2005-2011全国高考文科数学2真题答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题

1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题 13．0 14．?三、解答题

17．解：设{an}的公比为q，由题设得

25 15． 16．6

35?a1q?6, ? 2?6a1?a1q?30. ????3分

?a1?3,?a1?2,解得? 或?q?2,q?3.?? ????6分

当a1?3,q?2时,an?3?2n?1,Sn?3?(2n?1); 当a1?2,q?3时,an?2?3n?1,Sn?3n?1. 18．解：

（I）由正弦定理得a?c?2ac?b. 由余弦定理得b?a?c?2accosB. 故cosB?222????10分

222????3分

2,因此B?45?. 2 ????6分

（II）sinA?sin(30??45?)

?sin3?0cos??45

c?os30?sin45

????8分

2?6?.4 故a?b? c?b?sinA2?6??1?3, sinB2

????12分

sinCsin?60?2??6 .sinBsin?4519．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。 （I）P(A)?0.5,P(B)?0.3,C?A?B,

????3分 ????6分 ????9分 ????12分

?B)? P(C)?P(AP(A)?P(B?) 0.

?? （II）D?C,P(D)?1?P(C)?1?0.8?0.2,

1 P(E)?C3?0.2?0.82?0.384.

20．解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则SE?AB,SE?3. 又SD=1，故ED?SE?SD， 所以?DSE为直角。

????3分

222 由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E， 得AB?平面SDE，所以AB?SD。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以SD?平面SAB。

（II）由AB?平面SDE知， 平面ABCD?平面SED。

????6分

作SF?DE,垂足为F，则SF?平面ABCD，

SF?SD?SE3?. DE2 作FG?BC，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则SG?BC， 又BC?FG,SG?FG?G，

故BC?平面SFG，平面SBC?平面SFG。 作FH?SG，H为垂足，则FH?平面SBC。 FH?????9分

21SF?FG3，即F到平面SBC的距离为. ?7SG721. 7 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为α， 则sin??d2121?,??arcsin. EB77????12分

解法二：

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设S(x,y,z),则x?0,y?0,z?0.

（I）AS?(x?2,y?2,z),BS?(x,y?2,z)，DS?(x?1,y,z)，

????????????????????由|AS|?|BS|得

(x?2)2?(y?2)2?z2?x2?(y?2)2?z2,

故x=1。

????由|DS|?1得y2?z2?1,

????又由|BS|?2得x2?(y?2)2?z2?4,

即y?z?4y?1?0,故y?2213,z?. 22????3分

??13???33???33),AS?(?1,?,),BS?(1,?,)， 于是S(1,,222222?????????????????13???DS?(0,,),DS?AS?0,DS?BS?0.

22故DS?AD,DS?BS,又AS?BS?S, 所以SD?平面SAB。

（II）设平面SBC的法向量a?(m,n,p)，

????????????????则a?BS,a?CB,a?BS?0,a?CB?0.

?????33???又BS?(1,?,),CB?(0,2,0),

22?33p?0,?m?n?故? 22?2n?0.? ????9分

????取p=2得a?(?3,0,2),又AB?(?2,0,0)。 ????????AB?a21?cosAB,a?????.

7|AB|?|a|故AB与平面SBC所成的角为arcsin21．解：（I）f'(x)?3x2?6ax?3?6a.

21. 7

????2分

由f(0)?12a?4,f'(0)?3?6a得曲线y?f(x)在x?0处的切线方程为 由此知曲线y?f(x)在x?0处的切线过点（2，2） （II）由f'(x)?0得x2?2ax?1?2a?0. （i）当?2?1?a?????6分

2?1时,f(x)没有极小值；

（ii）当a?2?1或a??2?1时由,f'(x)?0得

x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1,

故x0?x2.由题设知1??a?a2?2a?1?3. 当a?2?1时，不等式1??a?a2?2a?1?3无解。

2当a??2?1时，解不等式1??a?a?2a?1?3得?综合（i）（ii）得a的取值范围是(?5?a??2?1. 2????12分

5,?2?1). 222．解：（I）F（0，1），l的方程为y??2x?1，

y2?1并化简得 代入x?224x2?22x?1?0.

