大学物理科学出版社第四版第一章质点运动学

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1 第一章 质点运动学

一、 基本要求

1． 掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动

和运动变化的物理量。

2．

能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。 3． 能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加

速度。

4． 理解伽利略坐标，速度变换。

二、 基本内容

1． 位置矢量（位矢）

位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所

引的一条有向线段r 表示。 r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。r 同时表

示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。

注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t r r =；（2）

相对性：用r 描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中

r 可以是不相同的。它表示了r 的相对性，也反映了运动描述的相对性；

（3）矢量性：r 为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。

在直角坐标系Oxyz 中

k z j y i x r ++=

222z y x r r ++==

r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos

质点运动时， ()t r r = （运动方程矢量式）

()()()??

???===t z z t y y t x x （运动方程标量式）

。 ２．位移

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2 ()(),j y i x t r t t r r ?+?=-?+=? r ?的模()()22y x r ?+?=? 。

注意：（１）r ?与r ?：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变

化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（２）r ?与s ?：s ?表示t —t t ?+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线运动时两者大小相同或0→?t 时，s r ?=? 。

3. 速度 dt

r d v =是描述位置矢量随时间的变化。 在直角坐标系中 k v j v i v k dt

dz j dt dy i dt dx dt r d v z y x ++=++== 2222

22z y x v v v dt dz dt dy dt dx v v ++=??? ??+??? ??+??? ??== v 的方向：在直线运动中，v>0表示沿坐标轴正向运动，v <0表示沿坐标轴负向运动。

在曲线运动中，v 沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。

注意：（1）瞬时性，质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；（2）矢量性，速度为矢量，具有大小，方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（3）相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系，坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；（4）叠加性，因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度也是可叠加的；（5）要注意区别速度和速率，注意

dt

dr 与dt r d ，dt dr 与dt r d 的区别。 4． 加速度 dt

v d a =，描述质点速度矢量随时间的变化，其中包括速度的大小和方向随时间的变化。不论速度的大小变化，或者是速度方向的变化，都有加速度。加速度为矢量。

在直角坐标中，k a j a i a a z y x ++=，其中

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 3 22dt x d dt dv a x x ==，22dt y d dt dv a y y ==，22dt

z d dt dv a z z ==，222z y x a a a a ++= 。 在自然坐标系中 t a n a a t n +=，其中，

ρ2

v a n =，dt

dv a t =，22t n a a a += ，t n a a a arctan =θ与切向的夹角 加速度的方向与速度方向无直接关系。在直线运动中，若a 与v 同向，则质

点作加速运动，a 与v 反向，则质点作减速运动。在曲线运动中，a 方向总是指

向曲线凹的一侧的。

5．圆周运动的角速度、角加速度

角速度 dt

d θω= 角加速度 22dt

d dt d θωβ== 角量与线量的关系：ωR v =，2,ωβR a R a n t ==

6．加利略速度变换 u v v +'= 其中v 为运动物体相对固定参照系的速

度，称为绝对速度；v ' 为运动物体相对运动参照系的速度，称为相对速度；u 为

运动参照系相对固定参照系的速度，称为牵连速度。

三、典型例题：

【例1－1】 如图1－1（a ），在离水面高为h 的岸边，有人通过滑轮用绳拉船靠岸，设人收绳的速率恒定为0v ，求当船到滑轮的距离为l 时，绳上A 点距离为c l 的C 点速度？

（a ）

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4 例1－1图

解: 分析：在收绳过程中，AB 段内绳上各点的运动情况（轨迹、速度大小和方向）各不相同，绳上各点速度的大小和收绳速率也是两个不同的概念。

下面用坐标法求解，

以A 为原点建立平面直角坐标系xoy 如图1－1（b ）

c 点的运动方程为 ??c c c r x i y j =+

c 点的速度 ??c c c c dr dx dy v i j dt dt dt

==+ ……………………………………○1 由图知：2sin c c c l x l l θ==?cos c c c h y l l l

θ== 利用 0c dl dl v dt dt ==- 可得： 0

22222222v h l l h l l h l l h l l dt d dt dx c c c ???

