大学物理学答案_第3版_上册_北京邮电大学

解: (1)由转动定律，有

mg11?(ml2)?23??

∴

3g2l

(2)由机械能守恒定律，有

3gsin?l1122??mgsin??(ml)?l223∴

2-29 如题2-29图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，

它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处．

(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0的值；

(2)相撞时小球受到多大的冲量? 题2-29图

v

解: (1)设小球的初速度为0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：

vmv0l?I??mvl ①

121212mv0?I??mv222I?上两式中大角度?

②

12Ml3，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最

?30o，按机械能守恒定律可列式：

12lI??Mg(1?cos30?)22 ③

由③式得

由①式

v?v0????(1?cos30?)???(1?)?2??I??lI?2I?22ml

?Mgl?12?3g3?12

④ 由②式

v?v0?m

⑤

I?212)?v0??2mlm 所以

l?Il1Mv0?(1?2)?(1?)?223mml(v0??求得

6(2?33m?M12mgl

(2)相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

?Fdt??mv?mv?mv0

?Fdt?mv?mv0????6(2?3)M6负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

I?1??Ml?l3 gl

题2-30图

2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．

(1)问它能升高多少?

(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能． 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 设碎片上升高度h时的速度为v，则有 令v

v0?R?

2v2?v0?2gh

?0，可求出上升最大高度为

2v0122H??R?2g2g

I?(2)圆盘的转动惯量

11MR2I??MR2?mR222，碎片抛出后圆盘的转动惯量，碎片脱离前，盘的

角动量为I?，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破

盘的总角动量应守恒，即 式中??为破盘的角速度．于是

I??I????mv0R

得????(角速度不变) 圆盘余下部分的角动量为

11MR2??(MR2?mR2)???mv0R22 11(MR2?mR2)??(MR2?mR2)??22

1(MR2?mR2)?2

转动动能为

Ek?题2-31图

11(MR2?mR2)?222

2-31 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为的子弹以速度0射入轮缘(如题2-31图所示方向)．

(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?

m0v(2)用m,

m0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．

Rsin?m0v0?(m?m0)R2?

解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒

??∴

m0v0sin?(m?m0)R

mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???1Ek0m?m02m0v02(2)

-1

2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N2m；定滑轮的转动惯量是

2

0.5kg2m，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有

121212mv?I??kh222

又 ??v/R

mgh?v?故有

(2mgh?kh2)k2mR2?I

?(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.326.0?0.32?0.5m?s?1

?2.0

题2-32图 题2-33图

2-33 空心圆环可绕竖直轴度为

AC自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为I0，环半径为R，初始角速

?0．质量为m的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，

问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少?

解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有

I0?0?(I0?mR2)? ①

该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为

vB，以B点为重力势能零点，则有

11122I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB222 ②

联立①、②两式，得

22I0?0RvB?2gR?I0?mR2

(2)当小球滑至C点时，∵故由机械能守恒，有

Ic?I0 ∴?c??0

mg(2R)?∴ c请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．

1mvc22

v?2gR

习

3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O?重合时，t=t?=0，发出一光波，

此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：

x2?y2?z2?(ct)2x?2?y?2?z?2?(ct?)2

题3-1图

3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．

l?,t1?)?(l,)(x1?c，在车站(S)系： 解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S)系时空坐标为ulu?lu??2x1?)??(?2l)?(1?)t1??(t1cccc cl?,t2?)?(?l,)(x2?c，在车站(S)系： 光信号到达后门为事件2，则在车厢(S)系坐标为

u?lu??2x2?)?(1?)t2??(t2cc c?lut2?t1??22c 于是

??x2??2l ?t??0,?t?t1?t2,?x??x1或者

?t??(?t??

uu??x)??(2l)c2c2

-4

3-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为

x1=6310m,t1=2310

4

s，以及

x2=12310m,t2=1310

4

-4

s．已知在S′

系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2)

隔是多少? 解: 设(SS?系中测得的两事件的空间间

?)相对S的速度为v，

(1)

???(t1?t1vx1)c2???(t2?t2

vx2)c2

由题意

??t1??0 t2v(x2?x1)2c则

t?tcv?c221????1.5?108x2?x12m?s?1 故

t2?t1?(2)由洛仑兹变换

???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) x1??x1??5.2?104m x2′

代入数值， 3-4 长度

l0=1 m的米尺静止于S′系中，与x轴的夹角?'=30°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系

中观测者测得米尺与x轴夹角为?长度．

?45?． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺

?,y?轴上的投影分别为：

解: (1)米尺相对S?静止，它在x?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx，y

米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而

变，即

y方向的长度不

v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxyc

LyL?L?yytan????LxLxv2?1?2Lxc 故

?,L?y??45οLx把

及

代入

v20.51?2?0.866c则得

故 v?0.816c

(2)在S系中测得米尺长度为

sin45? ll3-5 一门宽为a，今有一固有长度0(0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运

L?Ly?0.707m动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?

ul?l01?()2c解: 门外观测者测得杆长为运动长度，ua?l01?()2c

，当1?a时，可认为能被拉进门，则

解得杆的运动速率至少为：

au?c1?()2l0

3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的

初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇?

