等离子体物理基础期末考试(含答案)

授课：XXX 版权所有，违者必究！！ 中文版低温等离子体作业

一. 氩等离子体密度103210n cm -=?, 电子温度 1.0e T eV =, 离子温度0.026i T eV =, 存

在恒定均匀磁场B = 800 Gauss, 求

（1） 德拜半径；

（2） 电子等离子体频率和离子等离子体频率；

（3） 电子回旋频率和离子回旋频率；

（4） 电子回旋半径和离子回旋半径。

解：1、1/2302

()8.310()e i

D e i T T mm T T ne ελ-==?+， 2、氩原子量为40， 2

2

1/21/200()8.0,()29pe pi e i

ne ne GHz MHz m m ωωεε====， 3、14,0.19e i e i

eB eB GHz MHz m m Ω==Ω== 4、设粒子运动与磁场垂直

24.210, 1.3e e i i ce ci m v m v r mm r mm qB qB -===?=== 二、一个长度为2L 的柱对称磁镜约束装置，沿轴线磁场分布为220()(1/)B z B z L =+，并满

足空间缓变条件。

求：（1）带电粒子能被约束住需满足的条件。

（2）估计逃逸粒子占全部粒子的比例。

解：1、由B(z)分布，可以求出02m B B =，由磁矩守恒得 22001122m m

mv mv B B ⊥⊥=

，即0m v ⊥⊥= （1） 当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有0m v v ⊥≥，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足

授课：

XXX 002

v ⊥≥ 2

、逃逸粒子百分比2001sin 129.3%22

P d d πθ?θθπ==-

=?? （2） 三、 在高频电场0cos E E t ω=中，仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞，并且碰撞频率/t t ea ea v νλ=正比于速度。求电子的速度分布函数，电子平均动能，并说明当t ea ων>>时，电子遵守麦克斯韦尔分布。

解：课件6.6节。

电子分布函数满足

2200010220011cos 1()(())(1.1)32cos (1.2)t a ea e a t ea e f eE t T f v f v vf t m v v v v m v eE t f f f t

m v ωκνων?????-=+??????????-=-????

因为0f 的弛豫时间远远大于1f 的弛豫时间，因此近似认为0f 不随时间改变，1f 具有ω的频率，即

0111120 (2.1)(,)()cos ()sin (2.2)

f t f v t f v t f v t ωω??=????=+?

(2.2)代入(1.2)中，得

0011121112()cos ()sin cos t t ea ea e eE df f f t f f t t m dv

ωνωωνωω+--=

（3） 对比cos t ω和sin t ω的系数，(3)解得 000011122222,()()t ea t t e ea e ea eE df eE df f f m dv m dv νωωνων==++ （4） (4)代入(1.1)得 2222000222222((1cos 2)()sin 2())6t ea t t e ea ea e E v df df d d v t t m v dv dv dv dv

νωωωωνων-++++ 20021(())2t a ea a T f v vf v v m v

κν??=+?? （5） 对(5)求时间平均得 22220000222221()(())62t t ea a ea t e ea a e E v df T f d v vf m v dv dv v v m v

νκνων??-=++?? （6）

授课：XXX 引入有效电场22

20

222()t ea eff t ea E E νων=+代入(6)得 222200021()(())32eff t a ea t e ea a e E v df T f d v vf dv m dv v m v

κνν??-=+?? （7） 对(7)两端积分，得 2200022203eff a t e ea a e E df T f vf m dv m v

νκ?++=? （8） 所以电子分布函数为 0222200exp()/3()v

e t a e ea m vdv

f A T e E m κων=-++? （9） 其中A 为归一化系数，电子动能为

4

00

2()e e K m f v v dv π∞

=? （10）

当t ea ων>>时， 0222200exp()/3()v e t a

e ea m vdv

f A T e E m κων=-++? 22200exp()/3v e a e m vdv A T e E m κω≈-+?