????2分

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3), 则x1?2?62?6,x2?, 442,y1?y2??2(x1?x2)?2?1, 22,y3??(y1?y2)??1. 2x1?x2?由题意得x3??(x1?x2)??所以点P的坐标为(?2,?1). 22,?1)满足方程 2

????6分

经验证，点P的坐标为(?y2x??1,故点P在椭圆C上。

22 （II）由P(?22,1) ,?1)和题设知， Q(22PQ的垂直一部分线l1的方程为

y??2x. 2 ①

设AB的中点为M，则M(21,)，AB的垂直平分线为l2的方程为 42②

y?21x?. 24

由①、②得l1,l2的交点为N(?21,)。 88????9分

所以B1C与平面BCD所成的角为30°

（20）解：

（Ⅰ）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

（Ⅱ）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

11C4C68 P(A)? ?215C101，2 （Ⅲ）Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i?0，1，2 Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j?0， B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

1，2 ，且B?A0?B2?A1?B1?A2?B0 Ai与Bj独立，i，j?0，故

P(B)?P(A0?B2?A1?B1?A2?B0)

?P(A0)?P(B2)?P(A1)?P(B1)?P(A2)?P(B0)

11112222C4C6C6C4C6C6C4C4 ?2?2??2?2?2 2C10C10C10C10C10C10 ? （21）解：

31 75（Ⅰ）f?(x)?x?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)

由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数； 当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。

综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是

减函数。

2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。

1(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a 3432 ??a?4a?24a

3 f(2a)? f(0)?24a

?a?1,a?1??4??由假设知 ?f(2a)?0, 即??a(a?3)(a?6)?0, 解得1?a?6

?f(0)?0,?3???24a?0.故a的取值范围是（1，6）

（22）解：

（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为

0?0?c2c2??c2

故

2， c?1 2由 e?c3 ?a3得 a?3，b?a2?c2=2

（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。

由（Ⅰ）知C的方程为2x+3y=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1)

22????????????C上的点P使OP?OA?OB成立的充要条件是P点的坐标为，且（x1?x2,y1?y2）2(x1?x2)2?3(y1?y2)2?6

整理得 2x1?3y1?2x2?3y2?4x1x2?6y1y2?6

2222又A、B在C上，即2x1?3y122?6,2x2?3y2?6

22故 2x1x2?3y1y2?3?0 ① 将 y?k(x?1)代入2x2?3y2?6，并化简得

(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0

6k23k2?6于是 x1?x2?, x1x2=, 222?3k2?3k?4k2 y1y2?k(x1?1)(x2?2)?

2?3k222 代入①解得，k?2，此时x1?x2?3 2 于是y1?y2?k(x1?x2?2)=? 因此， 当k??2时，P(,k3k， 即P(,?)

222322)， l的方程为2x?y?2?0； 2 当k?322时，P(,?)， l的方程为2x?y?2?0。

22（ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使

OP?OA?OB成立。

综上，C上存在点P(,?322)使OP?OA?OB成立，此时l的方程为 22x?y?2?0

2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修?选修Ⅰ）参考答案和评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题

1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题

13．2 14．420 15．2

16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．

注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：

512，得sinA?， 131334由cosB?，得sinB?． ······························································································· 2分

5516所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?． ··············································· 5分

6545?BC?sinB5?13． ·（Ⅱ）由正弦定理得AC?····················································· 8分 ?12sinA3131113168?． ·所以△ABC的面积S??BC?AC?sinC??5??·························· 10分

223653（Ⅰ）由cosA??18．解：

设数列?an?的公差为d，则

a3?a4?d?10?d， a6?a4?2d?10?2d，

···································································································· 3分 a10?a4?6d?10?6d． ·

2由a3，a6，a10成等比数列得a3a10?a6，

即(10?d)(10?6d)?(10?2d)2， 整理得10d?10d?0，

解得d?0或d?1． ············································································································· 7分 当d?0时，S20?20a4?200． ························································································· 9分 当d?1时，a1?a4?3d?10?3?1?7， 于是S20?20a1?19．解：

记A1，A2分别表示甲击中9环，10环，

220?19d?20?7?190?330． ·························································· 12分 2B1，B2分别表示乙击中8环，9环，

A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，

B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，

C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．

（Ⅰ）A?A············································································· 2分 1?B1?A2?B1?A2?B2，

P(A)?P(A1?B1?A2?B1?A2?B2) ?P(A1?B1)?P(A2?B1)?P(A2?B2)

?P(A1)?P(B1)?P(A2)?P(B1)?P(A2)?P(B2)

?0.3?0.4?0.1?0.4?0.1?0.4?0.2． ············································································· 6分

（Ⅱ）B?C1?C2， ············································································································· 8分