解: O测得相遇时间为?t

题3-6图

?t?O? 测得的是固有时?t?

?tL020?v0.6c

v?0.6c10.8 ，

L01??2?t????8.89?10?8s?v∴

或者，O?测得长度收缩，

??

??

L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t??Lv

0.8L00.8?20??8.89?10?8s80.6c0.6?3?10

3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为

?t??4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S?相对于S的运动速度．

(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离． 解: 甲测得?t??x1?′ ?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为?x??x2?t???(?t?v?x)???t2c1v1?()2c?t

(1)∴

?

解出

v2?t41?2???t?5 cv?c1?(?t243)?c1?()2?c?t?55

?1.8?108 m?s?1

?t?5?x?????x?v?t?,???,?x?0?t4(2) 53?x????v?t???c?4??3c??9?108m45∴

??0． x??x1负号表示23-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?

3l??3?l01??2?51??2,则?1??25解:

v?1?∴

3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．

94c?c255

A、B事件在a,b处同时发生，则?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测得

v??t??t??t??(?t??x)BA2c

? ?t?0,?x?0，

?t??0 ∴

证: 设在S系即不同时发生．

3-10 试证明：

(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．

(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．

A、B在同一地点发生，则?x??0，在S系中，?t???t???t?，

仅当v?0时，等式成立，∴?t?最短．

??(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x??x，仅当v?0时等式成立，∴

S?系中?x?最短．

解: (1)如果在S?系中，两事件

3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?

0.地球为S系，则有运动时1解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期，这里1不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传

?t????t???t??tv?t1递时间，c

v?t1v???t????tcc∴ ′ v???t?(1?)c

11???0.8c20.61?()c

?t0.5?0??t???v0.8c?(1?)(1?)?cc则

0.50.3???0.1666s11.8(1?0.8)0.6

?t??t1?-6

3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2310s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．

?6?t?2?10s是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨0?解: 介子在其自身静止系中的寿命

胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为

?t?这段时间飞行距离为d因d?t0v21?2c?3.16?10?5s

?v?t?9470m

?6000m，故该?介子能到达地球．

或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在

?t0时间内，地球接近的距离为

d??v?t0?599m

d??d0d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：0v21?2?379m?d??d0c，故?介子能到达地球．

3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少? 解: 根据速度合成定理，u?0.8c,v?x?0.8c

v??u0.8c?0.8cvx?x??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c∴

3-14 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔

的时间间隔为多少?

解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则对S系的速度为u

x?0.8c，S?系A对S?系的速度v??0.6c，则A对S系(B船)的速度为

v?0.8c?0.6cx?u??0.946c?uv1?0.481?2xc

?发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t?2s，

vx?题3-14图

?t?∴B中测得的时间间隔为：3-15 (1)火箭

?t?1?vc2x2?21?0.9462?6.17s

A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的

速度．(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度． 解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速度u?0.6c，火箭A相对S的速度vx?0.8c，则A相对S?(B)的速度为：

vx?u0.8c?(?0.6c)??0.946cu(?0.6c)(0.8c)1?2vx1?cc2

v??0.6c，于是B相对A的速度为：

或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度xv?x?vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2

(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度u??0.6c，A对

vx?0vy?0.8cSABv?x?系的速度为,

,

,由洛仑兹变换式

相对

的速度为：

v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc

u21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64cy?u1?2vxc

∴

A相对B的速度大小为

2?2v??v?x?vy?0.88c

速度与x?轴的夹角??为

tan???v?yv?x?1.07

???46.8ο

题3-15图

3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何? 解: S系中光子运动速度的分量为

vx?ccos60ο?0.500c

vy?csin60ο?0.866c由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为

v?x?vx?u0.5c?0.6c???0.143cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2

u21?2vy1?0.62?0.866ccv???0.990cy?u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2

光子运动方向与x?轴的夹角??满足

v?ytan?????0.692?vx

??在第二象限为???98.2ο

22??v??v?v?cxy?在S系中，光子的运动速度为 正是光速不变．

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，

又须对它作多少功?

