工程数学习题集(含部分湖大版《大学数学5》课后答案)

习题一

1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数

.

①

解

②解：

③

解

：

④解：

2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy

)

R )

;

① ： ∵设z =x +iy

则

∴

,

．

②解： 设z =x +iy

∵

∴

,

．

③解：

∵

∴,

．

④解：

∵

∴,

．

⑤解：

∵

．

∴当时，

，

；

当

时

，

，

．

3.求下列复数的模和共轭复数

①解：．

②解：

③

解

：．

④解：

4、证明：当且仅当时，z 才是实数．

证明：若，设

，

则有

，从而有，

即y =0

∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈ ，则．

∴

．

命题成立．

5、设z ,w ∈ ，证明：

证

明

∵

∴

．

6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式．

并给出最后一个等式的几何解释． 证明：

在上面

第五题的证明已经证明了．

下面证．

∵

．从而得

证．

∴

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

①解：

其

中

．

②解：

其中

．

③解：

④解：

.

∴

⑤解：

解：∵．

∴

8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)

的平方根.

⑴i 的三次根． 解：

∴

．

⑵-1的三次根 解：

∴

⑶

的平方根．

解：

∴

∴

．

9.

设

.

证

明

：

证明：∵ ∴

，即

．

∴

又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而

11.

设

是

圆

周

令

,

其中.求出

在a 切于圆周

的关

于

的充分必要条件.

解：如图所示．

因为={z

: =0}表示通过

点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA ⊥．过C作直线平

行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°

故α-β=90°

所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图

.

解：

(1)、argz=π．表示负实轴．

(2)、|z-1|=|z|．表示直线z =．

(3)、1<|z+i|<2

解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z)>Im z．

解：表示直线y=x的右下半平面

5、Im z>1，且|z|<2．

解：表示圆盘内的一弓形域。

习题二

1. 求映射下圆周的像.

解：设则

因为,所以

所以

,

所以即，表示椭圆.

2. 在映射下，下列z平面上的图形

映射为w平面上的什么图形，设

或

.

（1

）；（2

）

;

(3) x=a, y=b.(a, b为实数)

解：设

所以

(1) 记，则映射成w

平面内虚轴上从O到4i的一段，即

(2) 记，则映成

了w 平面上扇形域，即

(3) 记，则将直线x=a

映成了

即是以

原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成

了

即是以原点为焦点，张口

向右抛物线如图所示

.

3. 求下列极限.

(1) ;

解：令,则.

于是.

(2) ;

解：设z=x+yi ，则有

显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.

（3）

；

解

：

=.

（4）

.

解：因

为

所以.

4. 讨论下列函数的连续性：

(1)

解：因为,

若令y=kx,则,

因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.

从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.

(2)

解：因为,

所以

所以f(z)在整个z平面连续.

5. 下列函数在何处求导？并求其导数.

(1) (n为正整数)；

解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导

.

.

(2) .

解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)

在

处不可导.

从而f(z)除外可导

.

(3) .

解：f(z)

除外处处可导，

且

.

(4) .

解：因为

.所以f(z)除z=0外处处可导，

且

.

6. 试判断下列函数的可导性与解析性.

(1) ;

解：在全平面上可

微

.

所以要使得

，

,

只有当z=0时,

从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(2) .

解：在全平面上可微

.

只有当z=0时,即(0,0)处

有

,.

所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(3) ;

解：在全平面上可

微

.

所以只有当时，才满足C-R方

程.

从而f(z)在处可导，在全平面

不解析.

(4) .

解：设，则

所以只有当z=0时才满足C-R方程.

从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.

7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析

函数必为常数.

(1) ;

证明：因

为，所

以

,.

所以u,v为常数，于是f(z)为常数.

(2) 解析.

证明：设在D内解析,则

而f(z)为解析函数，所

以

所

以

即

从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数.

证明：因为Ref(z)为常数，即

u=C1,

因为f(z)解析，C-R条件成立。故

即u=C2

从而f(z)为常数.

