《高等代数(下)》：学习笔记001 (线性空间8.1-8.4)

《高等代数(下)》：学习笔记

第八章 线性空间

§8.1 定义与性质

线性空间条件 α β性质：

1、交换律：α β β α 5、壹 律： 1 α α

2、结合律： α β γ α β γ 6、结合律： k l α kl α 3、零 律：α Ο α 注：Ο元素不一定是0 7、向量分配律： k l α k α l α

8、数量分配律： k α β k α k β 4、负 律：α β Ο 注：β即 α

注：” ”即向量加法，” ”即向量乘法，但这只是为了区别通常加(乘)法，所以有时用普通符号” ”, ” ” ,”·”表示也可以的。

性质推广：

求V是否为线性空间的方法：

1、α β … η，其加法不计先后

1、根据题目给定的向量加法和数乘的定义 2、Ο是唯一的 2、证明在该定义下V都符合以上8个性质 3、 α由α唯一确定

4、α β α γ 则 β γ △这个证明需要多做题练习掌握

5、k 0 或 α Ο 时，充要 kα Ο

6、 k α kα §8.2 向量组的线性关系

γ δ k α

α,β,γ,δ V k,l P 称V为数域P上的线性空间

由α ,α ,…,

α V k P

性质： （即总结上册所有知识） 1、任一α 都可由α ,α ,…,α 线性表出，则线性相关

2、k 不全为0，使k α k α k α 0成立，线性相关；反之k 为0时等式才成立，线性无关 3、向量组有 Ο 零向量，则线性相关

4、部分向量组线性相关，则向量组也线性相关

5、至少有一α 可由其余向量线性表出，则线性相关 （注意区分第1点） 6、α ,α ,…,α 线性无关，但 β 可由其线性表出，则α ,α ,…,α ,β 线性相关 7、|D| 0，则线性相关；|D| 0，则线性无关 8、α ,α ,…,α β ,β ,…,β ，称等价的

互相线性表出

重述一些符号定义： 0、a, b, c,…表元素 1、k, l, m,…表系数 2、α, β, γ,…表向量 3、x, y, x,…表未知数

4、下标1, 2, 3,…表第几个数5、下标i, j ,k, ,…表任一个数6、下标s, m ,n,…表总个数

14、线性无关组，其秩 r s

15、α ,α ,…,α 可由β ,β ,…,β 线性表出，则秩r α r β 相等； 向量组等价，则秩r相等； 秩r相等且α 可由β ,β ,…,β 线性表出，则向量组等价。

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9、α ,α ,…,α 可由β ,β ,…,β 线性表出，且s t，则α ,α ,…,α 线性相关 如果α ,α ,…,α 是线性无关，那么s t

10、在α ,α ,…,α 中，部分向量组线性无关，但添加其余向量后线性相关，称极大线性无关组 11、α ,α ,…,α 都可由部分向量组(线性无关)线性表出，后者称极大线性无关组

12、β ,β ,…,β 中，每个β 不能被β ,β ,…,β (即β 前面向量组)线性表出，线性无关(β 0且i 2) 13、向量组中，任一极大线性无关组 原向量组 另一个极大线性无关组

等价

等价

§8.3 维数、基、坐标

n维线性空间：维线性空间：V中有n个向量线性无关，但当n+1个向量时线性相关 无限维线性空间：无限维线性空间：V中有任意多个线性无关的向量

零空间：零空间：维数 n 0

V是n维的条件：V中任意向量都可由α

线性表出

注：此定义雷似极大线性无关组

V

矩阵表示 换个字母

V

基变换存在如下关系：

附加说明：对于这种常见的线性表出，已出现多次，它们的性质意义是一样的，只是叫法不同，应该提升到一个规律性的认识。

x x x x x 表示 ，x 表示 x

为书写简便，定义符号：（自创, §8.4 基变换与坐标变换

ε a ε a ε a ε ε

a

ε a ε a ε

ε a ε a ε a ε

简写

推出

a

a a

a a a

矩阵表示

ε ε T

x x T

基变换公式

坐标变换存在如下关系： 详见书P163-165例2

推出

，则 ε

α T 1、 α ε T

2、 α ε A 且 β α B ，则 β ε AB

性质总结：

△注意不是 x T，不满足交换律

坐标变换公式

且 β ε B ，得 β α A B ，由 ε α A 3、 α ε A

详见书P163-165例2

（未完，待续）

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