2P(C1)?C3[P(A)]2[1?P(A)]?3?0.22?(1?0.2)?0.096，

P(C2)?[P(A)]3?0.23?0.008，

·································· 12分 P(B)?P(C1?C2)?P(C1)?P(C2)?0.096?0.008?0.104． ·20．解法一：

依题设，AB?2，CE?1．

（Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BD?AC．

由三垂线定理知，BD?AC···························································································· 3分 1．

在平面ACA内，连结EF交AC11于点G，

AA1AC??22， 由于

FCCE故Rt△A??CFE， 1AC∽Rt△FCE，?AAC1D1 A1 C1 B1 ?CFE与?FCA1互余．

D 于是AC?EF． 1A F H E

G B C BED内两条相交直线BD，EF都垂直， AC1与平面

?平面BED． ·所以AC······································································································ 6分 1（Ⅱ）作GH?DE，垂足为H，连结A1H．由三垂线定理知A1H?DE，

故?A····································································· 8分 1HG是二面角A1?DE?B的平面角． ·

EF?CF2?CE2?3， CG?3CE?CF222，EG?CE?CG?． ?3EF3EG11EF?FD2?，GH??． ?EF33DE15?又AC1AA12?AC2?26，AG?AC11?CG?56． 3tan?A1HG?A1G?55． HG所以二面角A1?DE?B的大小为arctan55． ······························································· 12分 解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D?xyz．

依题设，B(2，2，，0)C(0，2，，0)E(0，21)，，A1(2，0，4)．

D x A B z D1 A1 C1 B1 E C y ?????????????????····································· 3分 DE?(0，21)，，DB?(2，2，0)，AC?(?2，2，?4)，DA1?(2，0，4)． ·1????????????????（Ⅰ）因为ACDB?0，ACDE?0， 1?1?故AC?BD，AC?DE． 11又DB?DE?D，

所以AC······································································································· 6分 ?平面DBE． ·1（Ⅱ）设向量n?(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则

?????????，n?DEn?DA1．

故2y?z?0，2x?4z?0．

1，?2)． ·令y?1，则z??2，x?4，n?(4，·································································· 9分

?????n，AC?等于二面角A1?DE?B的平面角， 1????????n?AC141． cos?n，AC???????142nAC1所以二面角A1?DE?B的大小为arccos21．解：

（Ⅰ）f?(x)?3ax?6x?3x(ax?2)．

因为x?2是函数y?f(x)的极值点，所以f?(2)?0，即6(2a?2)?0，因此a?1． 经验证，当a?1时，x?2是函数y?f(x)的极值点． ···················································· 4分 （Ⅱ）由题设，g(x)?ax?3x?3ax?6x?ax(x?3)?3x(x?2)．

3222214． ······························································ 12分 422]上的最大值为g(0)时， 当g(x)在区间[0，g(0)≥g(2)，

即0≥20a?24．

6． ························································································································· 9分 562]， 反之，当a≤时，对任意x?[0，56g(x)≤x2(x?3)?3x(x?2)

5故得a≤?3x(2x2?x?10) 53x?(2x?5)(x?2) 5≤0，

而g(0)?0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．

综上，a的取值范围为???，?． ······················································································ 12分

??6?5?x2?y2?1， 22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4直线AB，EF的方程分别为x?2y?2，y?kx(k?0)． ··············································· 2分 如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1?x2， 且x1，x2满足方程(1?4k)x?4， 故x2??x1?22y B O E F D A x 21?4k2．①

????????1510由ED?6DF知x0?x1?6(x2?x0)，得x0?(6x2?x1)?x2?；

27771?4k由D在AB上知x0?2kx0?2，得x0?所以

2． 1?2k210， ?1?2k71?4k22化简得24k?25k?6?0，

23或k?． ············································································································ 6分 38（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

解得k?h1?x1?2kx1?25x2?2kx2?25?2(1?2k?1?4k2)5(1?4k)2，

h2??2(1?2k?1?4k2)5(1?4k)2． ····································································· 9分

又AB?22?1?5，所以四边形AEBF的面积为

S?1AB(h1?h2) 214(1?2k) ??5?225(1?4k)?2(1?2k)1?4k2

1?4k2?4k ?221?4k≤22，

当2k?1，即当k?1时，上式取等号．所以S的最大值为22． ······························· 12分 2解法二：由题设，BO?1，AO?2．

设y1?kx1，y2?kx2，由①得x2?0，y2??y1?0， 故四边形AEBF的面积为

S?S△BEF?S△AEF

····························································································································· 9分 ?x2?2y2 ·

