北航张量讲义2

第二章 笛卡儿张量代数

笛卡儿张量（简称卡氏张量）是建立在笛卡儿直角坐标系（包括右手系与左手系）上的张量。不同的坐标系对应于初始坐标系的某种变换。笛卡儿直角坐标系涉及的变换有平移、旋转和反射。前两者属正常变换，后者为反常变换。三种变换均为正交变换（见1.6.2节），如前所述，若张量式中含有矢径，正交变换只包括旋转和反射变换。

卡氏张量是最基本、最简单，同时也是最常用的张量。它是迈向一般张量的一个台阶，但又可自成一体系。实际上，不少应用问题可能只需用到卡氏张量。因此，本书把卡氏张量作为相对独立的单元来讨论。卡氏张量涉及的内容包括基本概念、张量代数和张量分析，本章讨论前两部分。

本书假定读者仅有高等数学、线性代数知识，未学流体力学、弹性力学或材料力学（统称为连续介质力学）。所以，从本章起，将通过实例系统地介绍一些连续介质力学的基本概念、公式或定律，帮助读者理解抽象的张量概念。

2.1不变量的充要条件

我们知道，向量是坐标变换的不变量，可以表示为

a?aiei?a?je?j?a? （2.1）

由此可导出向量的坐标变换式（见1.6.3节）

a?j?βjiai （2.2a）

ai??jia?j（2.2b）

反之，若数组ai满足（2.2）式，则

a??a?je?j??βjiai??βjkek??βjiβjkaiek?δikaiek?aiei?a

即向量是不变量。这表明向量是不变量与数组满足坐标变换式（2.2）是等价的。因此，（2.2）式亦可作为向量的定义。

另一方面，在1.5节中，我们通过并积得到诱导向量。诱导向量的集合构成诱导向量空间。由向量代数理论知，任何线性空间的元素可表示为基向量的线性组合，线性组合的系数为向量的分量。基不是唯一的，同一向量在不同基下有不同的分量。基的变化将引起分量的变化，但不同基对应的向量并没有变，仍为同一个向量。基的变化实质上是坐标系的变化，因此，诱导向量仍然是坐标变换的不变量

?Aijij??k??? （2.3） ?Ak与（2.1）式不同的是，分量有两个指标，基为并矢基，这种不变量称为二阶不变量，即二阶张量。上述不变性定义应用上并不方便，很多二阶数组并非由向量的并积得到，分量的值仍随坐标系的变化而变化，但无法用

1

上式判断是否为不变量。例如，（1.15）式中， gij由任意基向量的点积得到，一般情况下，gij分量的值随基（坐标系）的变化而变化，是否为二阶不变量？确切地说, 是否为诱导空间的元素并满足（2.3）式？回答此问题需要找出二阶不变量的充要条件：

设物理量A有32个随坐标系变化而变化的分量，在老系与新系下的分量分别为Aij、Ak??，令

??ek?e??A??AkA?Aijeiej

若A为不变量，必有

A?A?（2.4）

即

??ek?e?? Aijeiej?Ak将变换式（1.81）代入有

?e???Ak??ek?e?? Aijeiej?Aijβkiβ?jek所以

??=βkiβ?jAij （2.5a） Ak同理可导出（问题）

??（2.5b） Aij=βkiβ?jAk反之 若A的分量满足（2.5）式，则

??ek?e???βkiβ?jAijek?e???Aij(βkiek?)(β?je??)?Aijeiej?A A?=Ak即A是不变量。因此（2.5）式是A为不变量的充要条件，即A为不变量与分量Aij满足（2.5）式是等价的。（2.5）式可作为二阶张量的定义。事实上，任何一个物理量满足的充要条件都可作为该物理量的定义。实用上用（2.5）式来判断不变量更为普遍和方便。例如，我们可用（2.5）式来判断克罗内克符号是否为不变量 由（1.84）式

???βkiβ?i?βkiβ?iδij δk所以δij为二阶不变量（二阶张量），必有

??ek?e??（2.6a） I?δijeiej?δk或

2

?ek?（2.6b） I?eiei?ekI?δij称为单位张量，它的分量就是熟知的克罗内克符号。

在数学、物理学中，还有许多二阶数组满足不变量的充要条件，这一类不变量就构成了我们定义二阶张量的基础。

1 应力张量 图2－1 应力是单位面积的内力 fNn?fN外力作用下物体变形 各部分产生相互作用力抵抗变形 变形体在外力作用下将产生变形，其内部各部分会产生相互作用力来抵抗变形（图2－1）。单位面积上的

内力定义为应力。由定义知，应力总是与作用面相关联。对于变形体内任一点P可作无穷多个面（我们用单位法矢n代表不同的作用面），因而有无穷多个应力向量f（图2－2），这无穷多个应力向量的集合称点P的应力状态。可以证明，同一点各面上的应力向量并非独立，它们可由三个相互垂直的坐标面（与坐标轴垂直的面）上的应力来确定。为此我们先讨论坐标面应力的特性和表示法。