? ??-+--=???? ??-?=………………………○2 ()02v l

l l h l h l dt d dt dx c c c --=??? ???=………………………………………………○3 将○

2

○3代入○1式得： 22002()??(c c h l l l v v i v j l -=-+-………………………………○4 讨论：

（1）○4式表明，绳上不同点得速度大小、方向均不相同。当c l l =时，则02?v l =--此即船速，“－”号说明船的运行方向水平向左。

（2）如果用极坐标法求解，则求得的速度的两个分量分别为径向分量和横向分量，其中径向分量是指速度沿绳方向的分量，其大小即为收绳速率。横向分量是指速度垂直于绳方向的分量。

（3）从图1－1(b)的示意图中可以定性地看出，绳上各点（除B 点）的运动轨迹为曲线，可知绳上各点具有加速度。由加速度定义式c c dv a dt

=，运用c v 在直角坐标系中的表达式○

4不难求得绳上各点加速度大小和方向的定量表达式。 说明：

大学物理和中学物理的一个重要区别是开始把高等数学作为研究物理解决物理问题的一个重要手段，从而使学习的内容上了一个台阶。便于应用微积分运算的坐标法，是在大学物理课程中定量研究物理问题的一个重要方法。这种方法的一个特点是解题过程的程序化，当物理量（如速度、加速度等）不是恒量而是随时间变化的一般情形时，运用坐标法解这类较复杂的问题显得尤为方便。

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5 【例1－2】 如图1－2所示。一质点在xy 平面内运动，其运动方程为

2??(21)(35)r t i t j =-+-（SI ）。求 1.0t s =时，质点运动的速度、切向加速度的大小、法

向加速度的大小和此时质点所在处轨道的曲率半径。

解：分析：已知运动方程的坐标表达式，用坐标法求解较为方便。

4x dx v t dt

=

= 3y dy v dt == ∴速度??43v ti

j =+ （SI ）……………………………………………………○1 加速度?4a i

= (SI) 当 1.0t s =时，j i v 341+= (SI)…………………………………………○

2 由○1式得2x v v ==(SI)………………………………………○

3 由定义，切向加速度为9

161691622+=+==t t t dt d dt dv a t （SI ）…………○4 当 1.0t s =时，212.3-=ms a t ……………………………………………………○

5 而221214.2-=-=ms a a a t n

∴质点在该处轨道的曲率半径为22111 5.010.42.4n v m m a ρ===

说明：运用高等数学中求曲线的曲率半径，要代入公式32222222[(

)()]dx dy dt dt dx d y d x dy dt dt dt dt ρ+=?-?运算比较繁琐（同学们自己完成），这里运用法向加速度和切向加速度公式求解，要简捷得多。

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6

【例1－3】空中打靶如图1－3，当子弹从o 点射出时，小球B （目标）开始自由下落，若要保证子弹在目标落地之前击中它，求子弹出射速度0v 的方向和速度大小的范围。已知B 点得高为H ，距O 点的水平距离为L 。

例1－3图

解：分析：子弹击中目标得必要条件是：

（1） 子弹和靶的轨道在地面以上相交。

（2） 子弹和靶同时到达交点。

为此可用坐标法求解该题，但根据相对运动的理论运用矢量图解法解本题更为简洁： 在任一时刻t ，子弹的速度为

10v v gt =+

而靶作自由落体运动，速度为

2v gt =

由相对运动速度公式，子弹相对于靶的速度

021v v v v =-=' 上式表明，子弹相对于靶作匀速直线运动，因此，为击中靶，最初枪必须瞄准射击，使0v 的方向指向靶，即仰角θ应满足

H tg L θ=…………………………………………………………………………○

1 相对靶，子弹沿

OB 直线运动，击中靶的时间为

t

=

而靶自由下落到地面所用的时间为

0t =为保证子弹在靶落地之前击中，t 应小于或等于0t ，即：

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02H L H v g +≤

得0v 大小范围为

220()2g v H L H

≥+ 请同学们用坐标法解此题，并比较这两种解法，希望大学在熟练掌握坐标法这一基本方法的基础上能灵活运用矢量图解法求解一些特殊的问题。

四、 习题选解

1-1 从原点到P 点的位置矢量j i r 62+-=。而P 点到Q 的位移j i r 24-=?。

求从原点到Q 点的位置矢量，并作图表示。

解： 由位移定义 P Q r r r -=? 设Q 点坐标

为（x ，y ）

则 ()()()j y i x j i j y i x r 6262-++=+--+=?

而 j y i x r ?+?=?

