12.天体运动复习：天体运动复习、轨道的计算

第13讲 天体运动

导读

本讲前半题目是考频率最高的题目，相对来说没什么新意。后一段散射、潮汐等会更实际一些，有意

义一点。本讲可能用到的参数：地球质量ME?5.98?1024kg，月球质量MM?5.98?1024kg，地球半径月球质量MM?7.35?1022kg，月球球半径RM?1.74?106m，地月距离r?3.84?108m ，RE?6.37?106m，

太阳质量MS?1.99?1030kg，地日距离rES?1.50?1011m?1AU，木星到太阳距离rJS?5.02AU，火星到太阳距离rMS?1.52AU。万有引力常数G?6.67?10?11N?m2?kg?2

例题精讲

本题与主题无关，用来舒活筋骨

【例1】

假设某人搭设了一个从地面附近一直延伸的月球附近的天梯。天梯与地月连线保持静止。天梯横截面积为S?1m2，密度为??0.2?103kg/m3。

(a)为了使得天梯能保持平衡，允许在星体附近挂一个配重。求配重质量。 (b)在第一问基础上，求出天梯材料应当能承受压强是多少。

各种变轨道。其实非常简单，利用上一讲关于轨道的结论+能量守恒/角动量守恒，完爆 【例2】

一卫星在半径为r的圆形轨道上运动．运动周期为T。如果给卫星一个附加的径向速度un或一个附加的切向速度u?，卫星都将沿一个椭圆轨道运动。(设加速后卫星机械能仍满足E<0) (1)确定在这两种情况中卫星的运动周期。 (2)径向速度un及切向速度u?必须满足什么关系才能使卫星运动周期相等?

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【例3】

一颗陨石在飞向质量为M的行星途中(沿着通过行星中心的直线)碰到绕此行星沿半径为及的圆周轨道运行的自动宇宙站。站的质量为陨石质量的10倍，碰撞使得陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为R/2的新轨道上。求碰撞前陨石的速度u。

【例4】

从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径Rm为地球半径R0的1.50倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星。第二步是在适当的时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图所示。 (1)为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，使之在地面附近获得多大的速度(相对于地球)? (2)当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图所示。问应在何年何月何日(时间计算仅需精确到日)点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面?(已知地球半径为R0＝6.4×106m，取重力加速度g＝9.8m/s2)

【例5】

如图所示，登月飞船以速度v0绕月球做圆周运动。已知飞船质量m=1.2×104kg，离月球表面的高度h=100km。飞船在A点突然向前做短时间喷气，喷气的相对速度u=1.0×104m/s，喷气后飞船在A点的速度减为vA，于是飞船将沿新的椭圆轨道运行。为使飞船能在图中的B点着陆(A、B连线通过月球中心，即A、B点分别是椭圆轨道的远月点和近月点)，试问喷气时需消耗多少燃料？已知月球半径R=1700km，月球表面的重力加速度g=1.7m/s2。

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【例6】第25届复赛第2题

二、(21分)嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高

Hn?2.05?102km，远地点离地面高Hf?5.0930?104km，周期约为16小时，称为16小时轨道(如

图中曲线1所示)。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道(如图中曲线2所示)，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道(分别如图中曲线3、4、5所示)。已知卫星质量m?2.350?103kg，地球半径R?6.378?103km，地面重力加速度g?9.81m/s2，月球半径r?1.738?103km。

1．试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e。

2．在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？

3．试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。

4．卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。

【例7】第29届第二题

设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度

这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法R(从地心算起)延伸到太空深处。

是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。

1.设在某次发射时，卫星在太空电梯中及其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。 ⅰ.论证卫星脱落后不会撞击地面

ⅱ.如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星，讨论该卫星从脱落时刻起，在0?12小时及12?24小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性。

2.如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为Rx处有一卫星从电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)，脱离后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星卓地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。

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已知：地球质量M?6.0?1024kg，半径Re?6.4?106m的球体；引力恒量G?6.7?10?11N?m2?kg?2；地球自转周期Te?24小时；假设卫星与太空电梯脱离后只受地球引力作用。

R0.80RR0

【例8】

如图所示，一彗星以初速度v0向着太阳运动，其原始轨道与太阳中心的距离为b，太阳的质量为M，半径为R，将太阳视为静止，并略去所有其他星体的作用，试求彗星不与太阳相撞的b的可取值是多少？

考虑反冲效应，从行星偷能量 【例9】

用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上从地球发射一航天器，由时间控制以使航天器在木星后面一距离穿越木星轨道。因航天器跟木星引力场有作用而偏转90°，即作用后的速度切于木星轨道(圆轨道)。则在这作用中航天器单位质量得到的能量是多少?木星的轨道半径为Rj，太阳质量为Ms，万有引力常数为G。 潮汐

【例10】

利用地球质量ME、月球质量MM、地球半径RE、月球半径RM、地月距离r表达地球潮汐高度。以及如果月球上有水，对比月球上潮汐高度。

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【例11】

某位同学写科幻小说。“Kerrigan站在月面的基地上，仰望星空。一轮蓝色地球冉冉升起。啊，那是曾经的故乡…”请指出这段小说中的硬伤。

【例12】

地球和月球构成的体系角动量守恒，请解释由于潮汐的作用，地球自转会变慢，月亮会离地球越来越远。并计算月亮由于这个效应，最后可能距离地球最远的距离。

你知道吗

最大与最小——宇宙的奥秘 Written by 童哲

?31在广袤的宇宙中物质的形态形形色色，大小尺度从从最小的电子质子(小于9.109?1024kg)跨度

到地球质量(5.98?10kg)再到更大的星系等等。你是不是觉得质量越大的东西越复杂呢？是不是越大的东西需要越多参数来描述呢？

比如电子是很简单的物体，只需要质量、电量、自旋，轻子数等少数几个物理量就能完整地刻画其性质；但是对于更大的物理，比如魔方，需要知道54个小面的颜色以及魔方的朝向才能刻画其性质；但对于例如地球这样的庞然大物，就需要更多的参数，比如每条河的位置和流向，比如每座山的高度，比如地球表面的你我他的速度和衣服颜色。这个规律似乎可以一直拓展到更大的天体。其实不是这样的，这个规律将很快被打破。当星球的质量大于1.4倍的太阳质量的时候，一般来说它将会由于自身引力的影响，由一个复杂的星球变成一个类似于电子一般极其简单的物体——黑洞。

黑洞(Black hole)是根据现代的广义相对论所预言的，在宇宙空间中存在的一种质量相当大的天体和星体(并非为一个“洞”)。黑洞是由质量足够大的恒星在核聚变反应的燃料耗尽而死亡后，发生引力坍缩而形成。黑洞的质量是如此之大，它产生的引力场是如此之强，以致于任何物质和辐射都无法逃逸，就连光也逃逸不出来。由于类似热力学上完全不反射光线的黑体，故名为黑洞。

但你一定觉得黑洞质量这么大能量引力这么强，一定是很复杂的星体吧？非也，其实黑洞简单到只需要三个参数(质量、角动量、电量)就能够唯一确定一个黑洞。所以说，很多规律在最大和最小的点上是相同的，中文所谓的“大道至简、大音希声、大象无形”说的就是这个道理。爱好物理的你们，请问你还想过类似的共同的有趣事例吗？

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