质点动力学习题解答1

作业05（质点动力学3）

1..t1?t2。

2. 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B，用L和EK分别表示卫星对地心的角动量及动能，则应有[ ]。

A． LA?LB,EKA?EKB B. LA?LB,EKA?EKB

C. LA?LB,EKA?EKB D. LA?LB,EKA?EKB

答：［B］

解：人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动时，它们之间的引力沿着径向，因此角动量守恒

LA?LB

同时，由角动量的定义

rAvA?rBvB 由于rA?rB，所以vA?vB 因此

EKA?1122mvA?mvB?EKB 223. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮绳子两端。忽略滑轮和绳子的质

量。当它们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是[ ]。

A． 甲先到达 B. 乙先到达 C. 同时到达 答：［C］

解：由于此二人受到的力相同，质量相同，则加速度就相同。同时到达。 4. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力

???F?F0(xi?yj)作用在质点上，该质点从坐标原点运动到(0,2R)?位置的过程中，此力F对它做的功为_____。

答： A?2F0R

2/解：如图首先进行坐标变换，即将坐标原点移到圆周轨道的圆心o处，实际上，就是将x轴平移R。在新的坐标系中，圆周轨道?角

?处（矢径r），质点受到的力为

???F?F0(xi?yj)??//?F0[xi?(y?R)j]

???F0R[cos?i?(sin??1)j]在新的坐标系中，矢径为

???r?Rcos?i?Rsin?j

???dr?(?sin?i?cos?j)Rd?

元功表示为

??dA?F?dr?所以，质点从坐标原点运动到(0,2R)位置的过程中，F对它做的功为

???? 2?F0R[cos?i?(sin??1)j]?(?sin?i?cos?j)Rd??F0Rcos?d?A??dA???/2??/2F0R2cos?d??2F0R2

5. 一个半径为R的水平圆盘以恒定角速度?作匀速转动，一质量为m的人要从圆盘边缘走到圆盘中心处，圆盘对他做的功为_______。

答： A??1mR2?2 2解：人在从圆盘边缘走向圆盘中心处的过程中，尽管他的角速度不变，但圆周半径减小，线速度变小，动能变小。由动能定理，得到人在r?r?dr的过程中，圆盘对他做的元功为

1111m(v?dv)2?mv2?m?2(r?dr)2?m?2r22222

1?m?2rdr?m?2(dr)2?mr?2dr2因此，在R?O的过程中，圆盘对他做的功为

01222A?dA?mr?dr??mR? ??2R6. 今有劲度系数为k的弹簧（质量忽略不计）竖直放置，下端是一小球，球的质量为m，

dA?开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程外力做功为________。

答： A?mg/2k

解：过程结束，弹簧伸长量为 ?x?mg/k

以小球和弹簧为系统，它们之间的作用力是弹力（保守力），拉力是外力，没有非保守内力，根据功能原理，外力做功为

221m2g22A?E2?E1?k(?x)?0?

22k也可以由变力作功来求。弹簧伸长x时，加的外力为 F?kx

所以，元功为

dA?kxdx

弹簧伸长量为?x?mg/k，所以

11mg2m2g22A??dA??kxdx?k(?x)?k()?22k2k0?x

7. 地球绕日公转轨道是椭圆。设椭圆的长、短半轴分别为a和b。求地球位于近日点和远日

点时离太阳的距离。设地球位于近日点时的速率为v1，求它在远日点时的速率。 解：如图，太阳在椭圆转轨的一个焦点上。太阳到椭圆质心O的距离为

c?a2?b2

由图中的几何关系，得到地球位于近日点和远日点时离太阳的距离分别为

r1?a?a2?b2 r2?a?a2?b2

地球绕太阳的角动量守恒

r1v1?r2v2

r1a?a2?b2v2?v1?v1

22r2a?a?b8. 一陨石从距地面高h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，

求：（1）陨石下落过程中，万有引力做的功是多少？

（2）陨石落地时速度多大？（设陨石质量为m，地球质量为M，地球半径为R） 解：陨石受到地球的引力为

?Mm? F??G2rr（1）如图，建立OL坐标系，则

?Mm? F?GL2(R?h?L)引力做的元功为

??dA?F?dL?GMm??L?dLL2(R?h?L)Mm?GdL2(R?h?L)陨石下落到地球表面，万有引力做功为

h

A??dA??G0MmdL2(R?h?L)?GMmhR(R?h)

（2）根据动能定理，地球引力对陨石所作的功等于陨石动能的增量 GMmh1?A??EK?mv2?0

R(R?h)22GMh

R(R?h)v??????教材中，力F对质点做功，表示为dA?F?dr，但一定要注意“dr”是质点在力F作用

注意：本题中，我们使用的计算变力做功的办法很特别，但概念非常清晰。在一般的

下的位移。由于做功与路经有关，在有些情况下，路经与矢径的方向相反（比如本题），会引起概念上的混淆。因此，在本题中，我们建立了新的坐标系OL，使得坐标系的方向与路

???dA?F?dL，概念非常清晰，经的方向一致，这样，“dL”是质点沿路经方向的位移，元功

准确。当然，也有一定的麻烦，就是必须将其他变量都用这一个坐标系来表示。但换来的

是，清晰的物理概念，在解决实际问题中，是非常实用的办法。当然，在路经与矢径方向相同的问题中，没有必要因入这一坐标系，如，物体远离地球，求地球引力做功。请仔细品读本题的做法。

9. 一链条总长为L，质量为m，放在桌面上靠边处，并使其一端下垂的长度为a，设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为?，链条由静止开始运动。求：（1）到链条离开桌边的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌边的速率是多少？ 解：（1）如图，以链条为研究对象。建立坐标系。再下滑x长度时，情况如图所示。

受摩擦力为

??mf(x)??(L?a?x)g?i

L摩擦力做元功

??mdA?f(x)?dxi??(L?a?x)g?dx

L全部下滑完毕，摩擦力做功

A??dA??L?a0?(L?a?x)mmg?g?dx??(L?a)2 L2L

（2）以链条和地球为系统，摩擦力为外力。取全部下滑完毕时的最低点为重力势能零点。由功能原理，得到 ?mg?1Lmma(L?a)2?[mv2?mg]?[0?(L?a)gL?ag(L?)] 2L22LL2v?g2[(L?a2)??(L?a)2]2 L1

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