222/23/202

()e ,23e e m v T e e a e e m e E T T T m πκω-==+ （11） 为麦克斯韦分布。

四、设一长柱形放电室，放电由轴向电场维持，有均匀磁场沿着柱轴方向，求：

（1）径向双极性电场和双极扩散系数；

（2）电子和离子扩散系数相等时，磁场满足的条件；

（3）当磁场满足什么条件时，双极性电场指向柱轴。

解：课件8.5节。

1、粒子定向速度u 满足 n u E D n μ⊥⊥⊥

?=- （1） 其中/c eB m ω=，211(/)c m m e m μωνν⊥=+，211(/)c m m

T D m ωνν⊥=+。 双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，根据(1)，因此径向方向上

授课：XXX

有

i i i i i nu nE D n μ⊥⊥⊥Γ==-?

e e e e e nE D n nu μ⊥⊥⊥=--?==Γ （2） 解方程(2)得径向双极性电场 i e i e D D n

E n

μμ⊥⊥⊥⊥-?=+ （3）

代入(2)得到

e i i e

i e

D D n μμμμ⊥⊥⊥⊥⊥⊥+Γ=-

?+ （4）

因此径向双极扩散系数为e i i e

a i e

D D D μμμμ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥+=

+。

2、电子和离子扩散系数分别为 2

1

1(/)i i i i i i T D m eB m νν⊥=

+

2

1

1(/)e e e e e e T D m eB m νν⊥==+ （5）

解方程(5)得

2

2

()

i i e e e i i i e e i i i e e e

m m T m T m e B m T m T νννννν-=

- （6）

注意到i e m m >>，因此磁场满足2

2i i e e e

i

m m T B e T νν=

。

3、双极性电场指向柱轴等价于

22222222222222220i i i e e e

i e

i i e e i i e e i e

i i e e T m T m D D m e B m e B n n

E em em n n m e B m e B

ννννννμμνν⊥⊥⊥⊥⊥-

-++??=

=<++++ （7）

当考虑,,i e e i i i e e m m T T T m T m >>>>>>时，(7)简化为

2222

i i e e e i i i m m T e B T m ννν< （8）

(8)成立即双极性电场指向柱轴的条件是2

2i i e e e

i

m m T B e T νν>

。

五、如果温度梯度效应不能忽略, 推导无磁场时双极扩散系数和双极性电场。

授课：XXX 解：粒子运动方程

0m qnE p mn u ν-?-= （1） 若等离子体温度有梯度，即p T n n T ?=?+?，有 m m m q T n T T u E m m n m T ννν??=

-- （2） 即

/nu nE D n Dn T T μΓ==-?-? （3） 其中,m m

q T D m m μνν==。 双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，因此有

//i i i i e e e e nE D n D n T T nE D n D n T T μμΓ=-?-?=--?-?=Γ （4） 由方程（4）解得双极性电场满足 i e i e i e i e D D D D n T E n T

μμμμ--??=+++ （5） 将（5）带入（4），得 /e i i e e i i e i e i e i e

D D D D n n T T μμμμμμμμ++Γ=Γ=-?-?++ （6） 因此双极性扩散系数为e i i e a i e D D D μμμμ+=

+。 六、推导出无碰撞鞘层Child 定律和玻姆鞘层判据。

解：课件9.1节。

在无碰撞鞘层中作如下假设：电子具有麦克斯韦分布；离子温度为0K ；等离子体-鞘层边界处坐标为0，电场电势为0，此处电子离子密度相等，离子速度为s u 。

根据粒子能量守恒得

221122

s Mu Mu e φ=- （1） 根据粒子通量守恒得

i s s n u n u = （2） 解得，1/222(1)i s s

e n n Mu -Φ=-。电子满足玻尔兹曼分布/e T e s n n e Φ=，带入泊松方程得 2/1/22201((1/)),2

T s s s s en d e eE Mu dx εΦ-Φ=--ΦE = （3）

授课：XXX 上式两端乘d dx Φ并对x 积分，注意有00|0,|0x x d dx

==ΦΦ==，得

/1/20()((1/))T s s en d d d d dx e dx dx dx dx dx εΦ-ΦΦΦ=--ΦE ?? 2/1/20

1()(2(1/)2)2T s s s s en d Te T E E dx εΦΦ=-+-ΦE - （4） （4）要保证右端为正，当||0Φ>>时显然成立。当||Φ较小时，对其线形展开得， 2222