如图2－2，过P点作一坐标面构成的微小正六面体。数学上，微小六面体可视为无体积的“一点”，因而六面体各个面上的应力可认为是同一点不同面上的应力。而物理上，六面体又可视为体积微小的受力实体，应当满足力的平衡条件。六面体有三对与坐标轴垂直的面，其中外法向与坐标轴方向一致的面称正面，另一面为负面。正面上的应力用бi（i表示不同的作用面）表示，负面上的应力用бi表示。同一点正负面上的内力是

?N作用力与反作用力的关系，例如(图2－2c)

б?dS???б?dS??

则有

3

图2－2 空间点P 的应力状态 e3ζ??б?x?e3x?dY?Cζ??ζ??б?ζ????x?б?OCdS??б?dS?ζ??e2fNdSnPBe2?б???б?Ae1?б?ζ??ζ??ζ??B?б?A??б?dY?dY??б?dS?e1(a)坐标面的应力向量及分(b)应力张量决定应力状e2б?dS?P?б?PdS?(c)正负面上的应力关系 бi??бi?（2.7）

即

★ 正负面上的应力向量大小相等方向相反。

在坐标系ej中正面上的应力向量可表示为

бi?ζijej（2.8）

ζij表示正面应力向量的分量，第一指标表示作用面，第二指标表示应力分量的方向，当两个指标值相同

时表示垂直于作用面的正应力（如ζ??），不同时表示平行于作用面的切应力（剪应力）(如ζ??)（图2－2）。ζij有9个分量，可用二阶数组或矩阵来表示

ζij??ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ???（2.9）

?ζ????ζij??ζ???????ζ??ζ??ζ??ζ??ζ????ζ??（2.10） ?ζ????据（2.7）（2.8）式，负面上的应力向量可表示为

4

бi??ζijej?（2.11）

为求P点任一斜面n上应力，可作一由斜面和三个坐标面构成的四面体（图2－2）。设斜面的面积为dS，坐标面的面积为dSi。由叉积的几何意义，斜面（n?niei）的面积向量dS可表示为

1212dS=dSn?dSniei??1AB?AC??PB?PA???PC?PA?

PB?PC?PC?PA?PA?PB??2?dS1e1?dS2e2?dS3e3?dSiei?dSni?dSi（2.12）

（2.12）式对任何形状的多边形平面都是成立的，因为任何形状的多dSi称为dS在坐标平面的投影面积。边形平面都可分解为若干三角形平面。

根据四面体的平衡条件有

fdS?б1dS1?б2dS2?б3dS3?0fdS?бidSi?0NN?????fdS?бidSi?0N??

将?fNN fN=бidSidS

?fjej 、（2.8）、（2.12）式代入得

fNN=бini（2.13）

??fjej?ζijejni

则有

fj?ζijni （2.14）

N

上式为著名的柯西应力公式。式中ζij依赖于P点的位置和选定的坐标系ei，与ni无关，fj随ni而变化。

另一方面，对于同一空间点P以及给定的斜面n和相应的f（图2－3）。在新坐标系下

fNNN，可选择不同的坐标系ei?来建立平衡条件

=fi?ei?N?ei?n?nk?e?jбi?=ζij（2.15）

同样的分析可得

fN?（2.16） =бk?nk5

比较得（2.13）和（2.16）式得

图2－3 ?e3?ζ??ζ?同一空间点不同坐标系的应力状态 ?e3C?C??ζ???б?????ζ???ζ??fnN?ζ???ζ??A?ζ??ζ????B??e2y?y?y?O??б??A?B??e2P?б??e1?e1?坐标面及作用的应力向量改变 斜面及作用的应力向量不变 ?n??бnбkkii

??lel?nk??ζijejni?ζij??ljel????kink??? ζk?l??ki?ljζij ζk这正是不变量的充要条件，所以必有

?lek?el?σ?ζijeiej=ζkk（2.17）

★ 请区别希腊字母σ与俄文字母б

这说明应力σ>ζij是二阶不变量，即二阶张量。柯西应力公式（2.14）表明

★ 应力张量决定点的应力状态

2 转动惯量张量 如图2－4，由物理学，质量为m位于P（r?xiei）点绕轴(n?niei)转动的质点的转动惯量为

IN?mρ（2.18）

2『ρ：P点到轴n的垂距』

对于位于P点的质点m，过O点可作无穷多条轴，因而有无穷多个转动惯量，但这些惯量可由一个二阶张量来确定

?

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图2－4 转动惯量张量决定转动惯量 nx?IN?Iijninjmvnmv?rOP?rx?e?Py?y?O?e?e?e???e?新坐标系 x?e?旧坐标系 y?IN?mρ=mr?r??r?n?2????m?nnxiikxk??nixi??njxj???m?δijninjxkxk?xixjninj??m?δijxkxk?xixj?ninj ?