?(x2?2y2)2 22?x2?4y2?4x2y2 22≤2(x2?4y2)

?22，

当x2?2y2时，上式取等号．所以S的最大值为22． ·················································· 12分

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．C 2．B 7．A 8．A 二、填空题

3．C 9．C

4．D 10．D

5．C 11．D

6．A 12．B

113．

20三、解答题

?5n2?n14．

215．2?42

a1(1?qn)17．解：由题设知a1?0，Sn?，

1?q?a1q2?2，2a(1?q)?1．则?a1(1?q4)?5? ②

1?q?1?q?由②得1?q?5(1?q)，(q?4)(q?1)?0，(q?2)(q?2)(q?1)(q?1)?0， 因为q?1，解得q??1或q??2．

当q??1时，代入①得a1?2，通项公式an?2?(?1)n?1；

422211n?1，通项公式an??(?2)． 22?2?18．解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?，B?0，C?0得0?B?．

??当q??2时，代入①得a1?

应用正弦定理，知

AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?

AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???

因为y?AB?BC?AC， 2???2???

所以y?4sinx?4sin????x???23??0?x?3??，

（2）因为y?4????sinx?cosx?1sinx???2???23 ?

?43si??nx?????2????3?5???????x??????，

所以，当x??????，即x???时，y取得最大值63． 19．（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则A0，A1互斥，且A?A0?A1，故

P(A)?P(A0?A1)

?P(A0)?P(A1)

?(1?p)2?C12p(1?p)

?1?p2 于是0.96?1?p2．

解得p1?0.2，p2??0.2（舍去）．

（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则B?B0．

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100?2P(BC803160)?C2?． 100495

P(B)?P(B0)?1?P(B0)?1?316495?179495 20．解法一：

（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

连结AG，FG ∥1CD，又CD 2∥AB， 故FG ∥AE，AEFG为平行四边形． 0?.2件

2，故EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD． 所以EF∥平面SAD．

△ADG为等 （2）不妨设DC?2，则SD?4，DG?2，腰直角三角形．

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB?AG?A， 所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．

故?DMH为二面角A?EF?D的平面角

S

F

G H D A

z S E

B

M C

tan?DMH?DH2??2． HM1所以二面角A?EF?D的大小为arctan2． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D?xyz．

0，，0)S(0，0，b)，则B(a，a，，0)C(0，a，，0) 设A(a，F ?a??ab?E?a，，0?，F?0，，?， ?2??22??????b?EF???a，0，?．

2???????b?b??取SD的中点G?0，0，?，则AG???a，0，?．

2?2???A x G M D E B A C y ????????EF?AG，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

，0，0)，则B(11（2）不妨设A(1，，，0)C(0，1，，0)S(0，0，，2)E?1，，0?，F?0，，1?．

?1?2????1?2???111???????????????111?????EF中点M?，，?，MD???，?，??，EF?(?1，0，1)，MD?EF?0，MD⊥EF

?222??222???????????1????又EA??0，?，0?，EA?EF?0，EA⊥EF，

2???????????所以向量MD和EA的夹角等于二面角A?EF?D的平面角．

??????????????????MD?EA3． cos?MD，EA????????????3MD?EA所以二面角A?EF?D的大小为arccos3． 321．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x?3y?4的距离，

即 r?4?2． 1?3

得圆O的方程为x2?y2?4．

（2）不妨设A(x1，，0)B(x2，，0)x1?x2．由x?4即得

2A(?2，，0)B(2，0)．

设P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得

(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?x2?y2，

即 x2?y2?2．

????????PA?PB?(?2?x，?y)?(2?x，?y)

?x2?4?y2?2(y?1).2

22??x?y?4，由于点P在圆O内，故?2 2??x?y?2.由此得y?1．

2????????0)． 所以PA?PB的取值范围为[?2，222．解：求函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b．

（Ⅰ）由函数f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根．

所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)

当x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0．

?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0．

?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0．

?4a?5b?2?0?4a?5b?2?0．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2?b?0，a?3b?2?0，

所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，，2)C(4，2)．

?46??77?b

z在这三点的值依次为

所以z的取值范围为?

16，6，8． 7?16?，8?． ?7?2 1 O

B(2，2)

C(4，2)

?46?A?，? ?77?2 4

a

2006高考文科数学试题参考答案（全国II卷）

一、选择题：BDDD CBBB ACDA 二、填空题：

1213．45 14． 15． 16． 25

32三、解答题： 17． BC= 3 2

CD= 13

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