1124s

e e T E ΦΦ≥ 化简得玻姆鞘层判据1/2()s B eT u u M

≥=。 当阴极鞘层的负偏压较大时，/0e T e s n n e

Φ=≈，s E <<Φ，此时（4）近似等于 21/21/2012()2()()2s s en u d e dx M

ε-Φ=-Φ （5） 记0s s J en u =，（5）两边开方再积分，注意边界条件00|0,

|0x x d dx ==ΦΦ==得 3/41/21/40032()()()2J e x M

ε--Φ= （6） （6）中带入边界条件0()s V Φ=-，化简得无碰撞鞘层Child 定律 3/21/20002

42()9V e J M s ε= 七、设一无碰撞朗谬尔鞘层厚度为S ，电压为V ，证明：一个初始能量为零的离子穿过鞘层

到达极板所需时间为03/t s v =，这里1/20(2/)v eV m =。

解：朗缪尔鞘层中电势的分布为 3/41/21/4032()()2J e x m

ε---Φ= （1） Child 定律为3/2

1/20242()9e V J m s

ε=，带入（1）得鞘层电势分布满足 4/3()

x V s Φ=- （2）

由粒子能量守恒得

授课：XXX 212

mv e =-Φ （3） 带入得（2），化简得

2/30()dx x v v dt s == （4） 对于方程(4)将含x 项移到左边，两边乘dt 再积分，注意到初始条件0|0t x ==，得 2/31/30

3s x t v = （5） 当粒子到达极板时，有x s =，带入（5）得

03/t s v =

八、 一个截面为正方形（边长为a ）长方体放电容器内，纵向电场维持了定态等离子体，设直接电离项为i n n t

δνδ=，并忽略温度梯度效应，求： （1）在截面内等离子体密度分布和电离平衡条件：

（2）设纵向电流密度为e j en E μ=，给出穿过放电室截面的总电流表达式。

解：1、由平衡态粒子数守恒方程得2a i D n n ν-?=，化简得亥姆霍兹方程

220,n k n k ?+== （1） 对（1）分离变量法求解。设()()n X x Y y =，有

22222220,0,x y x y X X Y Y k λλλλ?+=?+=+= （2） 为了保证XY

方向的对称性，所以有x y λλλ===

|0n ∑= 的限制，由（2）得

sin ,sin ,/X x Y y m a λλλπ=== （3） 注意到密度n 恒正，所以自然数m 只能等于1，由（3）得密度分布和电离条件为

220sin

sin ,2i a x y n n a D a a ππνπ== （4） 2、总电流为000

sin

sin a a

e x y I jdxdy e n E dxdy a a ππμ==????08e a i e n ED μν=。 九、电子静电波的色散关系为222232

pe th k v ωω=+，这里22e th e T v m =。给出波的相速度和群速度；证明在大的波数k 时，波的相速度和群速度相等，并给出其值。

授课：XXX 证：

群速2g d v dk ω==，

相速p v k ω

==， 当k

很大时p g th v v =≈

。 十、一个碰撞阴极鞘层，忽略鞘层中电子密度和电离效应，取离子定向速度为2i i i e E u M u λπ=，推导鞘层中的电场分布、电势分布、碰撞情形Child 定律及鞘层厚度与平均自由程的关系式。 解：课件9.2节。

粒子连续性方程满足i i s s n u n u = 带入2i i i e E u M u λπ=得1/2(2/)

s s i i n u n e E M λπ= （1） 将（1）代入高斯公式得，

1/2

00(2/)i s s i en en u dE dx e E M εελπ== 在鞘层边界近似有(0)0E =，解得电场分布为

2/31/32/30(3/2)(2/)s s i E en u e M x ελπ-= （2）

令电势满足(0)0Φ=，对（2）积分得电势分布为

2/32/31/35/30

33()()(2/)52s s i en u e M x λπε-Φ=- （3） 注意到s s J en u =，()s V Φ=-，所以得到Child 定律形式为

3/2

3/21/205/2

225()()33i e V J M s λεπ= （4） 由（4）得鞘层厚度与平均自由程的关系式为

3

3/52/51/51/502252()()()33i eV s MJ

ελπ= （5） 十一、由流体运动方程，忽略掉粘性应力项，（1）推导出无磁场时电子、离子在等离子体中的定向速度表达式；（2）忽略温度梯度，证明定向速度为零时，带电粒子遵守波尔兹曼分布。

授课：XXX 解：1、课件7章。

无磁场玻尔兹曼积分微分方程

v nf qE nf v nf nf t m t

δδ?+??+??=? （1） 在速度空间上积分。方程(1)左边第一项为 33()nf n d v n fd v t t t

???==????? （2） 左边第二项为 333()()k k k

k k k nf v nfd v v d v n v fd v nu x x ????===????∑∑??? （3） 左边第三项为

330k k v k k k qE qE qE nf nfd v d v f m m v m ∞-∞???===?∑∑?? （4）

右边碰撞项为

3nf n d v t t δδδδ=? （5） 由(2)-(5)得粒子连续性方程

()n n nu t t

δδ???=-? （6） 方程(1)两端乘上mv ，在速度空间上积分。方程(1)左边第一项积分得

33()nf nu u n mv d v m vnf d v m mn mu t t t t t

?????===+??????? （7） 令v u w =+，其中u 为定向速度，w 为无规则速度。注意u 不显含v ，第二项积分得 333l l

l nf mvv nfd v mvv d v m vvnfd v x ???==???∑??? 333(())m uu nfd v u wnfd v wwnfd v =??++???