【n?n?nn??.?】（2.19） ii令

Iij?m?δijxkxk?xixj?（2.20）

Iij为二阶数组，可用矩阵表示

???x?+x???Iij?=m??x?x?????xx????x?x?x?+x??x?x????x?x????x?x??（2.21） ??x?+x???可以看出当i=j，表示绕坐标轴的惯量，称坐标轴惯量，I??,I??,I??分别为x?,x?,x?轴的惯量。当i?j时，称为惯量积。利用Iij，（2.19）式变为

IN?Iijninj（2.22）

式中IN是与坐标系无关的标量，Iij与ni无关，只与点O、P和坐标系有关。然而，对于同一空间点O、

P和过O的轴ni，我们可选用不同的坐标系ei?（图2－4）来确定转动惯量。在新坐标系下

n?n?iei?

同样的分析可得

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?ni?n?j（2.23） IN?Iij比较得（2.22）式和（2.23）式

??nk?n???Iijninj?Iij?βkink???β?jn???IkIk???βkiβ?jIij

?

满足不变量的充要条件，必有

IO?Iijeiej?I?e?e? （2.24） k?k?说明IO?Iij是二阶张量，称为转动惯量张量。（2.22）表明

★ 转动惯量张量决定绕轴的转动惯量

以上介绍了一阶不变量和二不变量的充要条件，而标量也是坐标变换不变量，可看成零阶不变量，另一方面，实用上，由二阶和二阶以下的不变量，还会导出更高阶的不变量，为此，我们给出笛卡儿张量的统一定义。

2.2张量的定义 2．2．1 张量的定义

定义1. 对于某一物理量?，在任意笛卡儿直角坐标系下有30?1个分量，若满足

????

『?? 、 ? ：新老坐标系下的分量』

则称 ? 为零阶张量（即标量）。

定义2. 对于某物理量a，在任意笛卡儿直角坐标系下有3?3个分量ai，如可表示为下面的不变形式

a?aiei?a?je?j

1或满足坐标变换式

?a?j?βjiai ai??jai j ?【正变换】 ?【逆变换】 则称 a 为一阶张量（即向量）。

定义3. 对于某物理量A，在任意笛卡儿直角坐标系下有3?9个分量Aij，如可表示为下面的不变形式

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2??ek?e?? A?Aijeiej?Ak或满足坐标变换式

??=βkiβ?jAij Aij=βkβi?Aj?? kAk ?【正变换】 ?【逆变换】 则称A为二阶张量。

类似地，三阶和更高阶张量有如下表达式

?em?en?（2.25a） A?Aijkeiejek?A??mne?A??mn=β?iβmjβnkAijk Aijk=β?βiβA??mjnk（2.25b）

……

(问题：请写出4阶张量的定义式)

★ 正变换的变换矩阵第－个下标为自由标，逆变换的变换矩阵第二个下标为自由标

2．2．2 相对张量

★ 同义词 ：相对张量、张量密度、伪张量、赝张量

以上根据张量不变性定义的张量称绝对张量（简称张量）。但有些物理量本身不满足张量的不变性定义，

然而，它们相对基向量混合积的某次方，仍满足张量的不变性定义。这类张量称相对张量。例如

? 基向量混合积是零阶数组

?1VE??e1,e2,e3?????1右手系左手系

若老坐标系为右手系：VE?1，新坐标系为左手系：VE???1，VE不是不变量。而

VEV?1E22?VE?VE??VE?VE??1

故VE2是不变量，即零阶张量。

? 在直角坐标系下，置换符号为(见（1.76）式)

?（2.26） ?ijk???ei,ej,ek?VE 则有 ?【(1.79)式】

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?,em?,en??VE????i?mj?nk?ei,ej,ek????mn??e????J?J?1?JV?E???i?mj?nk??ei,ej,ek?VE（2.27）

?1??i?mj?nk?ijk故?ijk不是张量，但

?????mn?VE??1???,em?,en?????i?mj?nk?ei,ej,ek????i?mj?nk???e???????ijk???1? ?VE?故??ijkVE?1?是张量。

? 考虑右手系叉积公式

c?a?b?ci??ijkajbk

?【(2.27)式】

?=???mnam?bn?=?Jβ?iβmjβnk?ijkc?-1??βmpap??βnqbq?=Jβliδjpδkq?ijkapbq=Jβli?ijkajbk=Jβ?ici-1-1-1

所以c不是张量，但

?c????V??E?????ijk?mn?bn?=?β?iβmjβnkam?=?V??VEE??=βliδjpδkq?ijkVEapbq=βli???βmpap??βnqbq????c=β?i?i?V?E????