(4) Imf(z)=常数.

证明：与（3）类似，由v=C1得

因为f(z)解析，由C-R 方程得,

即u=C2

所以f(z)为常数.

5. |f(z)|=常数.

证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.

若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.

若C0，则f(z) 0,但，即

u2+v2=C2

则两边对x,y分别求偏导数，有

利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有

所

以所

以

即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.

(6) argf(z)=常数.

证明：argf(z)=常数，即,

于

是得

C-R条件→

解得，即u,v为常数，

于是f(z)为常数.

8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上

解析，求m,n,l的值.

解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件

.

所以.

9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其

导数.

(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全

平面可微,且

所以f(z)在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处解析.

.(2)

.

证明：

处处可微，且

所以

,

所以f(z)处处可导，处处解析.

10. 设

求证：(1) f(z)在z=0处连续．

(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程． (3)f ′(0)不存在． 证明.(1)

∵

而

∵

∴

∴

同理 ∴

∴f(z)在z=0处连续． (2)考察极限

当z 沿虚轴趋向于零时，z=iy ，有

．

当z 沿实轴趋向于零时，z=x ，有

它们分别为

∴

∴满足C-R 条件．

(3)当z 沿y=x 趋向于零时，有

∴

不存在．即f(z)在z=0处不可导．

11. 设区域D 位于上半平面，D1是D 关于x 轴的对称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证

在区域D1内解析．

证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D 内解析．

所以u(x,y),v(x,y)在D 内可微且满足C-R 方程，即．

，得

故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R

条件

从而

在D1内解析

13. 计算下列各值

(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)

(2)

(3)

(4)

14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez 的极限． 解：令z=rei θ，

对于

θ，z →∞时，r →∞．

故

．

所以

．

15. 计算下列各值．

(1)

(2) (3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i =i (4)

16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性．

解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz 除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy

，

在复平面内可

微．

故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．

从而f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导． f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续． 17. 计算下列各值． (1)

(2)

(3)

18. 计算下列各值(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

19. 求解下列方程(1) sinz=2．

解：

(2)

解：即

(3)

解：即

(4)

解

：

．

20. 若z=x+iy ，求证

(1) sinz=sinxchy+icosx ?shy 证明：

(2)cosz=cosx ?chy-isinx ?shy 证明：

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明：

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y 证明：

21. 证明当y →∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明：

∴

而

当y →+∞时，e-y →0，ey →+∞有|sinz|→∞．

当y →-∞时，e-y →+∞，ey →0有|sinz|→∞． 同理

得

所以当y →∞时有|cosz|→∞．

习题三

1. 计算积分,其中C 为从原点

到点1+i 的直线段.

解

设直线段的方程为

,

则

.

故

2. 计算积分，其中积分路径C 为 (1) 从点0到点1+i 的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设.

(2)设

.

3. 计算积分，其中积分路径C为

(1) 从点-i到点i的直线段;

(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;

(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.

解(1)设.

(2)设. 从到

(3) 设. 从到

6.

计算积分,其中

为.

解

∵在所围的区域内解析

∴

从而

故

7. 计算积分,其中积分路径为

（1

）（2

）（3

）（4）

解：（1）在所围的区域内，

只有一个奇点.

（2）

在所围的区域内包含三个奇

点

.故

（3）

在所围的区域内包含一个奇

点,故

（4）

在所围的区域内包含两个奇

点

,故

10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

解

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

11. 计算积分,其中为

(1)

(2)

(3)

解 (1)

(2)

(3)

16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z|=1. (1)

(2)

(3)

解 (1)

(2)

(3)

17.

计算积分,其中积分

路径为

(1)中心位于点,半径为的正向圆周

(2) 中心位于点,半径为

的正向

圆周

解：(1)

内包含了奇点

∴

(2)内包含了奇点,

∴

19. 验证下列函数为调和函数

.

解(1)

设

,

∴

从而有

,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.