3(()())()m u un u nu m nu wfd v =??+??+???

233k k k l k k l

k k m e w nfd v m w w nfd v x x ≠??++??∑∑?? （8） 因为w 为无规则速度，(8)第二项等于零；(8)的第四项为粘性应力项，这里忽略为零；(8)的第三项为压强的微观表达式，当粒子分布为各向同性的麦克斯韦分布时

232313

k w nfd w n w fd w =?? 222()2223/221()()32x y z m w w w T x y z x y z m n dw dw dw w w w e T π∞∞∞-++-∞-∞-∞

=++???

授课：XXX 23/24201()432m w T m nT n e w dw T m ππ∞

-==? （9） 所以23k k k k

m e w nfd v nT x ?=??∑? （10） 将粒子连续性方程(6)，等式(10)代入积分(8)，并认为粒子密度n 不随空间改变，得

3()n n mvv nfd v mn u u mu mu nT t t δδ???=??+-+??? （11） 第三项积分得

33l v k k k l l qE qE mv

nfd v mv e nfd v m m v ???=?∑∑?? 3()k l k k l

l v qnE f e d v qnE v ?=-=-?∑∑? （12） 右边碰撞项积分得

333nf n vf n u mv d v m vfd v mn d v mu mn t t t t t

δδδδδδδδδδ=+=+??? （13） 由(7)、(11)、(12)、(13)得无磁场时带电粒子在等离子体中的定向速度表达式

(())u u mn u u qnE nT mn t t

δδ?+??-+?=? （14） 2、当定向速度0u =并且忽略温度梯度时，稳定状态下方程(7)变为

0qnE T n -?= （15） 代入E =-?Φ于方程(8)中，得

0n q T n

??Φ+= (ln )0q T n ?Φ+=

0ln ln q n n T

Φ=- （16） 这里0ln n 为积分常数，所以由(16)得到玻尔兹曼分布

/0q T n n e -Φ=

十二、在等离子体源离子注入中，当负高压脉冲（幅值V ）加到金属靶上时，靶表面附近电子立即被排斥出鞘层区域，由于离子质量大，没有来得及运动，留下一个均匀的离子鞘层，设离子密度为常数n, 并假设在鞘层边界电场和电势为零，求平板、柱形和球形靶鞘层内电场和电势分布，以及鞘层厚度表达式。

解：鞘层电势满足泊松方程

20/en ε?Φ=- （1）

1、对于直角坐标系，（1）为

授课：XXX

22

d en

dx εΦ=- （2） （2）积分得

2

1120

(),2en

en E x x C x C x C εε=-

+Φ=-

++ 带入边界条件(0),()0,()0V E s s Φ=-=Φ=，解得 21/200

02()(),()(),()2V en

en

E x x s x x s s en

εεε=-

-Φ=-

-= （3） 2、对于球坐标系，（1）为 22

1()d d en

r r dr dr εΦ=- （4） （4）积分得

211

2200(),()36C C en en E r r r r C r r

εε=-

+Φ=--+ 带入边界条件(),()0,()0R V E s s Φ=-=Φ=，解得

33

222002()(),()(3)36en s en s E r r r r s r r

εε=--Φ=-+- （5）

鞘层厚度s 满足

3

2

3

6230s Rs R RV en

ε-+-= （6） 3、对于柱坐标系，（1）为 0

1()d d en

r r dr dr εΦ=- （7） （7）积分得

2

11200

(),()ln 24C en en E r r r r C r C r εε=-

+Φ=-++ 带入边界条件(),()0,()0R V E s s Φ=-=Φ=，解得

22

22200

()(),()(2ln 2ln )24en s en E r r r r s r s s s r εε=--Φ=---+ （8）

鞘层厚度s 满足

2

2

2

2

42ln 2ln 0s R s R s s V en

ε-+-+

= （9）

授课：XXX

版权所有，违者必究！！ 英文版低温等离子体作业

1-1、In a strictly steady state situation, both the ions and the electrons will follow the Boltzmann relation.