解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(11?0.1211?vc22?1)

?9.1?10?31?(3?108)2( (2)

?1)?4.12?10?16 J=2.57?103eV

??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2(1222?5.14?10?14v1?cJ?3.21?105eV

?1v1?c212)?9.1?10?31?32?1016(11?0.92?11?0.82)3-18

平均寿命?= 7310s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?

-6

?子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命?0=2310

-6

s，若它在实验室参考系中的

解: 设?子静止质量为m0，m相对实验室参考系的速度为v??c，相应质量为m，电子静止质量为0e，

???01??2,即11??2?因

由质速关系，在实验室参考系中质量为：

?7??02m?

m01??2?207m0e1??2

m2077??207??7252m0e21??故

3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为

m0，运动质量为m，

m0m?m0m??0.1021??m0由题设

1由此二式得

1??2?1?0.10

1??2?∴

11.10

在运动方向上的长度和静长分别为l和

l0，则相对收缩量为：

?ll0?3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度

-31

是多少?已知电子的静止质量为9.1310kg．

l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10

?m?E0.4??2m100mc00解: 由质能关系

0.4m0c2?E??0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100100∴

?3.28?10?16所需电势差为2.0?10伏特

由质速公式有：

33.28?10?16?eVJ＝1.6?10?19?2.0?103eV

1??2?m0m0??mm0??mvc111???m0.41.0041?1?m0100

?2?()2?1?(∴

12)?7.95?10?31.0047-1v??c?2.7?10m?s故电子速度为

3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能

EK＝2.8310eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一

9

个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为

E0＝0.511310eV)

6

Ek?解:

m0c2v21?2c?m0c2

所以 由上式，

m0c2v211?2??c1?Ek/m0c2Ek?m0c2

m0c22v?c1?()m0c2?Ek?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)2?2.9979245?10m?s

c?v?2.997924580?108m?s-1?2.9979245?108?8 m?s-1

22224E?pc?mc可得 0由动量能量关系

8-1

p?24E2?m0cc?24(Ek?m0c2)2?m0cc?Ek2?2Ekm0c2c1?382

?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?1.49?10?18kg?m?s?13-22

2氢原子的同位素氘(1]/3?108

He)原子核和一个中子

34H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(23H + 1H

4→210He + n

120(n)，并释放出大量能量，其反应方程为1-27

已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600310kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290amu

反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu

?29?3.12?10kg ?m?5.0290?5.0102?0.0188amu质量亏损 

2?298?21???E??mc?3.12?10?3?10?2.81?10J

由质能关系得

2?1.75?107eV m3-23 一静止质量为0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和

释放出的动能．

解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为10和20，其相应的速度1,2 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有

mmv?0.6cv?0.8c?v2?0

??m1v1?m2v2?m10v121?2cm10?v1?m202v21?2cm1?m2?1?注意

vc212?m201?vc222?m0

m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以

v1?0.6c,v2?0.8c代入，将上二方程化为：

m10m2068??m0m10?m200.686，0.8

上二式联立求解可得：

m10?0.459m0, m20?0.257m0

故静质量亏损

?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放

m22?E??mc?0.284mck0出的动能为

3-24 有A，B两个静止质量都是0的粒子，分别以1=v,

碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量． 解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：

vv2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性

，于

m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为Vm1v1?m2v2?MV ① m1?m2?M ②

v?v1?()21?()2cc由于

代入①式得 V?0

2m0M?m1?m2v1?()2c，即为碰撞后静止质量．

3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．

m1v1?m2v2?m0v?m0(?v)?0

解: 史瓦西半径

rs?2GMc2

24M?6?10kg

地球：

2?6.7?10?11?6?1024rs??8.9?10?3m82(3?10)则：

30M?2?10kg

太阳：

2?6.7?10?11?2?10303rs??3?10(3?108)2则： m

3-26 典型中子星的质量与太阳质量M＝2310kg同数量级，半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，

30

⊙

其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，

?15r?10cm ?10?17m (2) s-15

级?

rs?3?10m

3由

rs?2GMc2

rsc210?17?(3?108)29M???6.7?10kg 2G2?6.7?10?11得

3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．

解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．

等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验

都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．

广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．

广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．

习题四

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；

(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用

d2???2??0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所示．题 中所述，?S＜＜R，故???SR→