(2)

设

,

∴

从而有

,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数

.

,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.

20.证明:

函数

,都

是调和函数,但不是解析函数证明:

∴,从而是调和函数

.

∴,从而是调和函数.

但∵

∴不满足C-R方程,从而不是解析函数.

22.由下列各已知调和函数,求解析

函数

(1)

(2)

解

(1)

因

为

所以

令y=0,上式变为

从而

(2)

用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有

由

，得

C=0

23.

设

,其

中

各不相同，闭路C 不通

过

,证明积分

等于位于C 内的p(z)的零点的个数.

证明: 不妨设闭路C 内的零点的个数为k, 其零点分别为

24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在闭路C 及其外部区域D 内解析，且

，则

其中G 为C 所围内部区域.

证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆

CR: ，将C 与Z 包含在内 则f(z)在以C 及

为边界的区域内解析，

依柯西积分公式，有

因为

在

上解析，且

所以，当Z在C外部时，有

即

设Z在C内，则f(z)=0，即

故有：

习题四

1. 复级

数

与都发散,则级

数

和发散.这个命题是否成

立?为什么?

答.不一定．反例:

发散

但收敛

发散

收敛.

2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收

敛还是条件收敛?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解

(1)

因为发散,所以发散

(2)发散

又因

为

所以发散

(3)

发散,又因

为

收敛,所以不绝对收敛.

(4)

因为

所以级数不绝对收敛.

又因为当n=2k时, 级数化为

收敛

当n=2k+1时, 级数化为也收敛

所以原级数条件收敛

(5)

其中发散,收敛

所以原级数发散.

3.证明:

若,

且

和收

敛,则级数绝对收敛. 证明:设

因为和收敛

所

以收

敛

又因为,

所以

且

当n充分大时,

所以收敛

而收敛，收敛

所以

收敛，从而级数绝对收敛.

4.讨论级数的敛散性

解因为部分

和

，所以

，

，不存在.

当

而

时（即），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．

.

故

当

和时

, 收敛.

5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.

解：设，则当时，

级数收敛，时发散.

若在z=0处收敛,则若在z=3处发散, 则

显然矛盾,

所以幂级数不能

在z=0处收敛而在z=3处发散

6.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.

(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

7.若的收敛半径为R,求

的收敛半径。

解：因

为所以

8.

证明：若幂级数的

系数满足

，则

(1)当时,

(2) 当时,

(3) 当时, 证明：考虑正项级数

由于，

若，由正项级数的根值判别法知，当，即，

收敛。当，即，

不能趋于零

,级数发散.故收敛半径

.

当时

, ,级数收敛

且.

若,

对当充分大时,

必有不能趋于零,级数发散.且

9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。

(1)

(2)

(3)

(4)

解: (１)

收敛圆周

(2)

所以收敛圆周

(3) 记

由比值法,有

要级数收敛,则

级数绝对收敛,收敛半径为

所以收敛圆周

(4) 记

所以

时绝对收敛,收敛半径

收敛圆周

10.求下列级数的和函数.

(1)

(2)

解:

(1)

故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：

所以

于是有：

(2) 令：

故R=∞, 由逐项求导性质

由此得到

即有微分方程

故有：

， A, B 待定。

所以

11.设级数

收敛，而

发散，

证明

的收敛半径为1

证明：因为级数收敛

设

若

的收敛半径为1

则

现用反证法证明

若则，有，即收敛，与条件矛盾。

若

则

，从而在单位圆

上等于，是收敛的，这与收敛半径的

概念矛盾。

综上述可知，必有

，所以

12.若

在点处发散，证明级数对于所有满足

点

都发散.

证明：不妨设当

时，在

处收敛

则

对

，绝对收敛，

则

在

点

处收敛

所以矛盾,从而

在

处发散.

13.

用直接法将函数

在

点

处展开为泰勒级数,(

到项),并指出其收

敛半径.

解:因为

奇点为

所以

又

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