显然 ???-=-=?=+=?2642y y x x ???==4

2y x 故 j i j y i x r Q 42+=+= 题1-1图

1-2 设质点沿x 轴运动，其运动方程为323t t x -=（式中 x 以m 计，t 以s 计）。求（1）质点在3 s 末的速度和加速度；（2）质点在1.5 s 是作加速运动还是作减速运动；（3）第1 s 末到第3 s 末时间内的位移和路程。

解： （1） t dt dv a t t dt dx v 66362

-==-==

以 t=3 s 代入上两式分别得

21

129--?-=?-=s

m a s m v

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8 （2） t=1.5 s 代入v 、a 表达式分别得

()21

236625.23636--?-=-=?=-=-=s m t a s m t t t t v

a 与v 反向，质点作减速运动。

（3）位移()()m x x x 21331-=-=?-

由0362=-=t t v 得 01=t s t 22=

即t=2 s 时质点瞬时静止，其后反向运动。

故路程

()()()()m x x x x x 6321231=-+-=?-

1-3 一质点在Oxy 平面内运动，运动方程为()SI t y t x 2219,2-==。求：

（1） 质点的轨道方程；

（2） t 时刻质点的位置矢量，速度矢量；

（3） 什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？

（4） 什么时刻质点离原点最近？求这一距离。

解： （1）由2219,2t y t x -==消去t 得轨道方程为

219221922

x x y -=??

? ??-= （x>0） （2） ()()()()j t i t j t y i t x t r 22192-+=+=

而 2==dt dx v x t dt dy v y 4-== 故 j t i j v i v v y x 42-=+= （3） v r ⊥时 则 0=?v r 即

()()()

()04219222=-?-+?=+=+?+t t t yv xv j v i v j y i x y x y x ()[]

()018242191422=-=--t t t t

得 ()舍去s t s t t 3,3,0321-===

（4） ()22222219)2(t t y x r -+=+=

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9 取极小值，由0=dt

dr ()018282=-t t 得 ,01=t ,32s t = （舍去s t 33-=）

但 ()()m r m r 08.63190=>=

故 t=3 s 时质点离原点距离最近，其距离为6.08 m 。

1-4 一质点具有恒定加速度()SI j i a 46+=。0=t 时，质点速度为零，位置矢

量i r 100=。求

（1） 质点在任意时刻的速度和位置矢量；

（2） 质点的轨迹方程。

解： 由题意知：224,6--?=?=s m a s m a y x

（1） dt

dv a x x = dt a dv x x = ???

==t

x v x dt dt a dv x 006 t v x 6= 而 dt dx v x = tdt dt v dx x 6== ??=x t

tdt dx 1006 2310t x =- 2310t x +=

同理 4==dt

dv a y

y dt dv y 4= ??=t

v y dt dv y 004 即t v y 4=

而 dt

dy v y = tdt dt v dy y 4== ??=y t

tdt dy 004 22t y =

由此可得 j t i t j v i v v y x 46+=+=

()

j t i t j y i x r 222310++=+= （2） 轨道方程由222,310t y t x =+=消t 得

y x 2

310+= 即2023-=x y 1-5 消防水枪喷出的水的流量是1m in 280-?=l q 。水的流速126-?=s m v 。若水

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10 枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在任一瞬间空中有多少升水？

解： 竖直上抛的最大高度m g

v H 8.33220== 水上升到最大高度的时间，由 gt v v y -=0（令0=y v ，y v 为上升到最高点的速度） 得

s g v t 6.210

260=== 则 水在空中运动5.2 s

1167.460280min 280--?==?=s l s

l l q s t 2.5≤喷向空中水

t qt Q 67.4== （升） s t 2.5≥喷向空中水 3.24=Q （升）

1-6 一升降机以加速度222.1-?s m 上升，当上升速度为144.2-?s m 时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距m 74.2。计算：

（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；

（2）螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。

解： 以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度1.44.2-?s m 上升时刻机外固定柱上对应升降机地板所在处，向上为正。

（1）螺帽在t =0 时，从m y y 74.20==处以初速为1044.2-?=s m v 作上抛运

动。其运动方程为 20012

1gt t v y y -+= ① 地板在t =0时，以初速1044.2-?=s m v ，从原点作加速运动，其方程为 2022

1at t v y += ② 螺帽落地时21y y =

202002

121at t v gt t v y +=-

+ ()2220212121t g a gt at y +=+=

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11 s g

a y t 705.020=+= （2）螺帽下降的距离

m gt t v y y 72.0212010=??? ??--=- 1-7 如图所示，有人在离水面高h 处通 过滑轮用绳子拉船靠岸。 设人用匀速0v 收绳子拉船，求当船与滑轮的水平距离 为x 时，船的速度和加速度的大小。