0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

d2?mR2??mg?

dt令?2?g，则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

题4-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F

?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为

K串等效位移为x，则有

F??k串xF1??k1x1F2??k2x2

又有 x?x1?x2

FFFx??1?2k串k1k2

所以串联弹簧的等效倔强系数为

k串?动．其振动周期为

k1k2k1?k2

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振

T?2???2?m(k1?k2)m?2?k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F数为k并，则有

?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系

k并x?k1x1?k2x2

故 k并同上理，其振动周期为

?k1?k2

T??2?mk1?k2

4-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题4-3图

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

d2xmgsin??T1?m2 ①

dtT1R?T2R?I? ②

d2x?R? T2?k(x0?x) ③ dt2式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 Id2x(mR?)2??kxR

RdtkR22令 ?? 2mR?I则有

d2x2??x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

mR2?Im?I/R2T??2?(?2?)

?KkR22?4-4 质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??2?)3(SI)的规律作谐

振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；

?t??0)，则知： 解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3

?4?1?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s

am??2A?63.2m?s?2

(2)

Fm?am?0.63N

12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep，

12112kx??(kA) 22222∴ x??A??m

220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32? 4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0即 时质点的状态分别是：

(1)x0??A； ?(2)过平衡位置向正向运动；

A处向负向运动； 2A(4)过x??处向正向运动．

2(3)过x试求出相应的初位相，并写出振动方程．

?x0?Acos?0解：因为 ?

v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

2?x?Acos(t??)

T32?3?2??x?Acos(t??)

2T2?2???3?x?Acos(t?)

3T35?2?5?4?x?Acos(t??)

4T4?34[-6 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

?1??

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．

?2解：由题已知 A?24?10m,T?4.0s

2?∴ ???0.5?rad?s?1

T又，t?0时，x0??A,??0?0

故振动方程为

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)将t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3

方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，

A?t?t时 x0??,且v?0,故?t?

23????2∴ t??/?s

?323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的

?1小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度v0?5.0cm?s，求振

E?动周期和振动表达式．

m1g1.0?10?3?9.8?1??0.2N?m解：由题知k? ?2x14.9?10而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正)

?k0.22???5,即T??1.26s ?3m?8?10v2A?x0?(0)2又 ???5.0?10?22?(1.0?10)?()5?22

?2?10?2mv05.0?10?25?tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?54

∴ x5?2?10?2cos(5t??)m

44-8 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

3?0时，x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s

22?即 ????rad?s?1

T3故 xa?0.1cos(?t??)m

2A5?由题4-8图(b)∵t?0时，x0? ,v0?0,??0?23?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2??

255又 ?1???1????

325∴ ???

655?故 xb?0.1cos(?t?)m

634-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高

解：由题4-8图(a)，∵t度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动． (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．

解：(1)空盘的振动周期为2?Mk，落下重物后振动周期为2?M?mk，即增大．

(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t即

?0时，则x0??mgk．碰撞时，以m,M为一系统动量守恒，

m2gh?(m?M)v0

则有 v0?于是

m2ghm?M

mg2m22gh2A?x?()?()?()?k(m?M)20v02

?mg2kh1?k(m?M)g（3）tan?0??v0?x0?2kh(M?m)g (第三象限)，所以振动方程为

?k2kh?cos?t?arctan?

m?M(M?m)g???34-10 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水

mg2khx?1?k(m?M)g平向右的冲量F?t?1.0?10?4kg?m?s?1，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振

幅，并写出小球的振动方程．

解：由动量定理，有

F??t?mv?0

F??t1.0?10?4∴ v???0.01m?s-1 ?3m1.0?10?1按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s ＞0 ∴ ?0?3?/2

g9.8??3.13rad?s?1 l1.0v02v00.012?3A?x?()???3.2?10m ∴ 0??3.13又 ??故其角振幅

??小球的振动方程为

A?3.2?10?3rad l32??3.2?10?3cos(3.13t??)rad

4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．

?6，

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2

?0.01∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则

2A2?A12?A2?2A1A2cos?

2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???即 2A1A22?0.173?0.1

?0即???2，这说明，

A1与A2间夹角为

??，即二振动的位相差为. 224-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

????x?5cos(3t?)cmx?5cos(3t?)cm1?1?33(1) ? (2)?

7?4??x2?5cos(3t??x2?5cos(3t?)cm)cm33??7??解： (1)∵ ????2??1???2?,

33∴合振幅 A?A1?A2?10cm

4??(2)∵ ??????,

33∴合振幅 A?0

4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ ??5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m

??5?Asin?1?A2sin?266?3

tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos66?∴ ??