?ijkajbkVE故??ci?V?E??是张量。 ??归纳起来，我们以2阶张量为例，给出相对张量的定义

定义4. 对于某一物理量A，在任意笛卡儿直角坐标系下有3?9个分量Aij，如可表示为下面的不变形式

A?AijVωE2eiej?Ak?VE?ω?e??（2.28a） ek则称 A 为二阶相对张量，???1,?2,...称为A的权。

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相对张量也可坐标变换来定义 据（2.28a）式

A?AijVωEeiej?AijVωE?e????ki??jek??AkωVE??e?? ek则有

?V??????E??ki??jAij?Jω?ki??jAij（2.28b） Ak?VE?ω ?【(1.79)式】

（2.28a）式与（2.28b）式是等价的，也可作为相对张量的定义。

★ 绝对张量可看作权为零的相对张量

2．2．3 直角坐标系下的Eddington张量（绝对置换张量）

由相对张量的定义可知，由任何相对张量都可定义一个相应的绝对张量，这正是研究相对张量的意义所在。由以上分析知，置换符号?ijk是权为－1的三阶相对张量，必存在绝对张量

?=?ijkeiejek （2.29a）

? （2.29b） ?ijk?VE?ijk???ei,ej,ek??称为Eddington张量，它是绝对张量，适用于任意直角坐标系（左手或右手系）。Eddington张量与单位张

量的关系为

?ijk??mk=?ijk??mkV?E??ijk??mk??i??jm??im?j?（2.30）

可见相同于置换符号与克罗内克符号的关系（（1.49）式）

利用Eddington张量，第一章中若干与坐标系转向有关的公式可修正为与坐标系转向无关的通用公式

a?b?VE?ijkajbkei??ijkajbkei（2.31）

?a,b,c??VE?ijkaibjck??ijkaibjck（2.32）

ej?ek?VE?ijkei??ijkei（2.33）

2.3 张量的代数运算

张量的代数运算是向量代数运算的继承与推广。细心观察（2.14）、（2.20）和（2.22）式的右端可发现，表达式中的每一个物理量都是张量，但张量的阶数可能不同，通过运算所得到的左端的结果仍为某阶张量。因

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此，张量代数运算比向量代数运算更为复杂，它包括同阶运算和不同阶运算。前者包括数乘与加法运算，又称线性运算，后者主要包括并积与缩并运算。我们研究张量代数运算有两个重要应用，第一个是间接判别物理量是否为张量，例如，如果某物理量是两张量之和，该量为张量。第二用来把复杂的指标式写为实体式。

2．3．1 张量的线性运算

张量实质上是用多指标表示的大向量。它的线性运算包括数乘与加减运算，其规则与向量线性运算规则相同（见第一章）。基张量（并基）相同的两个张量称为同型张量。卡氏张量中，同型张量即为同阶张量（第四章的一般张量中，同阶不一定同型）。线性运算的结果是与原张量同型（同阶）张量。我们以二阶张量为例

?1 数乘

数?乘张量T?Tijeiej?Tij等于基张量不变，用数乘张量的每一个分量，结果为

S?Sijeiej??T??Tijeiej（2.34a）

???Sij??Tij（2.34b）

因

?e??????Tk???ek?e???Sij?ek?e??Sijeiej??Tijeiej??Tijeiej???Tk??ek????

或

????ki?ljTij??ki?lj?Tij??ki?ljSij S???Tklkl??所以数乘的结果为同阶的张量。

★ 张量所有代数运算的结果都可用定义证明为张量，以下证明略

?2 加减

张量A?Aijeiej?Aij与张量B?Bijeiej?Bij的加减等于基张量不变，各分量加减，结果为

C?Cijeiej?A?B?Aij?Bijeiej（2.35a）

???Cij?Aij?Bij（2.35b）

显然，线性运算满足向量运算的八大运算规律（见第一章（1.7）式）

2．3．2 张量的并积与缩并运算

张量的并积与缩并运算的特点是运算结果的阶发生变化，前者升阶，后者降阶。运算中，两个张量的阶也不要求相同，所以称为不同阶运算。

?1并积

★ 同义词 ：并积、张量积、外积

张量并积是向量并积的推广。张量a?aiei?ai与张量B?Bjkejek?Bjk的并积等于第一个张量的基与第二个张量的基作向量的联并（多重并），第一个张量每一个分量与第二个张量的每一个分量相乘后得并积的分

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量，结果为

C?Cijkeiejek?aB??aiBjk?eiejek（2.36a）

?Cijk=aiBjk（2.36b）

★ 并积的另一表示法：a?B

实际上可以直接用指标式（2.36b）定义并积，它可看成是并基式（2.36a）的省略方式，但在展开指标式时，必须注意各分量的排列顺序（与向量并积排列顺序相同，并积时，新张量分量的排列顺序与算法语言多重循环变量的循环顺序相同，其中张量的第一个指标是外循环变量，依次类推，最后一个指标是内循环变量）

?C???,C???,...,C???,C??????a?B?,a?B?,...,a?B??,a?B???

