16-3第3讲 离散型随机变量的均值与方差

第16章 第3讲 离散型随机变量的均值与方差

一、选择题

1．已知ξ的分布列为

ξ P 则Eξ，Dξ分别等于( )

A．0,0 B．0.2,0.7 C．－1，－0.3 D．－0.3,0.61 2．已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝2)＝0.7.则EX和DX的值分别为( )

A．0.6和0.7 B．1.7和0.3 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 3．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为X，则下列结论正确的是( )

A．EX＝0.1

C．P(X＝k)＝0.01k·0.9910

－k

－1 0.5 0 0.3 1 0.2 B．DX＝0.1

D．P(X＝k)＝C10k0.99k×0.0110k

－

4．设随机变量X～B(n，P)，且EX＝1.6，DX＝1.28，则( )

A．n＝8，P＝0.2 B．n＝4，P＝0.4 C．n＝5，P＝0.32 D．n＝7，P＝0.45 5．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ、η的分布列分别是

ξ P 0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1

η P 0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0 据此判定( )

A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )

1111A. B. C. D. 4824126二、填空题

7．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，2

并且概率都是，则甲回家途中遇到红灯次数的均值为________次．

5

1

8．已知某批次产品共10000件，其中有200件次品．有放回地从中抽取200件进行检验，查得次品数的数学期望为____________． 9．随机变量ξ的分布列如下：

ξ P －1 a 0 b 1 c 其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝0，则Dξ的值是________． 10．(2010·湖北，14)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________． 三、解答题

11．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶1

盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该

6饮料．

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

12． A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为

X1 P

X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 5% 0.8 10% 0.2 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；

(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．(注：D(aX＋b)＝a2DX)

亲爱的同学请写上你的学习心得

2

第16章 第3讲 离散型随机变量的均值与方差

一、选择题

1．已知ξ的分布列为

ξ P 则Eξ，Dξ分别等于( )

A．0,0 B．0.2,0.7 C．－1，－0.3 D．－0.3,0.61 [解析] Eξ＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3

Dξ＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61. [答案] D 2．已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝2)＝0.7.则EX和DX的值分别为( )

A．0.6和0.7 B．1.7和0.3 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 [解析] EX＝1×0.3＋2×0.7＝1.7 DX＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21 ∴选D. [答案] D

3．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为X，则下列结论正确的是( )

A．EX＝0.1

C．P(X＝k)＝0.01k·0.9910

－k

－1 0.5 0 0.3 1 0.2 B．DX＝0.1

D．P(X＝k)＝C10k0.99k×0.0110k

－

[解析] ∵X～B(10,0.01) ∴EX＝10×0.01＝0.1.∴选A. [答案] A 4．设随机变量X～B(n，P)，且EX＝1.6，DX＝1.28，则( )

A．n＝8，P＝0.2 B．n＝4，P＝0.4 C．n＝5，P＝0.32 D．n＝7，P＝0.45 [解析] ∵X～B(n，P) ∴EX＝nP DX＝nP(1－P)

?nP＝1.6?从而?，∴n＝8，P＝0.2 ∴选A. [答案] A

?nP?1－P?＝1.28?

5．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ、η的分布列分别是

ξ P

3

0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1

η P 0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0 据此判定( ) A．甲比乙质量好 C．甲与乙质量相同 [答案] A

6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )

1111

A. B. C. D. 4824126[解析] 设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为

X P EX＝3a＋2b＝2≥2 二、填空题

7．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，2

并且概率都是，则甲回家途中遇到红灯次数的均值为________次．

5

22

[解析] 设甲在途中遇红灯次数为X，则X～B(3，) ∴EX＝3×＝1.2. [答案] 1.2

55

8．已知某批次产品共10000件，其中有200件次品．有放回地从中抽取200件进行检验，查得次品数的数学期望为____________．

[答案] 4

9．随机变量ξ的分布列如下：

ξ P －1 a 0 b 1 c 3 a 2 b 0 c B．乙比甲质量好 D．无法判定

13a×2b，所以ab≤，当且仅当3a＝2b时，等号成立．[答案] D

6

其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝0，则Dξ的值是________． 12

[解析] ∵a＋b＋c＝1，又2b＝a＋c，∴b＝，a＋c＝

3311

由Eξ＝0，∴0＝－a＋c，∴a＝，c＝

33

11122

∴Dξ＝(－1－0)2×＋(0－0)2×＋(1－0)2×＝. [答案]

3333310．(2010·湖北，14)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________． [解析] x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①

4

又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.② 由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4. [答案] 0.4 三、解答题

11．(2010·四川，17)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，1

购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每

6人购买了一瓶该饮料．

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

1

[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝.

61?5?225

p(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝·＝.

6?6?21625

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是. 216(2)ξ的可能取值为0,1,2,3. 1?k?5?3－k

P(ξ＝k)＝C3k??6??6?，k＝0,1,2,3. 所以中奖人数ξ的分布列为

ξ P 0 125 2161 25 722 5 723 1 21612525511Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

21672722162

12．(2008·海南)A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为

X1 P

X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 5% 0.8 10% 0.2 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；

(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．(注：D(aX＋b)＝a2DX)

5

[解] (1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为

Y1 P

Y2 P EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6， DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，

DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. x?100－x?Y1＋D?(2)f(x)＝D??100??100Y2? x?2?100－x?2DY ＝?DY＋1

?100??100?2＝＝

422

2[x＋3(100－x)] 100

422

2(4x－600x＋3×100)， 100

2 0.2 8 0.5 12 0.3 5 0.8 10 0.2 600当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．

2×4

亲爱的同学请写上你的学习心得

6

[解] (1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为

Y1 P

Y2 P EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6， DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，

DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. x?100－x?Y1＋D?(2)f(x)＝D??100??100Y2? x?2?100－x?2DY ＝?DY＋1

?100??100?2＝＝

422

2[x＋3(100－x)] 100

422

2(4x－600x＋3×100)， 100

2 0.2 8 0.5 12 0.3 5 0.8 10 0.2 600当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．

2×4

亲爱的同学请写上你的学习心得

6

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