60.4?sin?0.3sin其振动方程为

?x?0.1cos(2t?*

?6)m

(作图法略)

4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为

x?6cos2?tcm，求y方向的振动方程．

题4-14图

解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为振动位相差为

?3?或22；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分

??.所以y方向的振动方程为y?12cos(2?t?)cm 22

习题五

5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?

解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即(2)在谐振动方程

y?f(x,t)．

y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位

移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．

xy?Acos?(t?)u中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振当谐波方程

动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线曲线

y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动

一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻

的波动曲线就是不同时刻的波形图． 5-2 波动方程y=Acos［?(

y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每

t?xxu)+?0］中的u表示什么?如果改写为y=Acos (

?t??xu??0)，

?x又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的［?(

什么?

ut?xu)+?0］的值不变，由此能从波动方程说明

?x解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为

u则表示x处质

则tyt?Acos(?t??xu??0)??t时刻的波动方程为

yt??t?Acos[?(t??t)??(x??x)u??0]

)?tx?u?txtu其表示在时刻，位置处的振动状态，经过后传播到处．所以在中，当t，x?x(?t?)u的值不会变化，而这正好说明了经过时间?t，波形即向前传播了?x?u?t的距均增加时，

?xy?Acos(?t???0)u离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．

5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这

样的特点?

解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为

(?t??xy?f(x,t)，则相对形变量(即应变量)为?y/?x.波动势能

则是与?y/?x的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处?y/?x?0)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．

5-15 已知平面简谐波的波动方程为(2)画出t=4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足

y?Acos?(4t?2x)(SI)．

(1)写出t=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?

?(4t?2x)?2k?

解得 x?(k?8.4) m (k?0,?1,?2,…)

所以离原点最近的波峰位置为?0.4m．∵

4?t?2?t??t??xu 故知u?2m?s?1,

?0.4?0.2s，这就是说该波峰在0.2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是2∴

4.2?0.2?4s，即该波峰是在4s时通过原点的．

?t??题5-15图

?1(2)∵??4?,u?2m?s，∴

m，又x?0处，t?4.2s时，

?0?4.2?4??16.8? y0?Acos4??4.2??0.8A

??17?，则应有 16.8??2?x?17?

又，当y??A时，x??uT?u2???1?0.1m，故t?4.2s时的波形图如题5-15图所示

5-16 题5-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线．

y?0,v0?0，

解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知T?2s,A?0.2m，且t?0时，0解得 x2,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，

txy?Acos[2?(?)??0]T?且??4m，若取

故知

?0???题5-16图

则波动方程为

tx?y?0.2cos[2?(?)?]242

5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0310J2m2s，频率为300 Hz，

-1

波速为300m2s，求 ：

(1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1)∵ I-3-2-1

?wu

wmax?2w?1.2?10?4 J?m?3

I10?3w??18.0??6?10?5J?m?3u300∴

11uW??V?w?d2??w?d244? (2)

1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J 4300??SSASS5-18 如题5-18图所示，1和2为两相干波源，振幅均为1，相距4，1较2位相超前2SS(1) 1外侧各点的合振幅和强度； (2) 2外侧各点的合振幅和强度

解：（1）在

，求：

S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为

???2????r?(r?)???112??4??

2A?A1?A1?0,I?A?0

SSrSS（2）在2外侧.距离2为1的点，12传到该点引起的位相差.

??2?4

2A?A1?A1?2A1,I?A2?4A1

5-19 如题5-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为

?????2?(r2???r2)?0y1?2?10?3cos2?t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为

y2?2?10?3cos(2?t??)，CP＝0.5 m，t以s计．本题中y以m计，设BP＝0.4m，波速u=0.2m2s

求：

(1)两波传到P点时的位相差；

(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅； *(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅．

-1

，

解: (1)

???(?2??1)????2??(CP?BP)

(CP?BP)u题5-19图 2????(0.5?0.4)?00.2

?3A?A?A?4?10P12m (2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

?(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

2A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3m

5-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅为A，频率为?波速为u． (1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；

A?(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置． 解: (1)∵t?0时，y0?0,v0?0，∴

x?y?Acos[2?v(t?)?]u2m

?0???2故波动方程为

题5-20图

x?(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将

在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为

32?3??????4代入)?42，再考虑到波由波疏入射而

3??????????42

若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为 2???5?????????342，因只考虑2?以内的位相角，∴反射波在O点的位相为2，故反射波的