不难证明，并积的结果为张量，阶数等于各张量阶数之和。并积满足下面运算法则

aB?Baa?B?Cλ?aB???λa?B?a?λB???aB?aC?a?b?C（2.37）

?aC?bC这些运算法则保证了指标式的仿代数特征。

?2自缩并

缩并包括自缩并与互缩并。自缩并常简称缩并，互缩并又称点积。

张量T?Tijkeiejek?Tijk的缩并是将基张量中的某两个向量作点积的运算，结果为

S?Siei?T(?jk)?Tijkeiej?ek?Tijkeiδjk?Tijjei（2.38a） Si=Tijk??jk??=Tijj（2.38b）

可以直接用指标式（2.38b）定义缩并，它表明

★ 缩并是把张量的某两个自由标置为哑标的运算

例如

δij? δii?δ11?δ22?δ33?3（2.39）

????【二阶张量省略缩并指标，还可记为 tr(I) (见2.7.2节)】

由此可知，缩并实质上是求和运算。缩并后，原张量将降低2阶（上例由二阶张量降为零阶张量）。如把二阶张量视为满足指标变换的矩阵，则缩并相当于矩阵对角线求和。显然，缩并只能在二阶和二阶以上的张量中进行，它是张量分析引进的一种新运算。

?3 单点积

点积是一种互缩并运算，它是向量点积的推广。点积可看作是并积与缩并的复合运算，它先将两个张量作

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并积运算，然后将两个不同张量的自由标置为哑标。点积又分为单点、双点与多重点。下面我们直接用指标式来定义点积。单点是先将两个张量作并积（所有指标均为自由标），然后将相邻指标标置为哑标的运算，例如

? a?B??aiBjk?类似的矩阵乘法为

?B11?a3?B21???B31??jk???ij? （2.40） ?aiBik?aiBikekB12B22B32?ai??Bik???a1a2B13??B23 ?B33??? B?a??Bijak?类似的矩阵乘法为

?B11??Bij??aj??B21???????B31?Bijaj?Bijajie （2.41）

B12B22B32B13??a1????B23a2 ???B33????a3??比较（2.40）（2.41）式知，点积一般不满足交换律(一阶张量互点除外)。

? A?B??AijBk??类似的矩阵乘法为

?A11??Aij??Bj???A21???????A31A12A22A32A13??B11??A23B21??A33????B31B12B22B32B13??B23 ?B33????jk? ?AijBj??AijBj?ie?e （2.42）

由以上例子可知，单点后的张量阶数为各张量阶数和减2。

?4 双点积

双点是并积后两对指标作缩并。双点积的阶数为各阶数和减4。双点分为横点（串联点）与竖点（并联

点）。

横点： A??B??ApijBk?q???i????jk??ApijBjiq （2.43a） ?ApijBijq （2.43b）

竖点： A:B??ApijBk?q???ik???j??可以看出，若在第一张量与第二张量间划一分界线，横点是离线近的与近的缩并，远的与远的缩并，即 近——近，远——远。竖点是近——远，远——近。

双点没有对应的矩阵式，可见张量的运算比矩阵运算更丰富。如果需要，还可定义三重或多重点积，例如四重竖点为

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A┋B?Aijk?Bijk?（2.44）

利用张量代数运算法则与记法，（2.14）、（2.20）、（2.22）式可写成实体形式 ? 柯西应力公式：fj?ζijniN?fN?ngσ

?IO?m??r?r?I?rr?

? 转动惯量张量：Iij?m?δijxkxk?xixj?? 轴的转动惯量：

IN?Iijninj??IN?n?IO?n?I?IO:nn?N??IN?nn:I ?I?I??nnO?N??IN?nn??IO 可见实体形式不仅表达简洁，更能看清变量间的函数关系。

2．3．3 张量的叉积

两张量的叉积是先作并积，后将相邻基向量作叉积

a?B??aiei???Bjkejek??aiBjk?eiej??ek?aiBjk?ei?ej?ek???ijaiBjke?ek（2.45a）

B?a??Bijeiej???akek??Bijakei?ejek???Bijakei?ej?ek????jkBijakeie? （2.45b）

叉积的阶等于两张量阶的和减1。作叉积时，一般不要省略基向量，以免出错。

2．3．4 张量的转置

根据指标一致原理，张量式中各指标项的自由标应相同，但项中自由标的前后顺序可不同，如

Sij?T?A??ij?Aji?（2.46）

ijk??λδijδk??μδikδj??γδi?δjk（2.47）

这是由于张量转置运算的结果。张量的转置是保持基张量不变，把张量的某两个指标交换的运算，运算结果为同形型张量。例如二阶张量A?Aijeiej?Aij的转置张量为

A?Aijeiej?T??T?Aijeiej?Ajieiej（2.48a） Aij?Aji（2.48a）

TT★ 转置不改变指标循环排列的顺序 Aij??A??,A??,?,A??,A??? Aij?Aji??A??,A??,?,A??,A???

