sin (cos )2

C C C ?=

，因此

22sin cos 220C C C C C ?+==，既sin(2)03C π-= 由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而 20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3

C π=故 2,,,636A B C πππ===或2,,663

A B C πππ===。 25..

（2009天津卷理）（在⊿ABC 中，AC=3，sinC=2sinA

(I) 求AB 的值：

(II) 求sin 24A π?

?- ???

的值 （Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，A BC C AB sin sin = 于是AB=522sin sin ==BC BC A C （Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得cosA=5

522222=?-+AC AB BD AC AB

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于是 sinA=55cos 12=

-A 从而sin2A=2sinAcosA=

54,cos2A=cos 2A-sin 2A=53 所以 sin(2A-4π)=sin2Acos 4π-cos2Asin 4π=10

2 26.（2009四川卷理）在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c

，且

3cos 2,sin 510

A B == （I ）求A B +的值；

（II

）若1a b +=，求,,a b c 的值。

解：（Ⅰ）A 、B

为锐角，sin 10B =

，cos 10B ∴== 又23cos 212sin 5

A A =-=，

sin 5A ∴=

，cos 5

A ==，

cos()cos cos sin sin 5105102A B A B A B ∴+=-=

?-?= 0A B π<+<

4A B π

∴+= （Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=

,sin 2C ∴=. 由正弦定理sin sin sin a b c A B C

==得

==

，即a =

，c =

1a b -=Q ，

1b -=，1b ∴=

a ∴==

27.（2009上海卷文） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，

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(s i n ,s i n B A =，

(2,2)p b a =-- . （1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；

（2）

若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q

即22a b a b R R

?=?，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b = ABC ∴?为等腰三角形

解 （2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即

a b ab ∴+=

由余弦定理可知， 222

4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=

即

4(1)ab ab ∴==-舍去

11sin 4sin 223

S ab C π∴==??=

2005—2008年高考题

一、选择题

1.（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、

c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,

则角B 的值为

（ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π 答案 D

2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.185

B.43

C.23

D.8

7 答案 D

3.（2008陕西）ABC

△的内角A 、

B 、

C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b ===，

努力今天 成就明天

~ 18 ~

则a 等于

（ ） A

B ．2 C

D

答案 D 4.（2007重庆）在ABC △

中，AB =45A =，75C =，则BC =

（ ）

Ａ．3

Ｃ．2

Ｄ．3 答案 Ａ 5.(2007山东)在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A.2AC AC AB =?

B.2BC BA BC =?

C.2AB AC CD =?

D.22()()

AC AB BA BC CD AB ???=

答案 C

6.（2006年全卷I ）

的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列， 且c=2a ，则cosB= ( ) A ．41 B ．4

3 C ．42 D ．32 答案 B

二、填空题

7.（2005福建）在△ABC 中，∠A =90°，k k 则),3,2(),1,(==的值是 .

答案 2

3- 8.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若

()

C a

A c b cos cos 3=-，则=A cos _________. 答案 3

9.(2008湖北)在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则

cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .

ABC ?

努力今天 成就明天

~ 19 ~

答案 612

10.（2007北京）在ABC △中，若1tan 3A =

，150C =，1BC =，则AB = . 答案 2

10 11.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b

，

c =B = ．

答案 6

5π 12.（2007重庆）在△ABC 中，AB =1,BC =2,B =60°，则AC ＝ .

答案 3

三、解答题

14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E

正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距

海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ

=26

，090θ<<)且与点A 相距

C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I ）如图，AB

，AC

,sin 26

BAC θθ∠== 由于090θ<<,所以cos θ

= 由余弦定理得

BC =.510cos 222=?-+θAC AB AC AB

所以船的行驶速度为

2

3=/小时）

.

努力今天 成就明天

~ 20 ~

（II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐

标系，

设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）,

BC 与x 轴的交点为D .

由题设有，x 1=y 1=

2

AB =40, x 2=AC

cos )30CAD θ∠=-=,

y 2=AC

sin )20.CAD θ∠=-=

所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210

=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d

7.=< 所以船会进入警戒水域.

解法二 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .

在△ABC 中，由余弦定理得，

222

cos 2AB BC AC ABC AB BC

+-∠=?

222

=10.

从而sin 10

ABC ∠=== 在ABQ ?中，由正弦定理得， AQ

=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE =AE -AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.

努力今天 成就明天

~ 21 ~

在Rt QPE ?中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=?∠=?-∠

=157.=< 所以船会进入警戒水域.

14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB 时，

可以选与塔底B 在同一水平面内

的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，

并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

解 在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得

sin sin BC CD BDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在Rt △ABC 中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=

+·． 15．（2007福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5

B =． （Ⅰ）求角

C 的大小； （Ⅱ）若ABC △

解 （Ⅰ）π()C A B =-+，

1345tan tan()113145

C A B +∴=-+=-=--?．又0πC <<，3π4C ∴=． （Ⅱ）34

C =π，AB

∴边最大，即AB = 又∵tan A ＜tan B ，A 、B ??

? ??∈2,0π∴角A 最小，BC 边为最小边． 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?==???+=?

，，且π02A ??∈ ???，，

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