?波动方程为

2?此时驻波方程为

x?y反?Acos[2??(t?)?]u2

x?x?2??x?y?Acos[2??(t?)?]?Acos[2??(t?)?]?2Acoscos(2??t?)u2u2u2

故波节位置为

2??x2???x?(2k?1)?2 ux?(2k?1)故

?4 (k?0,?1,?2,…)

13?,?0,1k44 根据题意，只能取，即

5-20 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t(SI)，求：

x?(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为

y?2Acos

2??xcos2??tu

A?故知

0.02?0.012m

7502???202???750，则2?， u

2??2??750/2?u???37.5m?s?1 2020∴

u2??/20????0.1??0.314??m所以相邻两波节间距离 (2)∵

??2m

y5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI)

?x???0.157试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波节．

解: 为使合成驻波在x方程为

?0处形成波节，则要反射波在x?0处与入射波有?的位相差，故反射波的波动

y?0.1cos(13t?0.0079x??)

25-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为 (1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； (2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为

y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)．

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令?xy?0.06cos(?x?4?)?0.06cos(?x?4?t)

?0.12cos?xcos4?t

?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

?1?x?(2k?1)x?(2k?1)2,则2，k?0,?1,?2,…，此即波节的位置． 令

(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2m处的振幅由下式决定，即

A驻?0.12cos(??1.2)?0.097mvs，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为

-1

5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为330m2s，求汽车的速率． 解: 设汽车的速度为

u?0u?vs

u?2??0u?vs

汽车驶离车站时，车站收到的频率为

?1?联立以上两式，得

?1?u5-25 两列火车分别以72km2h和54 km2h的速度相向而行，第一列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若

-1

声速为340 m2s，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少? 解: 设鸣笛火车的车速为到的频率为

?1??21200?1000?300??30?1??21200?100m?s?1

-1

-1

v1?20m?s?1，接收鸣笛的火车车速为v2?15m?s?1，则两者相遇前收

?1?u?v2340?15?0??600?665u?v1340?20 Hz

两车相遇之后收到的频率为

?1?

u?v2340?15?0??600?541u?v1340?20 Hz

习题六

6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．

力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．

6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?

答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．

6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?

答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．

气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? Ni Vi(m?s?1) 解：平均速率 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 V???NV?Niii

21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2890??21.7 m?s?1

41方均根速率

V2??NV?Nii2i

6-5 速率分布函数

21?102?4?202?6?103?8?402?2?502?21?4?6?8?2?25.6 m?s?1

f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分

子数)．

（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv （4）解：(1)

?v0f(v)dv （5）?f(v)dv （6）?Nf(v)dv

0v1?v2f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数

占总分子数的百分比.

f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比. (2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数．

?(5)

?(6)

?(4)

v0?f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比．

f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.

Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.

0v2v16-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处?

答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率． 6-7 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?

答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0.

6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?

答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小． 6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．

6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高? 答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．

题6-10图

6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度．

6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6

6-13 试说明下列各量的物理意义．

13ikT （2）kT （3）kT 222Mii3（4）RT （5）RT （6）RT

Mmol222（1）

解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为

1k2T．

3kT. 2ikT. 2MiRT.

Mmol2(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为

(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为

iRT. 23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热力学体系内，1

23能之总和为RT.

2摩尔分子的平均平动动

6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?

(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能．

解：(1)由(2)由?(3)由n(4)由np?nkT,n?p知分子数密度相同； kT?MMmolp知气体质量密度不同； ?VRT3kT知单位体积内气体分子总平动动能相同； 2ikT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同． 26-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．

由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即

E?MiRT是温度的单值函数．

Mmol26-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?

(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能． 解：(1)相等，分子的平均平动动能都为(2)不相等，因为氢分子的平均动能

3kT． 253kT，氦分子的平均动能kT． 2253(3)不相等，因为氢分子的内能?RT，氦分子的内能?RT．

226-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0310m，

当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为

-1

27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg2mol)? 解：由理想气体状态方程

-42

pV?MRTMmol 得

M汞的重度 dHg氦气的压强 P氦气的体积 V?MmolpVRT

?1.33?105N?m?3

?(0.76?0.60)?dHg

?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3 M?0.004? ?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)

0.004?

