上海立信会计学院 - 2009级微积分试卷B解答

上海立信会计学院 2009～2010学年第二学期

2009级本科 《微积分（二）》期终考试试题（B卷）

（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器） 共6页

班级________________学号________________姓名___________ 题号 得分 一

得分 二 三 四 五 六 总分 一、单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）

1、点（4，-3，5）到ox轴的距离为 （ ）

222（A）、4?(?3)?5 （B）、

(?3)2?52

22（C）、4?(?3) （D）、42?52

2、设z?x2?(y?1)arctan?zx，那么?（ ）

?x?2,1?y? (D)、 ? 2 (A)、2 (B)、4 (C) 、3、下列级数中发散的是（ ）

?11（A）、? （B）、?

n(n?2)3n?1n?1n?1? 1

?3n4（C）、?n （D）、?

2n?12n?1(n?1)(n?3)?4、微分方程y(3)?(y??)2?xy??y?x4的阶数是（ ）

（A）、1 (B)、2 (C)、3 (D)、4

5、交换

?dy?0011?y0f(x,y)dx的次序，则下列结果正确的是（ ）

y（A）、?1?ydx?1f(x,y)dy （B）、?dx?00y11?yf(x,y)dy f(x,y)dy

得分

（C）、?dx?f(x,y)dy （D）、?dx?0001x11?x0二、填空题（将最简答案填在横线上）（共15分，每题3分）

1、设f(xy,x?y)?x2?y2，则f(y,x)=

222、设z?lnx?y，则dz=

3、D：x2?y2?1，则??xyd?= D

4、?aq,a?0，当q满足条件 时收敛。

nn?1?

得分

5、微分方程(1?x)dy?(1?y)dx?0的通解为 三、计算题(需要有解答过程)（共36分，每题6分）

1、设u?cos(xy2)?y，试求ux,uy。

2、设u(x,y,z)?ex?y2?z3，试求du。

3、求微分方程y??tanyy?的通解。 xx4、计算二重积分

??Dx2?y2dxdy其中D：x2+y2≤2y 第一象限。.

5、求函数z?2x?y?6x的极值。

326、计算I??dx?011xedy。

2

xy四、判断题（要有解答过程，光给结论不得分）（共21分，每题7分）

得分

1、判别?nsinn?1?2的敛散性。 3n

2、判别?ln(1?n?1?2)的敛散性。 n

3、判别?

得分 五、应用题、（需有解题过程）（本题10分）

某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10万元与9万元，生产x单位甲产品与生产y单位乙产品的总费用为：

?n?1(?1)n是否收敛，若收敛说明是条件收敛还是绝对收敛。 n?1400?2x?3y?0.01(3x2?xy?3y2)（万元）

求：这两种产品各生产多少单位时，该单位可取得最大利润？并求最大利润。

得分 六、证明题（需有解题过程）（本题8分）

设z?z(x,y)由方程?(x?z,y?z)?0所确定，其中?具有一阶连续偏导数，

证明：

?z?z?= 1。 ?x?y

3

2009-2010学年第二学期

09级本科 《微积分（二）》期终考试试卷（B）解答

一、单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）

1、（B） 2、（B） 3、（A） 4、（C） 5、（D）

二、填空题（将最简答案填在横线上）（共15分，每题3分））

1、1、设f(xy,x?y)?x2?y2，则f(y,x)= x2?2y

222、设z?lnx?y，则dz= xdx?ydy

x2?y23、D：x2?y2?1，则??xyd?= 0

D4、?aq,a?0，当q满足条件 q?1 时收敛。

nn?1?5、微分方程(1?x)dy?(1?y)dx?0的通解为 C(1?x)?1 三、计算题（共36分，每题6分）

1、设u?cos(xy2)?y，试求ux,uy。

（3分）

（6分）

解：ux??y2sin(xy2)

uy??2xysin(xy2)?1

2、设u(x,y,z)?ex?y解：du?2?z3，试求du。

（2分）

?u?u?udx?dy?dz ?x?y?z2?z3?ex?y(dx?2ydy?3z2dz) （6分）

yy?的通解。 xx3、求微分方程y??tan解：令y?xu,?y??u?xu?, 1分

dududx?tanu，??? 4分 dxtanux积分得：lnsinu?lnx?lnC，即sinu?Cx， 5分

y所以通解为sin?Cx。 6分

x原方程化为：x

4

4、 计算二重积分

??Dx2?y2dxdy其中D：x2+y2≤2y第一象限 .

解：??r?rdrd? 1分

D=?2d???0???2sin??0r2dr 3分

?8?3=?2sin?d? 4分

03?=

16 6分 95、求函数z?2x3?y2?6x的极值。

2??zx?6x?6?0解：由?，得驻点(1,0),(?1,0) 2分

??zy?2y?0zxx?12x,zxy?0,zyy?2,D?24x?0,D(?1,0)??24,D(1,0)?24 zxx(?1,0)??12,zxx(1,0)?12, 4分

函数z在点(1,0)处取极小值z(1,0)??4, 在点??1,0?非极值点。

6分

6、计算I?xy?dx?0111xedy。

yxyI??0dy?0edx?y(e?1)dy?解：????0?1?2?4 ?6??(e?1)?12四、判断题（要有解答过程，光给结论不得分）（共21分，每题7分） 1、判别?nsinn?1?2的敛散性。 n3u解：limn?1?limn??un??n?n?1?sin23n?1?1<1， 4分 23nsinn3收敛。 7分

由比值判别法知，

?un?1?n 5

2、判别?ln(1?n?1?2)的敛散性。 n解：un?ln(1?2)?0, 1分 n2ln(1?)n?2 4分 limn???1n?所以原级数发散 6分 3、判别???n?1(?1)n是否收敛，若收敛说明是条件收敛还是绝对收敛。 n?1解：

?n?11发散 3分 n?111?0;?n?1n?11 6分 n?2而limn??

所以原级数收敛且条件收敛 7分 五、应用题、（需有解题过程）（本题10分）

某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10万元与9万元，生产x单位甲产品与生产y单位乙产品的总费用为：

400?2x?3y?0.01(3x2?xy?3y2)（万元）

求：这两种产品各生产多少单位时，该单位可取得最大利润，并求最大利润。 解：L?(10x?9y)

?[400?2x?3y?0.01(3x2?xy?3y2)]，3分

22=8x?6y?0.01(3x?xy?3y)?400 4分

??8?0.01(6x?y)?0 5分 由Lx L?(x?6y)?0 6分 y?6?0.01解得驻点为（120，80）

Lxx??0.06,Lxy??0.01,Lyy??0.06 8分

得x=120,y=80时该单位可得最大利润，且最大利润为320万元。10分

六、证明题（需有解题过程）（本题8分）

设z?z(x,y)由方程?(x?z,y?z)?0所确定，其中?具有一阶连续偏导数，

证明：

?z?z?=1。 ?x?y6

证明：?1????z??z??1??2?0， 3分 ?x??x?1?z， 4分 ??x?1??2??z?z?1?(1?)?2?0， 6分 ?y?y?z?2?y?? 1??2所以

?z?x??z?y?1。

7分 8分 7

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