解： 由图可知 222x h s += 22h s x -= 题1-7图示 ()dt ds h s s dt ds s h s dt dx v 22212

222

1-=-==-

人以匀速0v 收绳拉船

0v dt ds -= ()022022v x

x h v x x h v +-=-+= v 的方向沿x 轴负方向

船的加速度 ()()21220220220-----=???? ??--==h s dt d sv dt h s sv d h s sv dt d dt dv a ()dt

ds s h s sv dt ds h s v 22123

2

20220--??? ??----= ()()()()23222020232220

222222220h s h v h s v s h s h s h s v --=-----=

3202x

v h -= a 的方向沿x 轴负方向 1-8 如图所示，一人站在山坡上， 山坡与水平面成 α 角。他扔出一 个初速为0v 的小石子，

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12 0v 与水平面

成 θ 角（向上），求

（1）如空气阻力不计，试证小石子落在斜坡上距离为s 处 题1-8图

()α

θαθ220cos cos sin 2g v s += （2）由此证明，对于给定的0v 与α 值，s 在24απθ-=

时有最大值：

()αα220max cos sin 1g v s += 解： 以斜面方向为x 轴，垂直于斜面为y 轴，扔出点为原点建立xOy 坐标系。

（1） ()()???+=+=αθαθsin cos 0000v v v v y x ???

????+=+=2

0202121t g t v y t g t v x y y x x ???-==ααcos sin g g g g y

x 小石子落地时 y=0

()()0cos 21sin 20=-+

+t g t v ααθ 落地时间

()α

θαcos sin 20g v t += 小石子落在斜坡上的距离

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13 ()()()()()()()()()()[]()()()θααθααθα

αθαθααθαα

αθα

αθαααθαθααθααααθαθαθcos cos sin 2cos cos sin 2sin sin cos cos cos sin 2cos sin sin 2cos cos sin cos 2cos 2sin sin 4cos cos sin 2sin 2

1cos 22022022022220222022220202

0g v g v g v g g v g g v g g v g v at g t v x s +=-++=++++=++++=++++=+

+==

（2） 对于给定的0v 和 α 值

()[]()()[]()[]ααθα

αθθαθθα

α

θαθsin 2sin cos sin sin cos cos cos sin 2220220220++=---++=+=g v g v g v s 由上式可知，小石子落在斜坡上距离s 最大值的条件是

()12sin =+αθ

22π

αθ=+ 24α

π

θ-=

故 ()α

α220max cos sin 1g v s += 1-9 一个人扔石头的最大出手速度为125-?=s m v ，他能击中一个与他的手水 平距离为l =50m ，高h 为13m 处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标的最大高度是多少？

解： 以出手点为原点，建立xOy 坐标，设出手速度0v 与x 轴夹角为θ， 忽略空气阻力有

2021sin gt t v y -

=θ t v x θcos 0=

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14 消去t ，得石头运动轨道方程 题1-9图

θ

θ2202

cos 2tan v gx x y -= 代入 m L x s m v 50,251==?=-

θθ2cos 2tan 50g y -

= 当0=θ

d dy 时y 取极值 0)cos 2tan 50(2=-θ

θθg d d 0cos sin 22sec 5032=-θ

θθg 2755.1450tan ==g

θ 9.51=θ 故当 9.51=θ时，y 在L=50m 处最高高度为：

()()

m g y 3.129.51cos 29.51tan 502=-= 所以不能击中目标，能击中的最大高度是12.3m 。

1-10 一质点沿直线运动，其坐标x 与时间t 如下关系，()SI t Ae

x t ωβcos -= （A ，β皆为常数）。 求（1）任意时刻t 质点的加速度；（2）质点通过原点的时刻t 。

解： 质点运动方程 t Ae x t ωβcos -=

（1）速度

()(

)t e A t e A tde A t d Ae dt

t Ae dt d dt dx v t t t t t ωβωωωωωβββββcos sin cos cos 1cos -------=+===

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15 （2）加速度

()

()[]

t t Ae te A t e A te A t e A tde A t d e A tde A t d e A dt

dt dv a t t t t t t t t t ωωβωωβωβωβωωωβωωωβωβωωωωβββββββββsin 2cos cos sin sin cos cos cos sin sin 12222+-=+++-=----==---------（3）质点通过原点时 0=x 0cos =-t Ae t ωβ