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T

可见转置后i仍是第一循环标。因为转置不改变张量的型（阶），转置后的张量可和原张量加减，有时还可能相等（见2.5.2节）。转置是交换指标的运算，二阶以上的张量转置需指明交换的指标，例如Eddington张量???ijk的转置张量有

???ijk??jikijT??ijkTjk???ikj??ijkTik???kji

利用转置记法，（2.46）（2.47）式可写为实体型

Sij????Aij?Aji??T?jk????Aij?AijT?ik?T??S??A?A? ??TTijk??λδijδk??μδikδj??γδi?δjk?λδijδk??μ?δijδk???γδδk??Tij??T?λII?μ?II?T?jk??γII?T?T?ik?

δij为张量，根据张量运算法则可判断，Sij,Tijk?必为张量。这种间接判断张量的方法也是我上式中Aij，们研究张量运算的目的之一。

最后强调

★ 所有的张量代数运算均未破坏指标式的仿代数特性

例题2.1

证明 ?ab??ba

证： ?ab???aibj?eiej?ajbieiej?biajeiej?ba 证毕。

TTT2.4张量识别定理

★ 同义词 ：张量识别定理、商法则、商律

用张量定义判别一个量是否为张量往往比较麻烦。在某些情况下，用张量识别定理判别张量非常简便。识

别定理表明：如果在任意卡氏坐标系下某一量与张量的乘积（并积或点积）仍为张量，则该量必为张量。举例说明如下

xijak?Bijk（2.49）

ak与Bijk分别为一阶张量和三阶张量，由识别定理，xij是二阶张量。

证：在新坐标系下有

?man??B??mn x?因ak与Bijk为张量，则有

?【(2.49)式】

16

?mβnkak?β?iβmjβnkBijk?β?iβmjβnkxijak x?两边同乘?nq

βnqβnkak?δqkak?aq

所以

?maq?β?iβmjxijaq x?上式对aq的任意取值成立，故有

?m?β?iβmjxij x?即xij是 二阶张量，证毕。

在前面讨论的柯西应力公式和转动惯量公式中应用识别定理

?

?

Nfj,ni是一阶张量，故ζij是二阶张量 fj?ζinj ，iNIN?Iijnin ，IN是阶零张量，ninj是二阶张量，故Iij是二阶张量

显然用识别定理判别张量十分简便。

3 应变张量 在弹性力学与流体力学中，变形体的应力与应变是最基本的概念之一。在外力作用下，变形体除了刚体位移外，还将产生变形。变形的最基本特征是变形后两点间距离发生改变。为了研究变形，我们在变形体内（图2－5）任取一点r?xiei和无限接近的另一点r°?xiei。两点位置差?r?r°?r?xio?xiei??xiei。由于

o????dyiei（图2－5）??yi为r点在变形两点无限接近，可用微分dr?dxiei代增量。微元dr变形后变为dr，r后的坐标。我们假定变形前后，变形体没有裂缝或褶皱，为连续体。故对于变形体在变形后的任一质点yi，一定能在变形前体内找到一质点xi与之对应。数学上看，两者间存在一一对应的函数关系

yi=yi?x1,x2,x3??yi?xj?（2.50）

自由标代表有3个方程，对每个方程，应用全微分公式

dyi=?yi?x1dx1??yi?x2dx2??yi?x3dx3??yi?xjdxj（2.51）

★ 全微分也满足指标式的仿代数特性

微元dr的变形可长度平方差来描述

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变形前 dr变形后 图2－5 e?rr°?dr?r变形的基本特征是两点距离的改变 e?e???dr?dr???dr??dyidyi?dxidxi??yi?xkdxk?yi?xjdxj??kjdxkdxj??y?yii????kj??x?xj?k??dxkdxj???kjdxkdxj??（2.52）

?kj1??yi?yi????kj?2??xk?xj??（2.53） ???kj为二阶数组，它与坐标xi有关，与微元dxi即dr的大小和方向无关。因为?dr?是零阶张量，dxidxj为二

阶张量，由张量识别定理，?kj为二阶张量，称为应变张量。（2.52）实体型为

?dr??dr?ε?dr（2.54）

?如图2－6，对于点r可作无穷多微元dr因而有无穷多变形?dr?。这无穷多变形?dr?的集合称为点r的应变状态，由（2.54）式可知

★ 点的应变张量决定点的应变状态

变形前 图2－6 应变张量决定应变状态 rdr变形后 ?dr?dr??dr?ε?dr?