0exp(/)n n q kT φ=-

Show that the shielding distance is then given approximately by

1/2

020()()e i D e i kT T T T n e ε

λ=+

and that D λ is determined by the temperature of the colder species.

解：英文版1.4节。

泊松方程满足

20

00

()(exp(/)exp(/))i e i e en e n n e kT e kT εε?Φ=--=--Φ-Φ

（1） 对（1）的右端做线性展开，保留电势的一阶项得

200()

e i e i

en e T T kT T εΦ+?Φ=

（2） 假设电势是球对称的，在球坐标系下（2）变成

2

2020()1()e i e T T n e d d r r dr dr kT T

ε+Φ=Φ

（3） 注意边界条件00|0,|/4r r e r πε=∞=Φ=Φ=-，解得电势分布并求出D λ表达式

/1/2

0200,()4()D r e i

D e i kT T q e r T T n e λελπε-Φ=-=+

（4） 当e i T T >>时，德拜长度

1/2

1/2002200()()e i i D e kT T kT T n e n e

εελ≈=

（5） 取决于较小的温度i T 值。

授课：XXX 2-1、The magnetic moment of a charged particle gyrating in a magnetic field is defined as the product of the current generated by the rotating particle times the area enclosed by the rotation. Show that this is equal to /W B μ⊥=. 证：粒子所受的力F 满足

2/c F mv r qv B qv B ⊥⊥==?= （1）

解得粒子回旋半径和回旋频率为

///c c c r mv qB

v r qB m ω⊥⊥=== （2）

粒子在垂直磁场方向上圆周运动形成一个小的电流环，其电流满足

2/2/2c I qf q q B m ωππ=== （3）

所以，此电流环的磁矩为

222()22mv mv W q B IS m qB B B

μππ⊥⊥⊥==?== （4） 2-2、Consider a uniform magnetic field and a transverse electric field that varies slowly with time. Then the electric drift velocity also varies slowly with time. Therefore there is an inertial force /DE F mdv dt =-. Show that the polarization drift can be deduced by the expression of the drift in the general force field. So it is also called inertial drift.

证：粒子在电场中的漂移速度为

2

E E B v B ?= （1） 所以粒子在时变电场中所受的惯性力为 2E dv m dE

F m

B dt B dt =-=-? （2） 粒子在一般力场中的漂移速度为

2

F F B v qB ?= （3） 将（2）代入（3），注意E B ⊥，得

44()(()())DP m dE m dE dE v B B B B B B qB dt qB dt dt

=-??=-?-? 2m dE qB dt

= （4） 这正是极化漂移的速度公式。

2-3、Consider the magnetic mirror system with length L. The magnetic field

may be approximated by 220()(13/)B z B z L =+,where denotes the coordinate

from the midplane along the field.

授课：XXX

授课：XXX z

(1) which particle will be confined?

(2) Calculate the probability of loss.

(3) Show that particle motion is simple harmonic and give out the frequency. 解：1、1、由B(z)分布，可以求出04m B B =，由磁矩守恒得 22001122m m mv mv B B ⊥⊥=，即012

m v v ⊥⊥= （1） 当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有0m v v ⊥≥，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足0012

v v ⊥≥

2、逃逸粒子百分比

2001sin 113.4%22

P d d πθ?θθπ==-

=?? （2） 3、在z 轴方向，粒子受力F 等于 026z z B dB F z dz L μμ

=-=- （3） 粒子运动方程为 026z B mz F z L

μ==- （4）

粒子运动为简谐振动，其频率为L ω=。

5-1、Assuming that the distribution function for electrons is the Druyvesteyn distribution, calculate the average electron energy and the directed velocity. 解：德留维斯坦分布为 242223exp()8e ea

m f A v e E κλ=- （1） 归一化系数A 满足 2342222031()4exp()8e ea m f v d v A v v dv e E κπλ∞

==-?? （2） 令2422238e ea

m v e E κτλ=代入(2)得 23/41/42220

3()exp()18e ea m A d e E κπτττλ∞---=? （3） 所以归一化系数23/43/43/2222130.37()()()(3/4)8e e ea ea

m m A e E eE κπλπλ==Γ。

授课：XXX 平均动能为223442220

312exp()28e e e e ea m K m v fd v m A v v dv e E κπλ∞

==-?? 223/45/41/42222220

233()()exp()(3/4)88e e e ea ea m m m d e E e E κκτττλλ∞-=-Γ?

