含 向 量 的 方 程

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含 向 量 的 方 程

唐登欣

在高三的一本数学复习资料中，有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题。下面在该题求解的的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程。

题目 已知a,b,c为非零向量且a b,x R, x1,x2方程ax2 bx c 0的两实根， 求证：x1 x2。

1 解法探讨

错解 因为a b则a b 0

2

b (ax bx )c 0

b ax2 b2x b c 0 得x

b cb

2

。

故，原方程只有唯一解，所以x1 x2。

错因分析 “将原方程两边同点乘b”，不是同解变形。

2 b (ax成立，除了ax2 bx c 0外，还有b (ax2 bx c)。 bx )c 0

所以

b cb

2

不一定是原方程的解。

正解1 由题意知x1,x2是方程的根

2

得 ax1 bx1 c 0 （1）

2

ax2 bx2 c 0 （2）

(1)有 (2)(x1 x2)[(x1 x2)a b] 0。

由a b，x1 x2 R，得(x1 x2)a b，于是(x1 x2)a b 0。 故得x1 x2。 正解2 假设x1 x2。

22

由已知 ax1 bx1 c 0，得c x1a x1b。

22

由ax2 bx2 c 0，得c x2a x2b。

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因为x1 x2，所以存在两组实数对( x12,x1)，( x22,x2)使c可用两个不共线的向量

a,b（由a b）表示。这与平面向量的的基本定理矛盾！所以x1 x2。

2 方程ax bx c 0（a,b,c为非零向量）的解的讨论

2

1）若a,b,c三个向量共线。

不妨设a 1c,b 2c，原方程变为c( 1x2 2x 1) 0，即 1x2 2x 1 0。

令 22 4 1，则

① 0时，原方程有两个不等的实根； ② 0时，原方程有两个相等的实根； ③ 0时，原方程无实数解。 2）若a,b,c中有且只有两个共线。

不妨设a b，则原方程变为( x x)b c 0。因为b,c不共线，所以原方程无解。

2

3）若a,b,c三个向量互不共线。

由平面向量基本定理知：存在唯一确定的有序实数对 1, 2，使c 1a 2b。

因为原方程ax bx c 0可化为c x2a xb。

2

x2 1

22

得 ，有 2 1。即 1 2 0

x 2

2

①当 1 2 0时，方程有唯一解x 2；

2

②当 1 2 0时，则方程无解。

说明：①上述方程中不能用判别式判断根的情况； ②不能用求根公式求解； ③韦达定理也不适用。 3 含向量的方程的解法

例1 解方程(3,1)x (2, 1)x ( 8, 6) 0，其中x R。

2

解 [方法1] 原方程可化为

(3x 2x 8,x x 6) (0,0)，

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2

2

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4 2

x 或x=-2 3x 2x 8 0得 ，故 ， 32

x x 6 0 x=-2或x=-3

得原方程的解为x 2。

[方法2] 设( 8, 6) 1(3,1) 2(2, 1)， 8 3 1 2 2 1 4 则 ，故 ，

6 1 2( 1) 2 2

由 4 22 0，得原方程有唯一解x 2 2。 例2 解方程

(2,3)x ( 4,2)y (6,5) 0，其中x R,y R。

解(2x 4y 6,3x 2y 5) (0,0) x 2

2x 4y 6 0 得 ，解得 1。

3x 2y 5 0y

2

（柯正摘自《数学通讯》2004年4月7 期）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1z14.html