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图2－7 应变分量的物理意义 变形前 dr??dx?,?,?????dy?,dy?,dy??dr变形后 （a）线应变 ?dr???,dx,???????dy?,dy?,dy?dr?????dr??dx?,?,??????dy?,dy?,dy??dr???????? 进一步，我们来分析应变张量分量的物理意义。如图2－7a，取一水平微元，由变形公式（2.52）

??dr?dr?dr??2????（b）角应变 ???ijdxidxj?????dx?2??dx???dr???dr???dx???dr????dx??（2.55）

?dr???dx???dx???dr??dx??设

?????dx?dr?dx?（2.56）

表示微元单位长度的伸长（或缩短），代入（2.55）式，整理得

?????????????（2.57）

?对于一般工程受力构件，我们可作小变形假设

????.?

略去高阶小量，（2.57）式变为

??????（2.58）

同理

?ii??i ?i??.?i?,??, ?（2.59）

说明当i?j时，应变张量分量表示线元各方向的相对伸长（或缩短），称为线应变。

又取相互垂直线元（图2－7b），由（2.53）式

????而

dr?dr????yi?yi???yi?yi???（2.60） ???????x??x???x?x????drdr?cos??drdr?????cos?????drdrsin???（2.61）

???19

，称为角变形。另外 ?【(2.60)式】 ???是变形后直角的改变（图2－7b）

dr?dr??dyidyi???yi?yi?xj?xkdxjdxk?????dx?dx? （2.62）

??比较（2.61）（2.62）式

??????dr?dr??dx???????dxsin?????dx?dr?????????dx???????dx?dr???????sin????????dx??? ???????????????sin??????由小变形假设

????????.?????.?

得

sin???????

????????

同理

?ij??ij?i?j?iji?j????i??.???j??.?（2.63）

说明当i?j时，应变张量分量表示互垂线元直角改变的一半，称为角应变。

2.5张量的对称性与反对称性

张量的对称性与反对称性 类似于矩阵的对称性与反对称性。对称或反对称意味着独立的张量分量减少，这给分析和计算带来方便。

2．5．1 对称张量

4 切应力互等定理 由前可知，点的应力状态由应力张量的9个分量确定，通过图2－8微元六面体的转动平衡分析发现，应力张量的9个分量并非独立。这是因为六面体正负面上的应力大小相等方向相反，故坐标面内的切向力构成三对力偶。由六面体的转动平衡条件，这三对力偶应各自保持平衡

?ζ?ζ?ζ??dX?dX??dX???ζ??dX?dX??dX?dX?dX??dX???ζ??dX?dX??dX?dX?dX??dX???ζ??dX?dX??dX?20

???ζ???ζ??ζ???ζ??（2.64） ζ???ζ??????

?ζ?ζ??dX?dX????dX?ζ???dX?dX??dX?ζ???dX?dX??dX2dY?dY??dY?dX?ζ??ζ??ζ??ζ??x?dX?x?ζ??ζ??OdX??ζ?ζ????dX?dX??dX??x?dX?dX??dX图2－8 切向力的三对力偶 这就是切应力互等定理。由此可得

ζij?ζji?ζij（2.65a）

T即张量的指标可交换或转置张量等于原张量。写成矩阵

?ζij???ζji???ζij?（2.65b） ???????为对称阵 表明??ζij?T?ζ???ζij????????对称ζ??ζ??ζ????ζ??（2.66） ?ζ???? 独立分量减少为6个。

一般地，若张量与其转置张量相等或指标可交换，则称该张量为对称张量。显然单位张量I是对称张量，由切应力互等定理，应力σ为对称张量，容易验证，应变张量?和转动惯量张量IO也是对称张量。

若张量的某两个指标可交换，我们就说张量关于这两个指标对称。对于二阶以上的张量需指明对称的指标。例如，若

??Cijk?Cij?k?Cijk? ?k?T则Cijk?关于k,?对称。 容易证明（请读者自证）

★ 坐标变换不改变张量的对称性

例题2.2

实验表明在线弹性范围内应力与应变呈线性关系

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ζij?Cijk?εk??σ?C:ε（2.67）

试证明弹性系数C是关于前两个指标和后两个指标对称的四阶张量。

证： 因为应力与应变是二阶张量，由张量识别定理，弹性系数是四阶张量，称为弹性张量。此外，应力是对

称张量，i,j可交换，

ζij?Cijk?εk??ζji?Cjik?εk?

