新建二中高二数学小班2017年5月--概率统计导学案

新建二中高二理科数学概率统计知识点梳理

撰写人： 邓国平 2017、5

专题一排列组合专题

题型一：排列组合学科 例1、12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）

A。 B． C． D．

解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则

先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为

；综上知选C．

例2、将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ） A．540 B．300 C．180 D．150

解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，所以共有种

方案，故D正确． 题型二：二项式

例3、若多项式

，则a9等于（ ）

A．9 B．10 C．－9 D．－10

解：

=∴

例4、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系

数绝对值最大的项．

解：

，依题意有，∴n=8．则展开

式中二项式系数最大的项为

． 设第r＋1项系数的绝对值最大，则

则系数绝对值最大项为

．

例5、求证：

．

证：（法一）倒序相加：设

①

又∵

②

∵

，∴

，由①＋②得：，∴

，即

．（法二）：左边各组合数的通

项为

，∴

．（法三）：

题型三：概率

例6、某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率

是（ ）A． B． C． D．

解：由．

例7、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰，且最后战胜乙方的概率是多少？

解：根据比赛规则可知，一共比赛了9场，并且最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场比赛中被淘汰，也就是在8次独立重复试验中该事件恰好发

生4次的概率，可得

，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为

，

所以所求的概率为

．

题型四：分布列、期望与方差

例8、某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是

相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率

为

（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若

记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望

解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为

=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－；

同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（

（小于）．路线

A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（

（小于）．要使得由A到B

的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线

A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为

例9、如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的

点和

点，每只小蚂蚁都可

以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在

处

时可以沿、、三个方向移动，概率都是；到达点时，可能沿、两个

方向移动，概率都是，已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．

(Ⅰ)若甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为

的概率是多少？(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之

间的距离的期望值是多少？

解： (Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒可以有三种的走法：即沿

、

、

三个方向，当沿

方向

时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿

、C1C方向走，概率为

，同理

当甲蚂蚁沿

方向走时，乙蚂蚁走

、C1C，概率为

，甲蚂蚁沿

时，乙蚂蚁走

、

，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为

；甲蚂蚁移动1秒可

以有三种走法：即沿

、

、

三个方向，当甲沿

方向时，要使他们之间的距离为

，

则乙应走

，此时的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向

走时，概率都为，所以距离为的概率为．

(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，

当

时，甲是按以下路线中的一个走的：

、

、

、

、

、

，所以其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、

、

、

、

、

、

所以其概率为

，所以三秒后距离期望值为

．

专题二 概率统计专题

学科网【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，概率与统计的内容每年都

有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．

学科网【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事

件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．

学科网【例题解析】

学科网题型一； 抽样方法

学科网【例1】某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）学科网A．24 B．18 C．16 D．12

一年级 二年级 三年级

女生 373 x y

男生 377 370 z

分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．

学科网解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即x?2000?0.19?380，这样一年级和二年级学生的总数是373?377?380?370?1500，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生

应是

642000?500?16．例2．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在?2500,3500?（元）月收入段应抽出人．

学科网学科网学科网解析：根据图可以看出月收入在?2500,3500?的人数的频率是学科网?0.0005?0.0003??500?0.4，故

月收入在?2500,3500?人数是10000?0.4?4000，学科网故抽取25人．

学科网学科网题型二：统计图表问题

学科网例3从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为

学科网学科网A．10

B．20 C．8

D．16

学科网解析： 视力住0.9以上的频率为(1?0.75?.025)?0.2?0.4，人数为0.4?50?20．

学科网例4某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；

众数是 ．

学科网

解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多

的数，故众数也是23．点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．

学科网学科网例

27．若数据x1,x2,x3,?,xn的平均数x?5，方差??2，则数据

例5为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为?45,55?，?55,65?,?65,75?,?75,85?，

学科网3x1?1,3x2?1,3x3?1,?,3xn?1的平均数为，方差为．

解析：16,18学科网学科网学科网则这20名工人中一天生产该产品数量在?55,75?的人?85,95?由此得到频率分布直方图如图，例8．如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎

数是 ．

学科网学科网学科网解析： 20????0.040?0.0025??10???13． 题型三 平均数、标准差（方差）的计算问题

学科网例6 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ 学科网学科网A．3 B．2105 C．3

D．

85学科网学科网解析： 平均数是

5?20?4?10?3?30?2?30?1?10100?3，学科网标准差是学科网20??5?3?2?10??4?3?2?30??3?3?2?30??2?3?2?10??1?3?2s?100．

学科网学科网?80?10?30?4082100?105?5叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为学科网A． 84，4.84 B．84，1.6 C． 85，1.6 D．85，4学科网学科网解析：C

学科网题型四用样本估计总体

学科网例8从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网）

学科网学科网则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．学科网解析：60 由上表得15000?23?21500?2?30?60.学科网题型五．线性回归分析

学科网例9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

学科网x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）网请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y?bx??a?；学科网（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（1）求出的线性回归方

程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

学科网学科网解析：学科（1）学科网方法一：设线性回归方程为y?bx?a，则

学科网

f(a,b)?(3b?a?2.5)2?(4b?a?3)2?(5b?a?4)2?(6b?a?4.5)2?4a2?2a(18b?14)?(3b?2.5)2?(4b?3)2?(5a?4)2?(6b?4.5)2学科网∴a?7?9b2?3.5?4.5b时， f(a,b)取得最小值(1.5b?1)2?(0.5b?0.5)2?(0.5b?0.5)2?(1.5b?1)2，学科网即0.5[(3b?2)2?(b?1)2]?5b2?7b?52，∴b?0.7,a?0.35时f?a,b?取得最小值．

学科网所以线性回归方程为y?0.7x?0.35．

学科网方法二：由系数公式可知，x?4.5,y?3.5,b??66.5?4?4.5?3.586?4?4.52?66.5?635?0.7 ?a?3.5?0.7?92?0.35，所以线性回归方程为y?0.7x?0.35．学科网（2）x?100时，y?0.7x?0.35?70.35，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．

学科例10．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．

学科网数学 881191010118 3 7 2 8 0 2 物理 991091010104 1 8 6 4 1 6 （1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；

学科网（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习

数学、物理上的合理建议．

学科网学科网解析：（1）

x?100??12?17?17?8?8?127?100；

y?100??6?9?8?4?4?1?67?100；

学科网?S2994250数学=7=142，?S222物理=7， 学科网从而S数学?S物理，所以物理成绩更稳定． 学科网（2）由于

x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到

b??497994?0.5,a??100?0.5?100?50，?线性回归方程为y?0.5x?50．当y?115时，x?130．

题型6 古典概型与几何概型计算问题

例11 边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是

A．

?4 B．4? C．4??4 D．?

解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是

?4，答案A 题型七 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）

例12．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记??x?2?y?x．（1）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率；（2）求随机变量?的分布列和数学期望．

解析：（1）?x、y可能的取值为1、2、3，?x?2?1，y?x?2，???3，且当x?1,y?3或x?3,y?1时，??3．因此，随机变量?的最大值为3．?有放回抽两张卡片的所有情况有

3?3?9种，?P(??3)?29． （2）?的所有取值为0,1,2,3． ???0时，只有x?2,y?2这一种情况， ??1时，有x?1,y?1或x?2,y?1或x?2,y?3或x?3,y?3四种情况，??2时，有x?1,y?2或x?3,y?2两种情况． ?P(??0)?19，P(??1)?429，P(??2)?9． 则随机变量?的

（3）分布列为：

学科网学科网

学科网? P 0 1 91 2 3 2 9

4 92 9因此，数学期望E??0?142214?1??2??3??． 99999例13．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为

2．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为3X，求X的数学期望．

分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．

33P?C()?n?3,4,5解析：记甲n局获胜的概率为P，，（1）比赛三局甲获胜的概率是：33n23（2）比赛四局甲获胜的概率是：P4?C3()()?238； 278；比赛五局甲获胜的概率是：27166422312P5?C4()()??P?P?；甲获胜的概率是：P． （3）记乙n局获胜的概率为Pn'，345338181n?3,4,5．

128313213221322P'3?C3()?'?C()()?，P4'?C3()()?；P； 54327332733813 4 5 2313故甲比赛次数的分布列为： X P(X) 所以甲比赛次数的数学期望是： P3?P3' P4?P4' P5?P5' E(X)?3?(

1882168107?)?4?(?)?5?(?)?． 27272727818127

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1xhw.html