?1.91?10?6Kg

6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数

f(v)的表达式；

(2)a与v0之间的关系；

(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．

题6-18图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)(0?v?v0)?av/Nv0?f(v)??a/N(v0?v?2v0)

?0(v?2v0)?f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N(2)由归一化条件可得

v0，

2v0av2N Ndv?Nadv?Na??0v0?v03v01(3)可通过面积计算?N?a(2v0?1.5v0)?N

3(4) N个粒子平均速率

2?v0av2v01?v??vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv

00v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0

N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率

?v?v00.5v0vdN?N1Nv0vdNN1?0.5v0N

Nv0Nv0av2vf(v)dv?dv ?N1?0.5v0N1?0.5v0Nv0332av01v0av21av017av0v?dv?(?)? ?0.5v0N1v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数

27av07v131?0 N1?(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N v?6N9284?1?16-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vp?vp?100与vp?vp?100之间的分子数占

总分子数的百分比． 解：令u?vvP，则麦克斯韦速率分布函数可表示为

dN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02

?N42?u2?N4由 ?ue?u 得??1?e?1?0.02?1.66%

NN??6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求

(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率

v2；(7)分子的平均动能ε．

解：(1)由气体状态方程

p?nkT得

p0.1?1.013?10524?3 n???2.45?10m?23kT1.38?10?300(2)氧分子的质量

Mmol0.03226 kg ??5.32?1023N06.02?10M(3)由气体状态方程pV?RT 得

Mmolm?Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13 kg?m?3

RT8.31?300(4)分子间的平均距离可近似计算

e?(5)平均速率

13n?132.45?1024?7.42?10?9 m

v?1.60 (6) 方均根速率

RT8.31?300?1.60?446.58 m?s?1

Mmol0.032v2?1.73RT?482.87m?s?1

Mmol(7) 分子的平均动能

??kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J

6-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量

E平动动能 t5252??iRT 23?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J

25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J

2?3 Et?6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为

p?nkT则

nO?1 nHRTMmolvO?vHMmolH1?

MmolO4

(2)由平均速率公式v?1.60

6-23 一真空管的真空度约为1.38310Pa(即1.0310mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分

-10

子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3310m)． 解：由气体状态方程p?nkT得

-3 -5

由平均自由程公式 ??p1.38?10?317?3 n???3.33?10m23kT1.38?10?30012?dn2

??12??9?10?20?3.33?1017?7.5 m

-4

6-24 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33310Pa，平均碰撞频率

-10

又为多少(设分子有效直径10 m)?

?2?d2nv

对于理想气体有p?nkT，即

解：(1)碰撞频率公式zn?p kT2?d2vp所以有 z?

kTRT8.31?273?455.43 m?s?1 而 v?1.60 v?1.60Mmol28氮气在标准状态下的平均碰撞频率

z?2??10?20?455.43?1.013?105?5.44?108s?1 01.38?10?273气压下降后的平均碰撞频率

z?2??10?20?455.43?1.33?10?4?0.714s?1?231.38?10?273

6-25 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比． 解：由气体状态方程

p1p2?T1T2方均根速率公式

及

p2V2?p3V3

v2?1.73

RTMmolv2初v2末?T1?T2p11?p22对于理想气体，所以有 ?p?nkT，即 n?p kT?kT2?dp2

?初T1p2??1 ?末p1T26-26 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013310 Pa)，温度为27 ℃；起飞后压力计指示为

5

0.8 atm(0.8104310 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度． 解：气体压强随高度变化的规律：由

5

p?nkT及n?n0emgzkT

p?n0kTe?p0e?p0epRT z?ln0

Mmolgp8.31?3001z?ln?1.96?103 m

0.0289?9.80.8?mgzkT?mgzkT?MmolgzRT

6-27 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)． 解：压强随高度变化的规律

zpRTln0

Mmolgp8.31?2731z?ln?2.3?103m

0.0289?9.80.75?

习题七

7-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正． （1）?Q??E??A （2）Q?E??pdV

??1?（3）

Q2Q1?不可逆?1? （4）

Q2Q1

Q?ΔE??pdVQ??E?A解：(1)不正确， (2)不正确，

??1?(3)不正确，7-2

Q2Q1?不可逆?1? (4)不正确，

Q2Q1

p?V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?