Tij??? Cijk??Cjik??Cijk?即弹性张量C必关于i,j对称。再因应变是对称张量，k,?可交换

Cijk?εk??Cijklε?k?Cij?kε?k

T???Cijk??Cijk?Cji?k ?k?即C关于k,?对称，证毕。

2．5．2 反对称张量

5 刚体的定轴转动 如图2－9，为描述刚体绕的定轴n的转动，在轴上任取一点P（r?xiei）,刚体内任一点Q相对P的位

置矢为?r??xiei，刚体的转动角速度ω??iei，则Q相对P的速度为

n图2－9 角速度与旋转张量是对偶关系 QΩ????ω???rωPv=ω??r?Ω??rx?ω???:Ωrx?e?Oe?e?x? v?ω??r（2.68）

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?vi??ijkωj?xk???ikj?j?xk（2.69）

令

Ωik???ikj?j?Ω????ω（2.70）

?,ω为张量，Ω为二阶张量，则（2.69）式变为

?vi??ijkωj?xk???ik?xk?

v?ω??r?Ω??r （2.71）

这表明刚体绕定轴的转动既可用角速度向量ω描述，也可用二阶张量Ω描述。我们称Ω为旋转张量。Ω与ω有一一对应的对偶关系，因为用??ik乘（2.70）式

??ikΩik????ik?ikjωj???ik?ijkωj?(δ?iδij?δ?jδii)ωj???ω??

ω???????ikΩik?ω?????:Ω（2.72）

（2.70）（2.72）式说明了Ω与ω的对偶关系。而ω有三个分量，可推断Ω只有三个独立分量，因为

Ωik?Ωki???kij?j??ikj?j??Ωik（2.73）

T即转置张量等于负的原张量，对应的矩阵为反对称阵，对角元素必为零，只有三个独立分量。（2.70）（2.72）式的展开式分别为

????????????????????????????????ω??????????ω????????ω??ω?ω????ω?（2.74）

?????ω?,ω?,ω???????????????,??????,???????????????,???,?????（2.75）

一般地，若张量与其转置负张量相等，则称该张量为反对称张量。对于二阶以上的张量需指明关于反对

称的指标，例如Eddington张量???ijk关于任两个指标反对称

???ijk???ijk???jikijT??ijk=?ijkTjk????ikj???ijk??ijk???kjiikT...

这样的张量称完全反对称张量。

由刚体转动的例子可知，任何一个二阶反对称张量?都和一个向量w存在对偶关系

T????w?w?????:T （2.76）

w称为?的对偶向量（或反偶向量）。

容易证明（请读者自证）：

★ 坐标变换不改变张量的反对称性

还可证明（请读者自证）：若?为二阶对称张量，?为二阶反对称张量，则必有

23

A:B??（2.77）

2.6 二阶张量的若干特性

二阶张量尤其是二阶对称张量的应用非常广泛，本节进一步讨论它的若干特性。

2．6．1 二阶张量的对称性分解

对于任意二阶张量，有下面的分解定理：二阶张量可分解为对称张量与反对称张量之和

A?S?QS?Sij???A?A??TQ???A?A??T （2.78）

???Aij?AijT?Qij???A?ij?AijT?据张量运算法则可判别，S和Q均为二阶张量。容易验证，S为对称张量，Q为反对称向量。

对称性分解定理的一个最典型的应用是变形体微元相对运动的分解；

6 微元相对运动的分解 为了分析变形体(固体或流体)在点P附近的运动和变形，以P为中心取一无限小微元(见图2－10)，考察微元上任意点Q相对P点的位移。对于固体我们用

??ru?r?ui?yi?xj??xi（2.79）

表示点在变形前后的位移(见图2－10)。对于一般工程受力结构，u是一个小量。对于流体我们考察t与t+dt时刻间质点的位移

图2－10 微元的相对运动 ω?????:Ω变形前 P变形后 ??udt?u?或u?rQdrr?P POu?uieir?xiei??yieirdr?dxiei

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??udt（2.80） u?仍是小量。由体积无限小，Q点相对点P的位移（或速度）差可用微u为t时刻质点的速度，dt是微量，u分表示

dui??ui?xjdxj?DijdxjDij??ui?xj（2.81）

dui、dxj为一阶张量，由识别定理，Dij为二阶张量。据二阶张量的分解定理

Dij?Sij?Qij（2.82）

Sij????ui?uj??????xj?xi??（2.85） ?????ui?ujQij??????x?xij?Sij为对称张量，Qij为反对称张量。（2.81）式变为

SQ??（2.86） ??dui?dui?duiS?du?du+du（2.87）

SQdui=Sijdyjdui=QijdyjQ??du=S?dr（2.88） du=Q?dr（2.89）

QS由此可见，相对运动分为两部分，进一步分析表明前者表示微元的变形，后者表示微元的刚性转动。 先分析变形部分，由（2.79）式得

yk?xi??uk?xi??xk?uk?xi??δkixi

对于固体，由应变张量公式（2.53）有

1??yk?yk?ij????ij?2??xi?xj?1???uk??ki?????2??xi??????uk??kj????xj??????ij???1??u?uj?uk?yk?i??????

?2??x?xi?xi?xj?j???uk是小量，第三项是高阶小量可略去，则有

1??ui?uj???2??xj?xi??（2.90） ???ij?对照（2.85）式知?ij?Sij。

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