立体几何第二讲球体精讲(教师版)

【基础训练】

例1．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )． 4．C

A．1 B．2 C．3 D．4

【能力提升】

例1．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．25 B．50 C．125 D．都不对

解析：B，长方体的体对角线是球的直径，

l 2R R S 4 R2 50 例2．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）

A

B

2 C

．2

3

解析：D，正方体的棱长是内切球的直径，正方体的体对角线是外接球的直径，设棱长是a，

a 2r内切球，r内切球 a 2r外接球，r外接球 r内切球：r外接球 2例3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

Ａ．16 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．32

解析：C，正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线

为

2R

R S球 4 R2 24 。

例4. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )

A.4 B.3 C.2 D.5

22【答案】B解析： 如图，设球的半径是r，则πBD＝5π，πAC＝8π，

22∴BD＝5，AC＝8.又AB＝1，设OA＝x.

2222∴x+8＝r,(x+1)+5＝r.

解之，得先x=1,r＝3 故选B.

例5．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）

577π B．π C．π D．π 484

11225【答案】A．解析：S=π·1×3+×4π·1=π。 484 A．

例6．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9

厘

米则此球的半径为______厘米.

解析：12

，V Sh r2h 4 R3,R 12。 3

【水平拔高】

例1．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球___S正方体

解析：

，设V 4 R3 a3,a R

3S正 6a2 S球 4 R2

例2. 一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是___. 解析：10 Q

，S全 2 R2 R2 3 R2 Q,R 9

23221010 R R2 h,h R,S 2 R2 2 R R R2 Q 33339

1例3．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆6 V

的周长为4π，那么这个球的半径为( ) A.4 B.2 C.2 D. 3

【答案】B解析： 设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝ ，又∵OA＝OB 3

∴ΔAOB是等边三角形

同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.

边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径.

r＝

33AB＝R ，R＝r＝23，∴应选B. 333

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