??答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于

A净Q1，

A净面积越大，效率不一定高，

因为?还与吸热1有关．

7-3 如题7-3图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由． 解：各图中所表示的循环过程作功都为0．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为0．

Q

题7-3图

7-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在

p?V图上一绝热线与一等温线不能有两个交点．

题7-4图

解：1.由热力学第一定律有

Q

??E?A

若有两个交点a和b，则 经等温a经绝热a?b过程有 ?b过程

?E1?Q1?A1?0

?E2?A1?0?E2??A2?0

12，这与a,b两点的内能变化应该相同矛盾． 从上得出

2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外

?E??E做正功，热机效率为100%，违背了热力学第二定律． 7-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出：

(1)ab,bc,ca各是什么过程； (2)画出对应的p?V图；

(3)该循环是否是正循环? (4)该循环作的功是否等于直角三角形面积? (5)用图中的热量解：(1) aQab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数．

b是等体过程

bc过程：从图知有V?KT，K为斜率

vRp?K 由pV?vRT 得

故bc过程为等压过程 ca是等温过程

(2)p?V图如题7?5?图

题7?5?图 (3)该循环是逆循环

(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是

p?V图中的图形．

e?(5)

QabQbc?Qca?Qab

题7-5图 题7-6图

7-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问：

(1)它们吸热和放热的差值是否相同；(2)对外作的净功是否相等；(3)效率是否相同?

答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同． 7-7 评论下述说法正确与否?

(1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功；

(2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体．

(3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程．

答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完全变成功； (2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体．

(3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是

可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程 虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程． 7-8 热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B．如果P为可逆过程，其熵变为 ：

，如果P为不可逆过程，其熵变为

表述要修改，如何修改？

SB?SA??dQ可逆ATBSB?SA??BdQ不可逆T，你说对吗？哪一个

A答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程P为可逆过程其熵变为：

SB?SA??dQ可逆ATB，如果过程P为不可逆过程，其熵变为

SB?SA??SB?SA??BdQ可逆T7-9 根据，这是否说明可逆过程的熵变大于不可逆过

程熵变?为什么?说明理由．

答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变．

AdQ不可逆AT BdQ不可逆SB?SA??AT及

B7-10 如题7-10图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统

作功126 J．

(1)若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统?

(2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?

题7-10图

解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差 Q

??E?A

?E?Q?A?350?126?224 J

abd过程，系统作功A?42J

Q??E?A?224?42?266J 系统吸收热量

ba过程，外界对系统作功A??84J

Q??E?A??224?84??308J 系统放热

7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程 由热力学第一定律得Q??E

吸热

Q??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1)2

3?8.31?(350?300)?623.252 J

对外作功 A?0

Q??E?(2)等压过程

Q??CP(T2?T1)??Q?i?2R(T2?T1)2

5?8.31?(350?300)?1038.752吸热 J

?E??CV(T2?T1)

3?E??8.31?(350?300)?623.252内能增加 J

对外作功 A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J

7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为?的理想气体，整个容器以速度v运动，若

容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)．

1mu2解：整个气体有序运动的能量为2，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变化

m1?E?CV?T?mu2M2 111?T?Mmolu2?Mmolu2(??1)2CV2R

7-13 0.01 m氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热

压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T由

3

?300K

p1V1?p2V2

求得体积

V2? 对外作功

p1V11??0.01?1?10?33p210 m

A?VRTln

V2p?p1Vln1V1p25

?1?1.013?10?0.01?ln0.01

??4.67?103J

57CV?R??5 2 (2)绝热压缩

p1V1?1/?V2?()??p2pV?p2V2

由绝热方程 11

1

1p1V1?1/?p1?1V2?()?()V1?()4?0.01?1.93?10?3p2p210m

??1T1?p2?T2??3001.4?(10)0.4T2?579K??1???1????pTp?Tp122 得由绝热方程11

热力学第一定律Q??E?A，Q?0

A??所以

MCV(T2?T1)Mmol

pV?MRTMmolA??，

p1V15R(T2?T1)RT12

1.013?105?0.0015A????(579?300)??23.5?1033002 J

(p2,V2)．试证过程中气体所作的功为 (p,V)7-14 理想气体由初状态11经绝热膨胀至末状态

A?p1V1?p2V2??1，式中?为气体的比热容比.

答：证明： 由绝热方程

pV??p1V1??p2V2??C 得

p?p1V1?1V?

A??pdVV1V2

A??V2V1dvp1V1?11p1V1r??(??1???1)v??1V2V1

???

p1V1V1??1[()?1]??1V2

p1V1?p1V1?V1???1?p2V2?V2???1???1???1A??(V2?V1)???1??1又

A?所以

p1V1?p2V2??1

7-15 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，ab为直线，延长线通过原点O．求ab过程气体对外做的功．

题7-15图 解：设T

?KV由图可求得直线的斜率K为

TK?02V0

TK?0V2V0

得过程方程

由状态方程

pV??RT

p?

?RTV得

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1y16.html