21/222232/(5/4)2()(3/4)8e e a e ea ea m m m m e E λλ-?Γ==Γ

ea λ= 定向速度为220

4433ea ea e e e eE eE df u v dv fdv m dv m λλππ∞==-?? 223/4422222220

3341()exp()3(3/4)88ea e e e ea ea eE m m v dv m e E e E λκκππλλ∞=--Γ? 223/41/222222220

34()()exp()3(3/4)8ea e e e ea ea eE m m d m e E e E λκκττλλ∞-=--Γ?

1/41/41/21/41/23()()0.69(/)3(3/4)8ea ea e e

eE eE m m λκκλ=-=Γ *7-1、Consider a high-pressure steady-state discharge confined inside of a rectangular box having edges of length a meters along x, b meters along y, and c meters along z. The center of the box is located at 0,0,0x y z ===. The plasma is created by a volume ionization i e G n ν=and is lost to the walls by ambipolar diffusion with a constant ambipolar diffusion coefficient a D . Here i ν is the electron-neutral ionization frequency. Assume that the electron density e n is 0n in the center of the box and is zero on the walls.

(a) Find an expression for the density (,,)e n x y z inside the box.

(b) Find the relation between a D ,i νand the dimensions of the box.

解：由平衡态粒子数守恒方程得2a i e D n n ν-?=，化简得亥姆霍兹方程

220,e e n k n k ?+== （1）

对（1）分离变量法求解。设()()()e n X x Y y Z z =，有

授课：XXX 2222220 (2.1)0 (2.2)0 x y z X X Y Y Z Z λλλ?+=?+=?+=2222 (2.3)

(2.4)x

y z k λλλ??????++=? 解方程（2.1），考虑到边界条件(/2)(/2)0X a X a -==和0X ≥得

()cos

,x X x x a a ππλ== （3.1） 同理有 ()cos

,y Y y y b b ππλ==， (3.2) ()cos ,z Z z z c c π

π

λ== （3.3）

注意到0(0,0,0)e n n =，由(3.1)(3.2)(3.3)得

0(,,)cos

cos cos e n x y z n x y z a b c πππ= （4） 由(2.4)得电离平衡条件

2222111i a

a b c D νπ++= （5） 8-1、Calculate the electric potential and field and the ion density distributions in child law sheath.

解：Child 鞘层中，根据粒子能量守恒和电流守恒得 212

Mu e φ=-，0J enu = （1） 由(1)解得粒子密度n 满足 1/202()J e n e M -Φ=

- （2） 代入泊松方程得 21/20202()J d e dx M

ε-ΦΦ=-- （3） (3)式两端乘d dx Φ并对x 积分，注意有00|0,|0x x d dx

==ΦΦ==，得

21/21/20012()2()()2J d e dx M ε-Φ=-Φ （4） (4)两边开方再积分，注意边界条件00|0,

|0x x d dx ==ΦΦ==得 3/41/21/40032()()()2J e x M

ε--Φ= （5）

授课：XXX (5)中带入边界条件0()s V Φ=-，化简得无碰撞鞘层Child 定律 3/21/20002

42()9V e J M s ε= （6） 将(6)代入(5)，化简得鞘层电势分布 4/30()

x V s Φ=- （7） 对(7)求导得鞘层电场分布 1/304()3V d x E dx s s

Φ=-= （8） 将(6)(7)代入(2)，得粒子密度分布 2/30024()9V x n es s

ε-= （9） *8-2、For a high-pressure, high-voltage, collisional sheath, the ion drift velocity can be written as i i v E μ=, where /i i e m μν= is the constant ion mobility, with i ν a constant ion-neutral momentum transfer frequency. Using particle con- servation and Poisson’s equation, derive the high -pressure, collisional child law for ions.

解：由电流守恒方程得

i J enu en E μ== （1） 由(1)得到 i J

n e E μ= （2）

将(2)代入高斯定理得 00i dE e J n dx E

εεμ== （3） 在鞘层边界，有(0)0E ≈，解(3)得 1/21/202()i J

E x εμ= （4）

在鞘层边界，有(0)0Φ=，对(4)积分得 1/23/2022()3i

J x εμΦ=- （5） 在电极表面，有0()s V Φ=-，代入(5)得高气压Child 定律

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