由于 0≠-t e β

0cos =t ω

2

ππω+=k t k =0,1,2,…

t =ωπ2)12(+k k =0,1,2,… 1-11 一质点沿半径为R 的圆周运动，其路程s 随时间t 变化的规律为

()SI ct bt s 22

1-= 式中b 、c 为大于零的常数，且R b >2。

求（1）质点运动的切向加速度t a 和法向加速度n a ；

（2）n t a a =的时刻t 。

解： 质点作圆运动 22

1ct bt s -= （1）速率 ct b dt

ds v -== 切向加速度 c dt

dv a t -== 法向加速度 ()R ct b R v a n 2

2-== （2）切向加速度0<-=c a t 法向加速度0>n a 当n t a a =时

()c R ct b =- ()Rc ct b =-2

Rc ct b ±=- c

R c b t ±= 1-12 一质点沿半径为R 的圆周按路程为202

1bt t v s -=的规律运动，其中b v ,0

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16 都是常量，求：

（1）t 时刻质点的加速度；

（2）t 为何时，加速度的大小等于b ？

（3）当加速度为b 时，质点沿圆周运动了多少圈？

解： 质点作圆周运动 202

1bt t v s -= （1）速率 bt v dt

ds v -==0 切向加速度 b dt

dv a t -== 法向加速度 ()R bt v R v a n 2

02-== 质点的加速度大小为 ()4022221bt v b R R

a a a t n -+=+= a 与v 的夹角 ()???

?????--==Rb bt v a a t n 20arctan arctan θ （2）当a=b 时 ()b bt v b R R

=-+40221 b v t 0= （3）a=b 时， b

v t 0= b v bt t v s 2212020=-= 质点沿圆周运行的圈数 Rb

v R s n ππ4220== 1-13 一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，用角坐标表示其运动方程为 ()SI t 342+=θ

求： （1）t=2s 时质点切向加速度和法向加速度的大小；

（2） 当θ 等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成45?。

解： 质点作圆周运动342t +=θ

（1）角速度 212t dt

d ==θω 角加速度 t dt

d 24==ωβ 切向加速度 ()28.424-?=?====s m t R R R dt

d dt dv a t βω

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 17 法向加速度 ()22222224.23012-?=?====s m t R R R

R R v a n ωω（2）质点的加速度和半径的夹角为45?，即a 与n a 成45?角，

()()2422

2

14424Rt Rt a a a t n +=+=

21

45cos == a a n

21

22

=a a n

()()()21

1442414424224=+Rt Rt Rt 613=t

此时质点的角位移 rad t 67.2423=+=θ

1-14 一个半径为R=1.0m 的圆盘，可以

绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子

的边缘，其自由端栓一物体A ，如图所示。

在重力作用下，物体A 从静止开始匀加速

的降，在?t=2.0s 内下降的距离h=0.4m 。

求物体开始下降后3s 末，边缘上任一点的

切加速度与法向加速度。书馆 题1-14图

解： 在竖直方向建立 x 坐标，t=0时，00=x

物体由静止开始匀加速下降，设加速度为a ，00=v

2

20021

21at at t v x h =++=

222.02-?==s m t h

a

圆盘边缘一点的切向加速度

2

2.0-?===s m a dt dv a t

法向加速度

()R t a R at v R v a n 2

2

202=+==

时s t 3= 22

236.0-?==s m R t a a n ， 22.0-?=s m a t

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 18 1-15 从同一地点，以相同速率朝不同方向把许多石子扔向空中，由运动学公

式证明这些石子在空中相同高度处有相同速率（不计空气阻力）。

证： 设某一石子的抛射角为θ，初速率为0v 。在任一时刻t ，石子沿x 轴

和y 轴的速度分量为

θcos 0v v x = gt v v y -=θsin 0

石子在t 时刻的高度

202

1sin gt t v H -=θ ()()gH v gt t v g v t g gt v v v gt v v v v v y x 221sin 2sin 2sin cos sin cos 2020202202202202

02022-=??

