高中数学第三章基本初等函数Ⅰ对数与对数函数对数及其运算积商幂

3.2.1 对数及其运算

第2课时积、商、幂的对数

课堂导学

三点剖析

一、利用对数运算法则的计算问题

【例1】计算:(1)lg12.5-lg 85+lg 2

1; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a

1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;

(4)2log 525+3log 264;

(5)log 2(log 216).

思路分析：要注意灵活运用对数的运算法则,要会正用法则,也要会逆用法则,更要会变形用法则.

解：(1)lg12.5-lg

85+lg 2

1 =(lg12.5+lg 21)-lg 8

5 =lg(12.5×21)+lg 5

8 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.

(2)log a n a +log a n a 1+log a n a

1 =

n 1log a a-nlog a a n

1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.

(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226

=4log 55+18log 22=4+18=22.

(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)

=log 24=log 222=2.

温馨提示

计算时要将式子中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题的具体需要正用及逆用法则,灵活地运用法则.

二、对数式的条件求值问题

【例2】已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.

思路分析：运用对数运算法则变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3的式子.

解：lg 45=

21lg45=2

1lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+2

1lg32 =2

1(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示

条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值的式子同时变形,找到共同点.

三、对数运算法则的综合应用问题

【例3】(1)化简27

lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:log

y

x 2=4. (1)解法一:先采用“分”的方法. 原式=3

lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ =3lg )34(3lg )21109541(--++=5

11. 解法二:采用“合”的方法.

原式=2781lg )327

93lg(21532152

-????=3lg 3lg 5

11=511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),

∴lgxy=lg(x -2y)2.

∴xy=(x -2y)2,

即x 2-5xy+4y 2=0.

∴x=4y 或x=y(舍去). ∴y x =4.

∴log 2y x =log 24=log 2(2)4

=4. 温馨提示

对数式化简的两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成若干个对数的代数和,最后进行化简;二是把同底的对数之和合并成一个对数,对真数进行化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题的重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲的方法.

各个击破

类题演练1

计算:(1)8lg 3

136.0lg 2113lg 2lg 2+++; (2)21lg 49324

3-lg 8+lg 245. 解析：(1)

8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++ =2

lg 6.0lg 13lg 4lg +++ =

)26.010lg(2lg ??=12lg 12lg =1. (2)

21lg 49324

3-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+2

1(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+2

1lg5 =21lg2+21lg5=2

1(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1

计算:(1)lg52+3

2lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)8

.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2

=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2

=2lg10+(lg5+lg2)2

=2+(lg10)2=3. (2)8

.1lg 10lg 3lg 2lg -+ =8

.1lg )10lg 9lg 2(lg 21-+ =8.1lg 21018

lg =21. 类题演练2

已知lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(

10

y )2的值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10

y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2. 变式提升2

已知3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).

解析：由3n =2,得n=log 32.

∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3

=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.

类题演练3

化简log 248

7+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法则,把log 2

487,log 212,log 242拆成若干个对数的代数和,然后再化简.

原式=

21log 24

237?+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 222

1-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数的底数相同,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 24248127??=log 221=21-.

变式提升3

证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.

证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5

=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5 =(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2

=(lg2+lg5)2

=(lg10)2

=1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1ywq.html