正弦函数余弦函数的图像和性质(2)

第二课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）

（一）复习与引入 上节课，我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。（一图了事）

教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx，y=cosx的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。 （二）新课

一、正余弦函数作图 例1 画出下列函数的简图 （1）y=1+sinx,x∈[0,2π]; 说明：

1、第（1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对； 2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；

3、第（1）题中的函数与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x∈[0,2π]上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第（2）题中的函数与函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（关于x轴对称）

4、口答：请根据函数y=sinx，y=cosx的图象，画出函数y=sinx-1，y=1-cosx的图象。 5、推广并归纳：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx经过怎样的变换而得到？（在y轴上平行移动）若在自变量x上加上某个实数则在x轴上作平行移动，如

?3?y?sin(x?),y?cos(x?),cos(x?1)；y=-sinx+m，y=-cosx+n呢？

22

(2)y=-cosx,x∈[0,2π].

6、学生练习：P56练习3，学生板演，教师讲评。

二、正余弦函数的周期性

函数y=sinx，y=cosx的周期（最小正周期）均为2π，换句话说，自变量x只要并且至少要增加到x+2π，正余弦函数的值才能重复取得。

1、周期性是三角函数的一个特殊性质，正是由于这个特殊性质的存在，使得正弦、余弦函数的图象、性质呈现出一种不断重复的特性。正是由于周期性，对三角函数的某些性质的解释也就顺理成章了。（极值、单调性的反复出现）

2、正余弦函数的周期性（突破重点与难点）

正余弦函数的这种特性可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)来解释，正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复取得的，我们作图也是按此性质画出的。像正弦、余弦这种函数我们称为周期函数。若记f（x）=sinx，上式如何表达？ （f（x+2kπ）=f（x），其中2kπ就是周期）同学们能不能用一条数学式子将周期函数表达出来？

教师引导：对于任一个函数f（x），若它是周期函数，周期为T。则它在定义域内的任一点x上的函数值与它在此基础上过了一个周期的函数值是相等的，即f(x)=f(x+T)。下面请同学们给出周期函数的定义：

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T) = f(x)，

那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T就叫做这个函数的周期。

例如，2π，4π，…-2π，-4π…等都是正弦函数和余弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。例如正余弦函数的最小正周期就是2π。今后如不加特别说明，周期即指最小正周期。

周期函数的定义与奇函数、偶函数的定义有类似的地方： 函数f(x)对于定义域内的每一个值，都有：

f（-x）=-f（x），则为奇函数；f（-x）=f（x），则为偶函数；f（x+T）=f（x），则为周期函数。

例3

判断下列语句的正误，并说明理由： ?4?（1）∵sin(?2)?sin?4，∴函数y=sinx的周期为

?2；（错，对定义域内的每一个

3?4?值x都要满足f(x+T) =f(x)，只个别满足不能说T是它的周期，如sin(?2)?sin3?4）

（2）任何周期函数均有最小正周期；（错，反例：常数函数f(x)=c）

（3）若T（T≠0）是函数f(x)的周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是它的周期。（对，简证：∵f(x+T) =f(x)，∴f(x+2T) =f[(x+T)+T]= f(x+T) =f(x)，同样f(x+3T)= f[(x+2T)+T]= f(x+2T)= f(x)，以此类推f(x+nT)= f(x)，所以nT也是它的周期）

例4 求下列函数的周期： （1） y=3cosx，x∈R； （2） y=sin2x，x∈R； （3） y?2sin(12x??6),x?R

处理：1、利用换元思想，令整个式子为z，当z只要并且至少要增加到z+2π时，自变量x只要并且至少要增加到多少；

2、最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小的正数，这个最小的正数是相对x来讲的；

3、由此可知，这些函数的周期只与自变量x的系数有关，一般地，对于函数

y?Asin(?x??),x?R与y?Asin(?x??),x?R

令z=?x??，当z只要并且至少要增加到z+2π，而此时z+2π=（?x??）+2π=?(x?T?2?2??)??，即自变量x只要并且至少要增加到x?2??，函数值才能重复取得，即

?是能使等式

2?)??]?Asin(?x??)及Acos[?(x?2?)??]?Acos(?x??)

Asin[?(x???成立的最小正数。从而函数y?Asin(?x??),x?R及y?Asin(?x??),x?R的周期

T?2?? 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。如，例3中（1）

2?1??,2???4?。 （2）（3）的周期分别为2?,22。

学生练习：P56练习5

说明：1、学生练习后校对，进一步说明三角函数的周期只与自变量x的系数有关；

2、补充题：已知函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(5)?2，求

（2n） f(1)?f(3)?????f(2n?1)的值。（三）作业

1． 复习课本

2． P57-58习题4.8 第1、3题

3． 每课一练（一）

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