? ??--=+-+=-+=+=θθθθθθ 故作抛体运动的石子在任一时刻的速率与抛射角θ无关，只取决于高度H 和

初速0v 。这些石子在相同高度处有相同速率。

1-16 如图所示，在一平坦高地上安放一门炮地

边缘是一向下的陡壁，炮位距离陡壁

l=8100m ，陡壁下面的地平面低于炮位

h=100m 。用炮轰击掩蔽在陡壁后面的目标。

如果炮弹出口速率为10300-?=s m v ， 忽略空气阻力 ，求： 题1-16图

（1）离陡壁最近的炮弹弹着点距陡壁的距离d ；

（2）这时炮弹出口速度与水平面的夹角θ 。

解：炮弹着地点若离陡壁最近，则炮弹会经过高地边缘。炮弹作抛体运动

的轨道方程

θ

θ2202

cos 2tan v gx x y -= 炮弹经陡壁边缘 0=y L x =

θθtan cos 2220=v gL

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 19 θθcos sin 220=L v g =θ2sin 2

1 炮弹出口速度与水平面夹角

88.61)arcsin(220

==v gL θ 94.30=θ

炮弹落地点 h y -= d L x +=

()()θθ2202cos 2tan v d L g d L h +-+=- m d 5.59=

1-17 如图所示，一气象气球自地面以匀速v 上升到天空，在距离放出点为R 处的A 点用望远镜对气球进行观测。记录得气球

的仰角θ为时间t 的函数。

（1）求出用h 和R 表示仰角θ 的公式；

（2）求出dt

d θ作为时间的函数的公式；

（3）试证当上升时间v R t >>时，dt d θ将按2vt

R 趋近于零。 题1-17图 解：（1）由图可知，任一时刻t R

h =θtan 气球匀速上升 vt h =

R vt =θtan R

vt arctan =θ （2）等式 R

vt =θtan ，两边对时间t 求导 ()??? ??=R vt dt d dt d θtan R

v dt d =θθ2sec ???

???????? ??+=+=+==222222222cos v R t v R R t v vR R h R R v R v dt d θθ （3）当上升时间v R t >>时，222t v R t →??

? ??+

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

20 2222t v R vt R v R t v R dt d ==???

???????? ??+=θ 当v R t >>，2vt

R 趋于零。 1-18 为转播电视而发射的地球同步卫星，它在赤道上空的圆形轨道上运动，周期等于地球自转周期T =24h 。求卫星离开地面的高度和卫星的速率（距地球中心r 处的重力加速度，()2

r R g a e =，e R 是地球半径） 解：由题知同步卫星作圆周运动的角速度60

60242??=πω1-?s rad ，向心加速度2

??? ??=r R g a e n ，h R r e += 。 又 向心力由万有引力提供，()[]()22

2ωωh R h R h R r v a e e e n +=++== 所以 ()22

ωh R h R R g e e e +=???? ??+ ()22

3ωe e gR h R =+

卫星高度 m R gR h e e 7322

1059.3?=-=ω

卫星速率 ()131007.3-??=+=s m h R v e ω

1-19 一飞轮的角速度在5s 内由1min 900-?r 均匀地减到1min 800-?r 。求（1）角加速度；（2）在此5s 内的总转数；（3）再经多长时间，轮将停止转动。

解：飞轮作匀减速运动，在t =5s 内角速度由0ω减至ω，角位移为0θθ-。设角加速度为β

（1）由匀速圆周运动速度方程 t βωω+=0

220

093.2min 1200--?-=?-=-=s rad r t ωωβ

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 21 （2）由 2002

1t t βωθθ++= 83.700转=-θθ （3）又经时间t '，飞轮停止转动 0='ω

又 ()t t '++='βωω0 s t t 45='+

s t 40545=-='

1-20 北京正负电子对撞机的储存环的周长为240m ，电子要沿环以非常接近光速的速率运行。这些电子运动的向心加速度是重力加速度的几倍？

解：电子以接近光速c 的速率作圆周运动，储存环的周长为L 半径为R 。

向心加速度 2152

21035.22-??===s m L c R

v a n π

14104.2?=g

a n 1-21 一无风的下雨天，一火车以120-?s m 的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成75?角下降，求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动）。

解：以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为1v ，雨滴相对于地面的运

动速度为2v ，旅客看到雨滴下落的速度2

v ' 为雨滴相对于火车的运动速度。

2

12v v v '+= 2175tan v v = 11236.575

tan 2075tan -?===s m v v 题1-21图 1-22 飞机A 以11000-?=h km v A 的速率（相对地面）向南飞行。同时另一架飞机B 以10800-?=h km v 的速率（相对地面）向东偏南30?角方向飞行。求A 机相对于B 机的速度与B 机相对于A 机的速度。

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